精品解析：第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级

**基本信息** 小学五年级数学竞赛试卷，以20道填空题系统考查数论、几何等知识，通过抽象能力、推理意识与空间观念的综合训练，适配竞赛选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|因数倍数（如第6题123456因数计数）、几何面积（如第17题平行四边形中三角形面积）、行程问题（如第20题圆形跑道相遇）|梯度设计，从基础计算到复杂推理，融合数学眼光（如第7题长方形计数）与数学思维（如第18题最大公因数探究）|

第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级 一、填空题。 1. 计算：（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先观察分数的分母，发现分母只有和，再利用加法交换律和减法性质把同分母分数凑在一起，最后分组计算。 【详解】 2. 计算： （ ）。 【答案】 【解析】 【分析】乘法算式中有相同的分数，可以利用乘法分配律的逆用进行计算。 【详解】 3. 计算： （ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先将带分数转化为假分数；通过观察可以发现同分母的分子存在倍数关系，即分母是，分子是的4倍，分母是，分子是的4倍，分母是，分子是的4倍；然后进行拆项，最后进行分数乘除计算。 【详解】 4. 计算：（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先算同分母的加法，即先算每个小括号里面的值；然后会发现除第一个数以外，剩下的数是以为首项，以为尾项，项数为的等差数列，再按高斯求和求出结果即可。 【详解】 5. 计算： （ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先将带分数转化成假分数，用整数乘分母加分子做分子；接着利用乘法分配律的逆用；最后进行同分母的加法即可。 【详解】 6. 在123456的所有因数中，不是6的倍数的数共有（ ）个。 【答案】16 【解析】 【分析】因数的个数由合数分解质因数后，不同的质因数的指数决定。若N＝pa×qb×rc ，则总因数个数为（a＋1）（b＋1）（c＋1）。首先要对123456分解质因数，再根据因数个数的计算定律，先算出123456的总因数个数，再减去其中是6的倍数的因数个数，就能得到结果。 【详解】123456 ＝ 26×31×6431 （6＋1）×（1＋1）×（1＋1） ＝7×2×2 ＝28 计算是6的倍数的因数个数：6的质因数分解是2×3，所以是6的倍数的因数，必须至少包含21和31。 2的指数可以取 1、2、3、4、5、6（共6种） ​3的指数只能取1（共1种） ​643的指数可以取0、1（共2种） 所以个数为：6×1×2＝12 计算不是6的倍数的因数个数：28－12＝16（个） 【点睛】1．核心方法：整体减部分，避繁就简。 2．关键工具：质因数分解与因数个数公式。 3．易错提醒：指数的取值边界，计算总因数个数时，指数要从0开始选，所以公式里是“指数＋1”，千万不要漏加1。计算“是6的倍数的因数”时，2的指数要从1开始选（不能选0），3的指数也必须至少选1，否则就不满足“是6的倍数”的条件，这是最容易出错的地方。 7. 如图，一共能数出（ ）个长方形。 【答案】165 【解析】 【分析】将图形分成两部分分别计算，第一部分为上方4行5列的长方形，第二部分为左侧5行2列的长方形。分别计算出两个长方形中各有多少个长方形，再加起来就是一共能数出的长方形。 计算第二部分的长方形数量时，纵向的线段只能用包含左下方多出的第一段线段（标红部分）的线段，否则会与第一部分的计算重复。如图： 【详解】第一部分：上方4行5列的长方形网格。 横向线段总数：5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 纵向线段总数：4＋3＋2＋1＝10（条） 15×10＝150（个） 第二部分：左侧5行2列的长方形。 横向线段总数：2＋1＝3（条） 纵向线段总数：包含左下方第一条线段的线段共有5条。 3×5＝15（个） 150＋15＝165（个） 一共能数出165个长方形。 8. 所有10110的倍数中，恰好有10110个因数的数共有（ ）个。 【答案】24 【解析】 【分析】先对进行质因数分解，即； 因为是的倍数，所以（均为大于1的自然数，为不含2，3，5，337质因数的正整数） 根据因数个数定理，的因数个数为（为的因数个数） 已知恰好有个因数，可得； 由于，则 所以，即，且 从4个不同的数2，3，5，337中选4个进行排列，对应的值； 根据排列数公式，这里，，计算即可。 【详解】 因为是的倍数，所以（，为不含2，3，5，337质因数的正整数） 根据因数个数定理， 且恰好有个因数，可得； 由于，则 所以，即，且 将这四个数进行自由组合可得（种）不同的组合法，于是有24个满足条件的数。 【点睛】这道题的关键在于理解和应用因数个数的计算方法，并通过质因数分解来寻找符合条件的数。 9. 长和宽都是自然数，面积为的形状不同的长方形共有（ ）种。 【答案】 【解析】 【分析】面积为的形状不同的长方形，由于长方形的面积等于长乘宽，也就是找的正因数对的数量。可以先找的正因数个数，一个数的质因数分解成，正因数个数为；再用正因数个数除以就可以得到形状不同的长方形。 【详解】 正因数个数： 因为 202200 不是完全平方数（质因数分解中指数3、1、2、1不全是偶数），所以没有长宽相等的情况，正因数可以两两配对成不同的长方形。数对的个数：（个） 长和宽都是自然数，面积为的形状不同的长方形共有种。 10. 一个数有15个因数，这个数最小是，次小是。那么 的和是（ ）。 【答案】468 【解析】 【分析】一个数的质因数分解成，正因数个数为，已知因数个数为，先把拆分成几个大于的整数之积，即分解成或；接着确定数的结构，，，，即或；最后进行计算比较。 【详解】分解成或 数的结构：或 第一种情况：数的结构： 当时， 第二种情况：数的结构： 当，时，， 当，时，， ， 【点睛】这道题的关键技巧，要使数最小，底数要尽可能小，较大的指数分配给较小的质数。 11. 将3030个灯泡编成3030个号，即： ，现有3030个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第3030个人将3030号灯泡拉一下。假定开始时，灯泡全不亮，试问：这3030个人全拉完后，共有（ ）盏灯泡是亮的。 【答案】 【解析】 【分析】当灯泡的开关被拉奇数次时，灯泡是亮的；当灯泡的开关被拉偶数次时，灯泡是不亮的；通常情况下，一个数的因数是成对出现的，要想这个数因数的个数为奇数，这个数就是一个完全平方数；要想这些灯泡是亮的，就是找到之间完全平方数的个数即可。 【详解】 所以到之间完全平方数有，共个。 【点睛】这道题的解题关键是第号灯泡的开关被拉的次数，正好等于因数的个数；完全平方数的因数个数为奇数。 12. 在中，能够化成有限小数的个数为（ ）个。 【答案】 【解析】 【分析】一个最简分数，如果它的分母的质因数分解中只包含质因数2和5，那么这个分数就能化成有限小数；如果分母中除了2和5以外还含有其他的质因数，就不能化成有限小数。 【详解】，是最简分数，分母为，，质因数中有其他因数，不能化成有限小数 ，是最简分数，分母为，，质因数中有其他因数，不能化成有限小数 ，最简分数为，分母为，分母只有质因数，能化成有限小数 ，是最简分数，分母为，，质因数中没有其他因数，能化成有限小数 ，是最简分数，分母为，分母只有质因数，不能化成有限小数 ，是最简分数，分母为，，质因数中没有其他因数，能化成有限小数 ，最简分数为，分母为，分母只有质因数，能化成有限小数 ，最简分数为，分母为，分母只有质因数，能化成有限小数 能化成有限小数的数：、、、、，共5个。 13. 写出一个最简真分数，它的分子是35，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环节为3位，当这个分数最大时，分数的分母是（ ）。 【答案】108 【解析】 【分析】设所求的最简真分数为，根据混循环小数的性质，分母（其中与互质），分数为最简真分数且分子是，所以分母不能是的倍数，故；不循环部分为2位，所以的最大值为，即；循环节为3位，所以整除，且不整除9，接着将分解质因数，即；最后通过枚举法找出分母最小的满足题意的分数即可。 【详解】，不是最简真分数，不符合题意 ，是最简真分数，且循环节为位，不符合题意 ，是最简真分数，且循环节为位，符合题意 ，是最简真分数，且循环节为位，符合题意 分数最大时，分母应该最小，即分母最小为。 【点睛】这道题可以先从小数的结构（不循环位数、循环节位数）推导出分母各部分的约束条件，再结合“最简分数”，“最大/最小”等其余条件，最后确定唯一分母。 14. 在三角形中，已知 ，已知三角形面积是216平方厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】63 【解析】 【分析】我们可以用比例法（也叫鸟头模型或共角定理）来解决这个问题，先算出周围三个小三角形的面积，再用△ABC的总面积减去三个小三角形的和，得到△DEF的面积。 【详解】（1）通过题意可得：AF＝FB，FB＝AF＝AB；BD＝2DC，BD＝BC，DC ＝BC；CE＝3EA，CE＝AC，AE＝AC。 （2）计算△AEF面积： △AEF和 △ABC有公共角∠A。共角定理：若两个三角形有一组角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比。 ＝＝＝8 已知＝，（平方厘米） （3）计算△BFD面积： 同理，因为△BFD和△ABC有公共角∠B， ＝＝3 （平方厘米） （4）计算△CDE面积： 同理，△CDE和△ABC有公共角∠C， ＝＝4 （平方厘米） （5）计算△DEF面积： ＝ （平方厘米） 15. 不成倍数的两个自然数和，已知它们的最大公因数是7，最小公倍数是336，那么（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先设定未知数：因为、的最大公因数为，设，（、互质）；根据两个数的最大公因数与最小公倍数的关系：最大公因数7×最小公倍数336，即，把，代入可得，即，解得；接着把拆成两个互质且不成倍数的正整数；然后把这两个正整数分别乘，最后相加即可。 【详解】设，（、互质）； 由题意可得： 把，代入可得， 即， 整理可得； 因为、互质，所以符合条件的只有3和16 则，或者， 或 即 16. 老师在黑板上写下三个数：216，468，A，让同学们求它们的最小公倍数。小明将216当作180进行计算，结果竟与正确答案一致，请问A最小是（ ）。 【答案】1080 【解析】 【分析】先把216、180、468分解质因数，根据看错数字后最小公倍数不变，对比质因数的最高次方，补齐缺失的质因数，求出满足条件的最小A。 【详解】将三个已知的数分解质因数： 216＝23×33 180＝22×32×5 468＝22×32×13 因为216，468，A的最小公倍数和180，468，A的最小公倍数相等，那么对比216和180的不同之处，对于两数中独有的高次质因数需要在A中补齐， 2的最高次：216有23，180只有22，所以A必须含23； 3的最高次：216有33，180只有32，所以A必须含33； 5只有180含有，要保证最小公倍数一致，A必须含因数5； 23×33×5＝1080 A最小是1080。 17. 如图，平行四边形的面积是480平方厘米，分别在边和上，且满足 ，三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】138 【解析】 【分析】这道题告诉了我们大平行四边形的面积以及边上的三组比。我们要通过等积变形将面积的比转化为线段的比，一层一层从外到内的去求小三角形的面积。 我们先算平行四边形里梯形ADFE的面积，再算出△FDG和△AEG的面积，两者相减就得到△EFG的面积。 梯形AED是四边形ABCD中的一部分，我们可以先求梯形的上底DF与DC之间的比例关系，梯形的下底AE与AB之间的比例关系。列出梯形面积计算的式子，可以由平行四边形ABCD的面积转换到梯形的面积。 作平行线GH，△FDG的面积可以通过△FDG和平行四边形DGHC的高相等求得，△AEG的面积可以通过△AEG和平行四边形GABH的高相等求得。 已知平行四边形中，，，所以同底同高的三角形面积是平行四边形的一半。 【详解】根据题意可知： 平行四边形ABCD面积=480平方厘米，设平行四边形ABCD的底边，高为，则：平方厘米。 E是AB中点，且，则：； F在CD上，且，则：，； G在DA上，且，则：，。 （1）求梯形ADFE的面积： 因为平行线之间的距离相等，从图中可以得出，梯形ADFE的高和平行四边形ABCD的高相等，则为h， （平方厘米） （2）求△FDG和△AEG的面积： 过G点作AB的平行线，交CB于H，把平行四边形分成上下两个小平行四边形（如图所示）。 已知，平行四边形DGHC和平行四边形GABH，如果以DG和GA为底，那么两者的高是相等的， 由此可得：平行四边形DGHC的面积是平行四边形GABH的面积3倍，也就是把平行四边形ABCD面积分成4份，平行四边形DGHC的面积占3份，平行四边形GABH的面积占1份， 则平行四边形DGHC的面积为：（平方厘米）； 平行四边形GABH的面积为：（平方厘米）。 在平行四边形DGHC中，设高为， 面积为：（平方厘米） △FDG和平行四边形DGHC的高相等， 面积为： （平方厘米） 平行四边形GABH中，设高为， 面积为：（平方厘米） △AEG和平行四边形GABH的高相等， 面积为： （平方厘米） （3）三角形的面积： （平方厘米） 所以，三角形的面积是138平方厘米。 18. 有6个不同的自然数，它们的和是288288，它们的最大公因数最大可能是（ ）。 【答案】13728 【解析】 【分析】题目中说6个不同的自然数，它们的和是288288，要找它们最大的公因数。我们设这6个数的最大公因数为d，那么这6个数都可以写成“d×一个数”的形式，且这6个乘出来的数必须是互不相同的自然数。根据乘法分配律可得，这6个数的和，就等于d乘以这6个不同的自然数的和，要让d最大，就需要这6个自然数的和最小。 【详解】设这6个不同的自然数的最大公因数是d，那么这6个数可表示为： 其中是互不相同的自然数。 根据乘法分配律，6个数的和为： 要让d最大，就需要最小 是互不相同的自然数，最小的6个自然数就是1、2、3、4、5、6，它们的和是：1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 d×21＝288288 d＝288288÷21＝13728 19. 