第13章 三角形 教案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该教案聚焦三角形的概念及分类核心知识点，通过归纳导入（结合金字塔、交通标志等生活实例）和置疑导入（回顾小学三角形概念、分类等知识），衔接旧知搭建学习支架，引导学生理解三角形定义、元素及分类。 此资料亮点在于以生活情境培养几何直观（数学眼光），通过问题链（如“三角形有什么特点”）发展推理意识（数学思维），例题（如数三角形个数、分类判断）强化应用（数学语言），助力学生夯实基础，教师高效开展教学。

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 教师备课　素材示例 ●类比导入　如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？ (1)在这些线段中，线段AD经过边BC的中点； (2)线段AE平分∠BAC； (3)线段AF垂直于边BC. 同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的中线、角平分线和高．这三条线段是三角形的重要线段． 【教学与建议】教学：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知． ●复习导入　1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？ 2．已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积． 3．请自学三角形的中线、角平分线、高的概念，你能将它们画出来吗？ 学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题： (1)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？ (2)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？ (3)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的三条高所在直线的位置有什么关系？ (4)三角形的中线、角平分线和高分别是线段、射线、直线中的哪一种？ 【教学与建议】教学：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的中线、角平分线、高的画法．建议：教学中让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的学习． · 命题角度1　利用三角形的中线解决倍数问题 利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题． 【例1】如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和21 cm两部分，那么它的底边长为__5__cm. 【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是__2__． · 命题角度2　利用三角形的高解决三角形面积问题 当已知三角形的两条高及其中一条高对应的边长，求另一条高对应的边长或已知两边及其中一边对应的高，求另一边对应的高时，常用面积作为中间量． 【例3】如图，在△ABC中，BC边上的高是__AB__； 在△AEC中，AE边上的高是__CD__； 在△AEC中，EC边上的高是__AB__； 若AB＝CD＝4，AE＝5，则△AEC的面积S＝__10__， CE＝__5__． · 命题角度3　三角形的中线、角平分线、高的综合应用 (1)关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等；(2)关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线；(3)要利用方程思想、分类思想． 【例4】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，点D到AB的距离是____． 【例5】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，∠BAC＝90°. (1)求AD的长； (2)求△ABE的面积； (3)求△ACE和△ABE的周长的差． 解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高， ∴AB·AC＝BC·AD， ∴AD＝＝＝2.4(cm)； (2)∵AE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△ABC＝××3×4＝3(cm2)； (3)∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE， ∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm). 高效课堂　教学设计 1．掌握三角形的中线、角平分线、高的性质，并会运用这些性质解决问题． 2．准确画出三角形的中线、角平分线、高． ▲重点 三角形的中线、角平分线、高的性质． ▲难点 三角形的中线、角平分线、高的应用． ◆活动1　新课导入 问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来. 答：图中共有5个三角形．分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE. 问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？ 答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm.其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组． ◆活动2　探究新知 1．给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线． 提出问题： (1)如何作一个三角形的中线？ (2)一个三角形有几条中线？ (3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？ 学生完成并交流展示． 2．给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线． 提出问题： (1)如何作一个三角形的角平分线？ (2)一个三角形有几条角平分线？ (3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？ (4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？ 学生完成并交流展示． 3．给出一个△ABC，请你作出该三角形的高． 提出问题： (1)如何作三角形的高？ (2)一个三角形有几条高？ (3)能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？ (4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的__中点__，所得线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的__重心__． 2．在三角形中，一个内角的__平分线__和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线． 3．从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作__垂线__，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高． ◆活动4　例题与练习 例1　下列说法正确的是 (B) ①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．③④　　　　　B．③　　　　　C．②③　　　　　D．①④ 例2　如图，已知△ABC，根据要求画图． (1)画BC边上的高； (2)画∠ACB的平分线； (3)将△ABC分成面积相等的两部分． 解：如图．(1)线段AD即为所求； (2)CE即为∠ACB的平分线； (3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(答案不唯一). 练习 1．教材P8～9　练习第1，2题． 2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空： (1)BE＝__CE__＝__BC__； (2)∠BAD＝__∠DAC__＝__∠BAC__； (3)∠AFB＝__∠AFC__＝90°； (4)S△AEC＝__3__． 3．如图，已知△ABC. (1)画出△ABC的∠ABC的平分线，交AC边于点D，并指出相等的角； (2)画出△ABC的AC边上的中线BE，并指出相等的线段； (3)画出△ABC的BC边上的高AF，并指出图中所有的直角三角形． 解：(1)如图，BD是△ABC的∠ABC的平分线，∠ABD＝∠CBD； (2)如图，BE是△ABC的AC边上的中线，AE＝CE； (3)如图，线段AF为△ABC的BC边上的高． 图中的直角三角形有△AFB和△AFC. ◆活动5　课堂小结 1．三角形的中线、角平分线、高的性质． 2．三角形的中线、角平分线、高的综合应用． 1．作业布置 (1)教材P9　习题13.2第3，4，7题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3　三角形的内角与外角 13．3.1　三角形的内角 第1课时　三角形的内角和定理 教师备课　素材示例 ●情景导入　用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B，C为定点，A为动点(如图所示)，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们观察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC，……，其内角会产生怎样的变化呢？从中你对△ABC三个内角的和有何猜想呢？在小学我们通过测量的方法得到三角形的内角和是180°，有没有能证明三角形的内角和是180°的方法呢？ 【教学与建议】教学：创设情景，激发学生的学习兴趣，引出本节课要研究的内容．建议：教师进行演示试验，在观察的基础上猜想三角形的内角和是180°. ●归纳导入　如图①，将△ABC的三个内角剪下，随意将它们拼合在一起，你有几种拼合方法，经过拼合你能发现什么？ 如图②，把三个角的顶点重合、观察，发现三角形的三个内角的和为180°. 如图③，过点A作一条与BC平行的直线，你能通过推理发现三角形的三个内角的和为180°吗？ 　　　　　　　　 【归纳】三角形的内角和定理：三角形的内角和等于__180°__． 【教学与建议】教学：推理验证，主体探究，探索三角形的内角和等于180°.建议：教师要留给学生足够的时间和空间，让学生自主探索解决方案． ●置疑导入　多媒体展示：(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家庭就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来…… 同学们，你们知道其中的道理吗？ 【教学与建议】教学：通过创设问题情景导入课题，为本节课顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备．建议：学生自主回答，小组讨论怎么证明三角形内角和定理． · 命题角度1　根据三角形各角之间的关系求角的度数 此类问题主要是利用三角形的内角和定理构建方程进行计算． 【例1】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则这个三角形是 (C) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判定 【例2】如图，△ABC的三个内角的大小分别为x°，x°，3x°，则x的值为__36__． · 命题角度2　三角形的内角与角平分线和高的综合运用 三角形的内角和定理往往与三角形的高和角平分线相结合，综合平行线的性质，运用等量代换解决问题． 【例3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为 (C) A．44° B．40° C．39° D．38° 【例4】如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，则∠B的度数是__50°__． · 命题角度3　三角形内角和定理的证明 证明三角形的内角和定理，可以用拼合法、平行线的方法设法把三个角集中在一起转化成平角． 【例5】如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：过点A作EF∥BC. ∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， 即∠A＋∠B＋∠C＝180°. 高效课堂　教学设计 1．探索并掌握三角形的内角和定理． 2．学会运用三角形的内角和定理． ▲重点 三角形的内角和定理． ▲难点 三角形的内角和定理的推导过程． ◆活动1　新课导入 1．问题：三角形的内角和是多少度？ 2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__． 3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__． 本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识． ◆活动2　探究新知 1．现在有一副三角尺． 提出问题： (1)每个三角尺的每个角各是多少度？ (2)每个三角尺三个内角的和各是多少度？ (3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？ 学生完成并交流展示． 2．教材P11　探究． 提出问题： (1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ (2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？ (3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？ (4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 三角形的内角和定理：__三角形的内角和等于180°__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P12　例1. 例2　教材P12　例2. 例3　若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的，也是第三个内角∠C的，求△ABC三个内角的度数． 解：由题意，得∠A＝∠B，∠A＝∠C， ∴∠B＝∠A，∠C＝∠A. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠A＋∠A＝180°， ∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°. 例4　如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系． 解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE. ∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE， ∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C， 即∠1＋∠2＝2∠C. 练习 1．教材P13　练习第1，2题． 2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是 (C) 　A．80° B．70° C．60° D．50° 　　　　　　 3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是 (A) A．40° B．35° C．50° D．45° 4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数． 解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠ABC＝70°. 又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP， ∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°， ∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°. ◆活动5　课堂小结 三角形的内角和定理． 1．作业布置 (1)教材P16～17　习题13.3第1，3，7，9题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直角三角形中两锐角的关系 教师备课　素材示例 ●情景导入　如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝60°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？ 【教学与建议】教学：创设有关直角三角形的问题情景体现了几何知识在实际生活中的应用．建议：学生可以结合三角形内角和知识解答，体现了新旧知识之间的联系，应用本节所学知识“直角三角形的两个锐角互余”解答更显简洁． ●归纳导入　我们学习几何知识，经常先学习一般图形，再重点学习特殊图形，先学习两角和的计算，再重点学习互余、互补．比如先学习两条直线相交，再重点学习两条直线垂直；先学习任意图形中的“三线八角”，再重点学习平行线中的“三线八角”．学习三角形也是一样的“套路”，先学习一般的三角形，再重点学习特殊的三角形，那么“特殊的三角形”有哪些呢？直角三角形有哪些特殊的性质呢？ 【教学与建议】教学：通过对教材知识体系的编排，让学生明白学习几何知识的“一般套路”．建议：教师列举出几个“一般——特殊”的知识体系后，可以让学生仿照说出几个类似的例子．特殊的三角形有直角三角形、等腰三角形和等边三角形等． · 命题角度1　直角三角形的性质 在直角三角形中，利用“直角三角形的两个锐角互余”解决有关角度的问题． 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝20°，则∠A的度数为 (D) A．40° B．60° C．35° D．55° 【例2】如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC的度数． 解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°. ∵∠BDC＝∠EDF＝50°， ∴∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－50°－30°＝100°. · 命题角度2　直角三角形的判定 判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形． 【例3】在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有__①②__．(填序号) 【例4】如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABC是直角三角形． 理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°， ∴∠1＋∠A＝90°. 又∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°， ∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． · 命题角度3　直角三角形的应用 利用直角三角形两个锐角互余解决实际问题． 【例5】如图，铁塔CD垂直竖立于地面，从A处观测铁塔顶部D处的仰角∠CAD＝45°，从B处观测D处的仰角∠CBD＝60°，点A，B，C在同一直线上．求∠ADB的度数． 解：由题意，得∠ACD＝90°，∠CAD＝45°，∠CBD＝60°， 在△ACD中，∠ADC＝90°－∠CAD＝90°－45°＝45°. 在△BCD中，∠BDC＝90°－∠CBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝45°－30°＝15°. 一个火柴游戏 你能只用六根火柴摆出12个直角三角形吗？看到这个问题，可能很多同学都是随口就回答，不可能！但真的是这样吗？请大家不妨看下面的图： 通过清点发现，确实有12个直角三角形，你也可以用一张纸片进行验证，想一想怎么说明这12个三角形都是直角三角形． 高效课堂　教学设计 1．了解直角三角形两个锐角的关系． 2．掌握直角三角形的判定． ▲重点 了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定． ▲难点 掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算． ◆活动1　新课导入 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决． ◆活动2　探究新知 1．教材P13 　练习下面的内容． 提出问题． (1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？ (2)你能证明吗？如何证明？ 学生完成并交流展示． 2．教材P14　思考． 在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．直角三角形的两个锐角__互余__． 2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P14　例3. 例2　如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形． 证明：∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°. ∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B， ∴∠AOE＝∠B. ∵∠BAC＋∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠AOE＝90°. ∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形． 例3　(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； (2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：(1)∠1＝∠2.理由如下： ∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形， ∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°. 又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2. 练习 1．教材P14　练习第1，2题． 2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　A．15° B．20° C．25° D．30° 　　　　　 3．如图，将有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__． 4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形． 解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线， ∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE， ∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°， ∴△EPF为直角三角形． ◆活动5　课堂小结 1．直角三角形的性质——两个锐角互余． 2．直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形． 1．作业布置 (1)教材P16～17　习题13.3第4，10题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2　三角形的外角 教师备课　素材示例 ●情景导入　如图，是由两块较长钢板A，B搭建的人字架，资料表明，当∠1＝70°，∠3＝110°时，人字架最稳定，由于客观原因，∠3不可度量，那么∠2为多少度时，人字架最稳定？ 【教学与建议】教学：利用具体问题情景，通过设疑导入新课，吸引学生的注意力．建议：三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的，让学生按照自己的理解总结定理的内容，最后教师进行规范总结． ●归纳导入　1.如图①，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作__三角形的外角__． 如图②，一个三角形有__6__个外角，每个顶点处有__2__个外角． 　　 2．如图①，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝__120°__．试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是__∠A＋∠B＝∠ACD__． 3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和吗？今天来学习三角形外角的性质． 【教学与建议】教学：先归纳三角形外角的定义，再设问质疑，探究尝试．建议：教师要充分利用图①讲解三角形的外角的定义，与学生共同探究外角的特征和性质． · 命题角度1　利用三角形的外角的性质求角度 三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是解决三角形中有关角度计算和推理问题的依据． 【例1】如图，下列结论正确的是 (A) A．∠1＞∠2＞∠A B．∠1＞∠A＞∠2 C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠1＞∠A 【例2】如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数为 (A) A．25° B．30° C．50° D．45° · 命题角度2　利用三角形的外角的性质解决实际问题 外角可以把不在同一个三角形中的几个角联系起来，解决生活中的问题． 【例3】某机器零件的横截面如图所示，按要求，线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A＝25°，∠D＝31°，∠AED＝143°，请你帮他判断该零件是否合格：__不合格__．(选填“合格”或“不合格”) 高效课堂　教学设计 1．引导学生探索并了解三角形外角的性质． 2．让学生学会用学过的定理证明此性质． ▲重点 三角形外角的性质和三角形的外角和． ▲难点 三角形外角的性质的探究及运用． ◆活动1　新课导入 1．三角形的内角和是多少度？ 答：三角形的内角和是180°. 2．直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__． ◆活动2　探究新知 1．教材P15　观察图13.3－7. 提出问题： (1)什么叫作三角形的外角？ (2)描述三角形的外角的特征． 学生完成并交流展示． 2．教材P15　思考． 提出问题： (1)∠ACD是△ABC的一个外角吗？ (2)能否由∠A，∠B的度数求出∠ACD的度数？ (3)∠ACD与∠A，∠B之间有什么关系？ (4)任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的__外角__． 2．三角形的外角等于__与它不相邻__的两个内角的__和__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P15　例4. 例2　如图，点D，B，C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠1的度数． 解：∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∠A＝60°，∠C＝50°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－60°－50°＝70°. 又∵∠ABC＝∠1＋∠D，∠D＝25°， ∴∠1＝∠ABC－∠D＝70°－25°＝45°. 例3　如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 解：设BE与AC，AD分别交于点G，F. ∵∠AGF＝∠C＋∠E，∠AFG＝∠B＋∠D， 且∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 练习 1．教材P16　练习． 2． 如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 (C) A．28° B．38° C．48° D．88° 3．一副三角尺以如图所示的方式叠放在一起，则∠DFC的度数是 (A) A.165° B．120° C．150° D．135° 4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数． 解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠EBD＝∠BDE. ∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠A＋∠ABD＝∠BDC， ∴∠EBD＝∠BDC－∠A＝95°－60°＝35°，∴∠BDE＝∠EBD＝35°， ∴∠BED＝180°－∠EBD－∠BDE＝180°－35°－35°＝110°. ◆活动5　课堂小结 1．三角形外角的定义． 2．三角形外角的性质及运用． 1．作业布置 (1)教材P16～17　习题13.3第2，5，6，8，11题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章　三角形 13．1　三角形的概念 教师备课　素材示例 ●归纳导入　三角形是一种最常见的几何图形，(投影)如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志等等，处处都有三角形的形象． 　　　　 【归纳】由不在同一条直线上的__三条线段__首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 问题：你能指出三角形的边、角、顶点吗？三角形的边有什么性质呢？ 【教学与建议】教学：让学生认识三角形在生活中是非常常见的图形，进而引导学生归纳三角形的定义、元素以及表示方法等．建议：在师生的交流中，学生与教师共同归纳三角形的定义及表示方法． ●置疑导入　在小学，我们学习了关于三角形的哪些知识？ (1)画图并用语言说明怎样的图形是三角形． (2)在画出的图形中标注顶点字母，指出三角形各部分的名称． (3)三角形按边分类，有哪几种？ (4)我们学过哪些特殊的三角形？画图说明它们有什么典型特征． (5)三角形的三边之间有什么关系？ (6)三角形的面积怎么求？画图说明． 【教学与建议】教学：学生小学阶段已经学习了三角形的一些初步知识，主要包括三角形的概念、图形、三种基本要素、表示方法、按边分类、直角三角形、等腰三角形与等边三角形等特殊三角形的识别、三边关系、面积公式等，这些知识为学习本课奠定了基础．建议：从三角形的概念、图形、表示方法、分类、性质等方面讲解归纳，让学生明白三角形知识的大致框架． · 命题角度1　数三角形个数 数三角形个数的方法(列举法)：(1)按图形形成的过程去数；(2)按大小顺序去数；(3)从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数；(4)先固定一个顶点， 再变换另两个顶点来数． 【例1】找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来． 解：图中有5个三角形，分别是：△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△DEC. · 命题角度2　三角形的分类 三角形按角分类如下：三角形 三角形按边分类如下： 三角形 【例2】 三角形按边分类可以用集合来表示，如图，图中小圆里的A表示 (D) A.直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例3】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型(按角分)的是 (C) 　　　　　　 高效课堂　教学设计 1．认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形． 2．理解三角形的分类． ▲重点 认识三角形的边、内角、顶点，能从不同角度对三角形进行分类． ▲难点 在具体图形中，不重复不遗漏识别三角形． ◆活动1　新课导入 老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：小学我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？ ◆活动2　探究新知 1．如图： 提出问题： (1)哪些图形是三角形？ (2)三角形有什么特点？什么叫三角形？ (3)在三角形的概念中，你认为不可或缺的要素是什么？ (4)请指出图①中三角形的顶点、角、边． 学生完成并交流展示． 2．教材P2　探究． 提出问题： (1)三角形除了按角分类，还可以按什么分？这样分的依据是什么？ (2)按(1)的方法分类，分成的三角形有哪些特殊的三角形？ (3)如何按照边的关系对三角形进行分类？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作__三角形__． 2．三角形的分类： (1)按照三个内角的大小，可以将三角形分为__锐角三角形__、__直角三角形__和__钝角三角形__； (2)三角形按边的相等关系分类： 三角形 ◆活动4　例题与练习 例1　如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB上，AD交CE于点F.图中AC是哪些三角形的边？∠B是哪些三角形的内角？ 解：图中AC是△AFC，△AEC，△ADC，△ABC的边；∠B是△ABC，△ABD，△EBC的内角． 例2　教材P3　例． 例3　如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有__4__个等腰三角形，有__1__个等边三角形． 练习 1．教材P3　练习第1，2题． 2．给出下列说法：(1)等边三角形是等腰三角形；(2)三角形按边的相等关系分类可以为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；(3)三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的个数是 (B) A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　　D．0 ◆活动5　课堂小结 1．三角形的概念． 2．三角形的分类． 1．作业布置 (1)教材P4　习题13.1第1，2，3，4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2　与三角形有关的线段 13．2.1　三角形的边 教师备课　素材示例 ●情景导入　在我们的生活中几乎随处可见三角形，它简单有用．如：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，为什么要构成三角形形状呢？三角形有什么特殊的性质，又有哪些特殊线段呢？ 　　 【教学与建议】教学：创设现实情境，激发学生的学习兴趣．建议：列举生活中三角形的图例，抽象出三角形的重要线段． ●复习导入　1.如图，线段AB，BC，CA是三角形的__边__，点A，B，C是三角形的__顶点__，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫作三角形的__内角__，简称三角形的角． 2．顶点是A，B，C的三角形，记作“__△ABC__”，读作“__三角形ABC__”． 3．三角形的分类方法有哪些？ 【教学与建议】教学：复习三角形的相关概念，为学习与三角形有关的线段作铺垫．建议：充分发挥学生的主体性，鼓励学生大胆发言，对答案进行梳理，总结归纳，让学生明白大致框架． · 命题角度1　利用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形 判断三条线段能否构成三角形的方法：若两条较短的线段长之和大于最长的线段，能组成三角形；反之，则不能． 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (D) A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 【例2】已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三条边长可以是__4(答案不唯一)__.(写出一个即可) · 命题角度2　三角形三边关系的综合运用 1．涉及等腰三角形边的问题时，常需要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去． 2．求第三边长的取值范围：已知两边长之差(长边－短边)＜第三边长＜已知两边长之和． 【例3】若等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 (B) A．17　　　　　　　B．15　　　　　　　C．13　　　　　　　D．13或17 【例4】一个三角形三条边长分别是为x cm，(x－1)cm，(x－2)cm，它的周长不超过39 cm，则x的取值范围为__3＜x≤14__． · 命题角度3　三角形三边关系与绝对值的综合 根据三角形的三边关系判断绝对值式子里面的正负，然后进行化简． 【例5】已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为 (D) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 【例6】若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝__3c＋a－b__． · 命题角度4　利用三角形的稳定性解决生活中的应用问题 三角形的稳定性是三角形特有的性质． 【例7】下列图形中，不具有稳定性的是 (B) 【例8】如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子的两侧各钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的__稳定性__. 高效课堂　教学设计 1．理解三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质解决问题． 2．会用数学语言描述三角形的三边关系． ▲重点 三角形的三边关系． ▲难点 三角形的三边关系的应用． ◆活动1　新课导入 1．如何表示三角形？ 2．三角形的边可以怎么表示？ 3．三角形的分类： (1)三角形按角分类： 三角形 (2)三角形按边分类： 三角形 ◆活动2　探究新知 1．教材P5　探究． 提出问题： (1)从点B出发沿三角形的边到点C有几条线路可以选择？ (2)哪条线路最短？ (3)在一个三角形中，任意两边之和与第三边有着怎样的关系？ (4)在一个三角形中，任意两边之差与第三边有着怎样的关系？ 学生完成并交流展示． 2．教材P5　思考． 三角形的三边关系可以用来判断三条线段能否组成三角形，但是计算三遍的话太麻烦了，我们可以用以下两种方法进行判断：①看较短的两条线段的和是否大于最长的线段，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形；②看最长的线段减去最短的线段的差是否小于第三边，若是，则能组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3．教材P6　探究． 提出问题： (1)扭动三角形木架，它的形状会改变吗？ (2)三角形具有什么特点？ (3)三角形的稳定性在生活中有哪些应用？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．三角形的三边关系： 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形． 3．三角形是具有稳定性的图形． ◆活动4　例题与练习 例1　已知在等腰三角形中，一边的长为9 cm，另一边的长为4 cm. 小伟：“这个三角形的周长为17 cm.” 小宇：“你说的不对，这个三角形的周长为22 cm.” 同学们，你认为谁说的对呢？说说你的理由． 解：小宇说的对，∵当腰长为4 cm时，4＋4＜9，不能组成三角形，∴该等腰三角形的腰长为9 cm，周长为9＋9＋4＝22(cm). 例2　教材P6　例． 例3　已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：AB＋AC＞BD＋CD. 证明：延长BD交AC于E. 在△ABE中，AB＋AE＞BE， 在△EDC中，ED＋EC＞CD， ∴AB＋AE＋ED＋EC＞BE＋CD. ∵AE＋EC＝AC，BE＝BD＋DE， ∴AB＋AC＋ED＞BD＋DE＋CD. ∴AB＋AC＞BD＋CD. 练习 1．教材P7　练习第1，2题． 2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是 (C) 　　　 3．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为__17__；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为__10或11__． 4．已知△ABC的两边AB＝2 cm，AC＝9 cm. (1)求第三边BC的长的取值范围； (2)若第三边BC的长是偶数，求BC的长； (3)若△ABC是等腰三角形，求其周长． 解：(1)7 cm＜BC＜11 cm； (2)BC的长是8 cm或10 cm； (3)∵△ABC是等腰三角形，7cm＜BC＜11 cm， ∴BC＝9 cm.∴△ABC的周长为2＋9＋9＝20(cm). ◆活动5　课堂小结 1．三角形的三边关系． 2．三条线段能组成三角形的条件． 3．三角形的稳定性． 1．作业布置 (1)教材P9　习题13.2第1，2，5，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $