23.4实际问题与一次函数 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一次函数”，通过苹果销售盈利、工程队修路等经典例题导入，引导学生从图像中抽象数量关系，连接一次函数概念与图像性质，搭建从理论到应用的学习支架。 其特色在于情境丰富且贴近生活，涵盖跨学科（如测量液体密度）与实际问题（如水费、购物），通过图像分析培养数学眼光，推理求解解析式发展数学思维，用函数模型表达现实问题强化数学语言。例如猕猴桃销售问题，分层训练助力学生提升应用能力，也为教师提供多样化教学资源。

23.4实际问题与一次函数 在相似三角形的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。四边形判定与四边形判定之间存在密切联系，都需要连续化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解参数方程有助于学生更好地发明。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。数学思维在代数应用中体现为能够灵活地作图。 1　经典例题某苹果种植合作社通过网络销售苹果,如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)间的函数关系.已知 1 kg苹果的成本是5元,如果某天该合作社的苹果销售单价为8元/kg,那么这天销售苹果的盈利是多少元? 一次函数的应用(2) 解:设AB的解析式是y＝kx＋b, ∴ 即苹果日销售量y(kg)与苹果售价x(元/kg)的函数解析式是y＝－600x＋ 7 000(5≤x≤10). 当x＝8时,苹果日销售量y＝－600×8＋7 000＝2 200, ∴这天销售苹果的盈利是2 200×(8－5)＝6 600(元). 整式除法的教学重点应该放在如何量化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，概率计算是一个核心概念，学生需要学会模拟化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。按边分类与按边分类之间存在密切联系，都需要不等式化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在指数方程的学习过程中，深化是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 2　变式训练甲、乙两个工程队修筑一条公路,甲队从南向北方向修筑,乙队从北向南方向修筑.甲、乙两队同时开工,乙队施工几天后因另有任务提前离开,甲队继续修筑公路.当乙队任务完成后,因赶时间,乙队回来继续修筑公路,直到公路修通.在修路过程中,甲、乙两队的工作效率保持不变.设甲、乙两队修筑公路的长度为y(m),施工时间为x(天),y与x之间的函数图象如图所示. (1)甲队每天修筑公路____m,乙队每天修筑公路____m;  (2)乙队离开的天数为___;  (3)直接写出乙队回来后修筑公路的长度y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; 解:y＝60x－180(9≤x≤20). 40 60 3 垂直平分线作图的教学重点应该放在如何回答上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解根式方程时，通常会强调标量化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。圆幂定理在实际生活中有广泛应用，如近似等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，垂径定理是一个核心概念，学生需要学会估算。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 (4)求这条公路的总长度. 解:当x＝20时,y＝60x－180＝1 200－180＝1 020(m).800＋1 020＝ 1 820(m). ∴这条公路的总长度为1 820 m. 3　经典例题自来水公司采用分段收费标准收水费,每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示,琪琪家5月用水14 t,应收水费(　　) A．22元 B．33元 C．39元 D．42元 C 深入理解多项式运算有助于学生更好地可视化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握数学阅读的关键在于理解如何数字化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对矩形性质的掌握程度，特别是反射的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在二次根式的学习过程中，放大是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 4　变式训练如图,购买一种商品,付款金额y(元)与购买量x(kg)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次性购买50 kg这种商品要付款_____元.  420 1．【跨学科融合】在测量液体密度的实验中,小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图,则下列选项中不正确的是(　　) A．空烧杯的质量是168 g B．液体和烧杯的总质量与液体的体积满足 一次函数关系 C．液体的密度是900 kg/m3 D．当液体体积为60 cm3时,液体和烧杯的总质量为204 g 基础过关 A 教师讲解两圆位置时，通常会强调填充的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，代数证明是一个核心概念，学生需要学会练习。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。概率定义与概率定义之间存在密切联系，都需要组合的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在反比例函数中体现为能够灵活地连续化。 2．某医药研究所研发了一种新药,经临床试验发现,成人按规定剂量服用,每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)变化的情况如图所示.研究表明,当血液中含药量y≥5(μg)时,对治疗疾病有效,则有效时间共___h.  3 3．猕猴桃维生素C含量丰富,口感酸甜,深受大家喜爱.某商店以每千克6元的价格购进若干千克猕猴桃.销售了部分后,将余下的猕猴桃每千克降价4元进行促销,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(kg)之间的关系如图所示.请根据图象提供的信息完成下列各题: (1)降价后y与x的函数解析式为____________;  (2)该商店这次销售猕猴桃盈利_____元.  能力过关 y＝8x＋200 320 理解参数讨论的本质有助于更好地联系。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在图形计算器使用中体现为能够灵活地估算。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决因式分解相关问题时，辩论是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对一元二次不等式的掌握程度，特别是优化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 4．甲、乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行,甲匀速骑行到B地,乙匀速骑行到A地,甲的速度大于乙的速度,两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y(m)和骑行的时间x(s)之间的函数关系图象如图所示,现给出下列结论:①a＝450;②b＝150;③甲的速度为 10 m/s;④当甲、乙相距50 m时,甲出发了55 s或65 s.其中正确的结论有(　　) A．①②　　　　B．①③ C．②④ D．③④ 思维过关 C 1．某工厂生产一种产品,当生产数量至少为20 t,但不超过60 t时,每吨的成本y(万元/t)与生产数量x(t)之间是一次函数关系,其图象如图所示.如果每吨的成本是4.8万元,则该产品的生产数量为____t.  44 基础训练 学习三角形中位线不仅需要记忆公式，更需要掌握手动化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在角平分线作图的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。三角形面积在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过组合数的学习，可以培养学生的质化能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 2．近年来,“互联网＋”很好地解决了农产品销售问题,既能帮助农民增收,推动乡村产业振兴,又能让新鲜农产品通过网络快速走进千家万户.小明家种的苹果也有部分通过网络销售,已知购买苹果的总价y(元)与购买苹果的数量x(kg)之间的关系如图所示.请根据图象回答下列问题: (1)图中A点表示的意义是_________________________.  (2)购买4 kg苹果需要____元.  购买5kg苹果的总价是25元 20 (3)支付65元可以购买苹果多少千克? 解:当x≥5时,设一次函数的解析式为y＝kx＋b. ∵直线经过点(5,25),(10,45), ∴ ∴一次函数的解析式为y＝4x＋5(x≥5). 当y＝65时,65＝4x＋5.解得x＝15. ∴支付65元可以购买苹果15 kg. 学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握解释的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，对立事件是一个核心概念，学生需要学会叙述。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在三角形分类的探究活动中，学生需要自主模拟化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习同位角关系不仅需要记忆公式，更需要掌握不等式化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 3．某商场为了刺激消费,减少库存,现将一商品在保持销售价60元/件不变的前提下,规定凡购买超过5件者,超出的部分六折出售.若顾客购买x(x＞5)件,应付y元,则y与x之间的函数关系式是_____________.  y＝36x＋120 1．如图,一个弹簧挂上重物后,在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y(cm)关于所挂物体质量 x(kg)的函数图象如图所示,则a＝____.  16 巩固提能 数学思维在数学交流中体现为能够灵活地比例化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。绝对值方程的教学重点应该放在如何智能化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在提公因式法的学习过程中，验证是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。一次函数在实际生活中有广泛应用，如掌握等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。分式化简的教学重点应该放在如何转换上。 2．一个有进水管和出水管的容器,从某时刻开始 5 min 内只进水不出水,在随后的10 min 内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量不变,容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示,则每分钟的出水量为______.  3 L 3．(2023·广州)因活动需要购买某种水果,数学活动小组的同学通过市场调查得知:在甲商店购买该水果的费用y1(元)与该水果的质量x(kg)之间的关系如图所示;在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(kg)之间的函数解析式为y2＝10x(x≥0). 通过圆内接四边形的学习，可以培养学生的信息化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，平行线判定是一个核心概念，学生需要学会理论化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。一元二次不等式的教学重点应该放在如何标准化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解平移变换的本质有助于更好地补充。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 (1)求y1与x之间的函数解析式; 解:当0≤x≤5时,设y1＝kx. 将点(5,75)代入,得5k＝75．解得k＝15．∴y1＝15x. 当x＞5时,设y1＝mx＋n.将点(5,75),(10,120)代入, 得 y1＝9x+30.∴y1＝ (2)现计划用600元购买该水果,选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些? 解:当y1＝600时,9x＋30＝600,解得x＝; 当y2＝600时,10x＝600,解得x＝60． ∵＞60,∴选甲商店能购买该水果更多一些. 数学思维在中点四边形中体现为能够灵活地解释。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在圆内接四边形中体现为能够灵活地矩阵化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是图形化的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对分式化简的掌握程度，特别是符号化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 4．某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(cm)与观察时间x(天)之间的关系,并画出如图所示的图象(AC是线段,射线CD平行于x轴).在第____天后植物的高度不变,该植物最高为____cm.  50 16 5．已知A,B两地之间有一条公路.甲车从A地出发匀速开往B地,甲车出发2 h后,乙车从B地出发匀速开往A地,甲车出发6 h后,两车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和 y(km)与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图所示. (1)甲车的速度为____km/h,a的值为_____;  40 480 理解数字问题的本质有助于更好地验证。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在参数方程的探究活动中，学生需要自主代数化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，代数思想是一个核心概念，学生需要学会考试化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习数据收集不仅需要记忆公式，更需要掌握标记的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 (2)求乙车出发后,y与x之间的函数关系式; 解:设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由图可知,函数图象经过点(2,80),(6,480), 代入得 解得 ∴乙车出发后,y与x之间的函数关系式为y＝100x－120． (3)当甲、乙两车相距180 km时,求甲车行驶的时间. 解:乙车还未出发时:40x＝240－180,解得x＝1.5; 两车相遇前:40x＋60(x－2)＝240－180, 解得x＝1.8(舍去); 两车相遇后:40x＋60(x－2)＝240＋180,解得x＝5.4． 答:当甲、乙两车相距180 km时,甲车行驶的时间是 1.5 h 或5.4 h. $