如图，在中，延长至，使，延长至，使 是上的一点，使 ，若的面积是27平方厘米，则的面积是（ ）平方厘米。 【答案】171 【解析】 【分析】图中给了我们3组比，我们利用三次鸟头模型，将面积的比转化。 利用鸟头模型计算三角形CEF与三角形ABC的面积比：CB＝2CE，CF＝3AF，利用鸟头模型公式＝×，可计算出＝27×＝72（平方厘米），利用鸟头模型计算三角形BDE与三角形ABC的面积比：BD＝AB，BC＝2CE，所以BE＝BC，利用鸟头模型公式＝×，可计算出＝72×＝108（平方厘米）；由题可知：AD＝2AB，AC＝4AF，利用鸟头模型公式＝×，可计算出＝72×＝36（平方厘米），＝＋＋− 【详解】CF＝3AF，所以AC＝4AF，即CF＝AC BC＝2CE，所以CE＝BC ＝× ＝× ＝ ＝ ＝27× ＝72（平方厘米） BC＝2CE，所以BE＝BC ＝× ＝1× ＝ ＝ ＝72× ＝108（平方厘米） AB＝BD，所以AD＝2AB ＝× ＝× ＝ ＝ ＝72× ＝36（平方厘米） ＝＋＋− ＝72＋27＋108−36 ＝171（平方厘米） 【点睛】利用线段比例求三角形面积，等高三角形面积比＝底边长的比例，等底三角形面积比＝高的比；补角三角形面积比，如果两个三角形有一组角互补（和为），且夹这组角的两边对应成比例，那么＝ 20. 如图，三条圆形跑道的周长分别是0.35千米、0.56千米、0.84千米。甲、乙、丙三人骑车分别在里圈、中圈、外圈同时从沿顺时针方向出发。甲、乙、丙三人每小时分别骑6千米、7.2千米、9千米。那么在出发后（ ）分钟，三人首次同时位于图中水平虚线上。 【答案】 【解析】 【分析】图中水平虚线是圆形跑道的直径，当一个人骑行距离为跑道周长的一半的整数倍时，就会位于这条水平虚线，即骑行距离周长的倍数；接着计算每人跑半圈所需的时间；“三人首次同时位于图中水平虚线上”就是求这三个时间的最小公倍数， 【详解】甲（里圈）： 半圈路程：（千米） 跑半圈的时间： （时） （分） 乙（中圈）： 半圈路程：（千米） 跑半圈的时间： （时） （分） 丙（外圈）： 半圈路程：（千米） 跑半圈的时间： （时） （分） 中，分子是7、7、14，最小公倍数是 分母是3、4、5，最大公因数是 的最小公倍数是 那么在出发后14分钟，三人首次同时位于图中水平虚线上。 【点睛】这道题考查的是最小公倍数的应用，重点是求几个分数的最小公倍数的方法：以这几个分数分子的最小公倍数为分子，以这几个分数分母的最大公因数为分母，最后结果能约分的要约分。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学五年级 一、填空题。 1. 计算：（ ）。 2. 计算： （ ）。 3. 计算： （ ）。 4. 计算：（ ）。 5. 计算： （ ）。 6. 在123456的所有因数中，不是6的倍数的数共有（ ）个。 7. 如图，一共能数出（ ）个长方形。 8. 所有10110的倍数中，恰好有10110个因数的数共有（ ）个。 9. 长和宽都是自然数，面积为的形状不同的长方形共有（ ）种。 10. 一个数有15个因数，这个数最小是，次小是。那么 的和是（ ）。 11. 将3030个灯泡编成3030个号，即： ，现有3030个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第3030个人将3030号灯泡拉一下。假定开始时，灯泡全不亮，试问：这3030个人全拉完后，共有（ ）盏灯泡是亮的。 12. 在中，能够化成有限小数的个数为（ ）个。 13. 写出一个最简真分数，它的分子是35，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环节为3位，当这个分数最大时，分数的分母是（ ）。 14. 在三角形中，已知 ，已知三角形面积是216平方厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。 15. 不成倍数的两个自然数和，已知它们的最大公因数是7，最小公倍数是336，那么（ ）。 16. 老师在黑板上写下三个数：216，468，A，让同学们求它们的最小公倍数。小明将216当作180进行计算，结果竟与正确答案一致，请问A最小是（ ）。 17. 如图，平行四边形的面积是480平方厘米，分别在边和上，且满足 ，三角形的面积是（ ）平方厘米。 18. 有6个不同的自然数，它们的和是288288，它们的最大公因数最大可能是（ ）。 19. 如图，在中，延长至，使，延长至，使 是上的一点，使 ，若的面积是27平方厘米，则的面积是（ ）平方厘米。 20. 如图，三条圆形跑道的周长分别是0.35千米、0.56千米、0.84千米。甲、乙、丙三人骑车分别在里圈、中圈、外圈同时从沿顺时针方向出发。甲、乙、丙三人每小时分别骑6千米、7.2千米、9千米。那么在出发后（ ）分钟，三人首次同时位于图中水平虚线上。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $