整式乘法单元过关检测卷2025-2026学年七年级数学下册暑假作业（湘教版）

**基本信息** 以整式乘法为核心，通过基础运算、公式应用、逆向思维、数形结合及代数推理模块，系统构建“概念-技巧-应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-2、填空11-12|幂的运算法则直接应用|从同底数幂到多项式乘法的概念生成| |公式应用|选择4、填空14|平方差/完全平方公式特征分析|公式推导到几何意义理解| |逆向思维|解答20|幂的运算逆向转化|正向运算到逆向化简的思维迁移| |数形结合|选择9、解答24|面积模型构建与公式验证|代数表达式与几何图形的对应关系| |代数推理|解答23|杨辉三角规律探究与赋值法|二项式展开系数规律到整除性证明|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 整式乘法单元过关检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，变形即可求出的值． 【详解】解：根据同底数幂乘法法则，可得， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：∵根据积的乘方运算法则，，再根据幂的乘方法则，，∴，A正确． 选项B：∵根据完全平方公式，，∴，B错误． 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴，C错误． 选项D：∵与不是同类项，不能合并，∴，D错误． 3．已知，，则的值为(     ) A．5 B．9 C．4 D．13 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 将，代入得． 4．已知正方形的边长为（），若将各边长均增加2后得到新正方形，则新正方形的面积增加了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据正方形面积公式求出原正方形和新正方形的面积，再计算面积差，化简后即可得到结果． 【详解】解：∵ 原正方形边长为， ∴ 原正方形面积为 ， ∵ 边长增加2后，新正方形边长为 ， ∴ 新正方形面积为 ， 计算面积增加量： ， 因此新正方形面积增加了． 5．已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 6．已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴代入得． 7．如果代数式的展开式中不含x的一次项，那么m的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】先展开原式合并同类项，再根据不含一次项的条件得到一次项系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 又展开式中不含的一次项， 一次项的系数为，即 ， 解得． 8．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 9．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 【答案】B 【分析】根据图2中阴影部分的面积为27列式求出，然后利用完全平方公式的变形求出，然后列式求解图2中空白部分的面积即可． 【详解】解：∵图2中阴影部分的面积为27， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴图2中空白部分的面积为． 10．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律·有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为；④的展开式中第三项的系数为．其中正确的有（   ） …… …… A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据杨辉三角与二项式展开的规律判断即可． 【详解】验证结论①： ∵时，，展开式有项，系数和为， 时，，展开式有项，系数和为， 时，，展开式有项，系数和为， ∴ 展开式的展开式有项，系数和为，结论①中系数和为，故①错误； 验证结论②： 由展开式规律得， 令，得：，故②正确； 验证结论③： 根据杨辉三角的系数规律，展开式的系数依次为，最大系数为，故③正确； 验证结论④：∵时，的展开式中，第三项的系数为， 时，的展开式中，第三项的系数为， 时，的展开式中，第三项的系数为 ∴展开式中，第三项的系数规律为， 当时，第三项系数为，故④正确； 综上，正确结论共个， 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 12．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 13．图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 【答案】 【分析】根据梯形的面积公式列出代数式，利用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，梯形的上底为，下底为，高为， 根据梯形的面积公式，得 ∴图中梯形的面积为． 14．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征求解即可． 【详解】∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴该完全平方式为或， 若，根据对应系数相等可得，解得； 若，根据对应系数相等可得，解得． 15．已知的展开式中，不含有和，则______． 【答案】 【分析】首先根据多项式乘以多项式法则将原式展开，结合展开式中不含有和，可得关于，的二元一次方程组并求解，然后代入求值即可． 【详解】 ， 展开式中不含有和， ，解得，     ． 16．已知，则______． 【答案】 【分析】设，，得，，根据完全平方公式变形得： 代入计算即可． 【详解】解：设，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 18．（6分）观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 【答案】(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘 (2) 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等． （1）根据题干算式，直接写出其运用的幂的运算法则即可； （2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算即可 【详解】（1）解：算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）解：． 19．（8分）计算：，当a取2，b取1时，求原式的值． 【答案】； 【分析】先运用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 20．（8分）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解； （2）可利用幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法的逆运算可求解值； （3）将，，，化为相同的指数，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 21．（10分）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 22．（10分）【知识生成】 (1)利用图①，图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式： ， ； 【直接应用】 (2)已知：，，求和的值； 【问题解决】 (3)如图②所示，四边形是长方形，分别以，为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为，求长方形的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用图形的面积得到完全平方公式； （2）利用完全平方公式变形求代数式的值； （3）设，，则有，利用完全平方公式可得：，由两正方形的面积和为可得：，求出的值即为长方形的面积． 【详解】（1）解：图中大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 又大正方形的面积大阴影正方形的面积两个长方形的面积小阴影正方形的面积， 大正方形的面积为， 可得乘法公式：； 图中大阴影正方形的边长为， 大阴影正方形的面积为， 又大阴影正方形的面积大正方形的面积两个长方形的面积小阴影正方形的面积， 大阴影正方形的面积， 可得乘法公式：； （2）解：， ， ，， ； ； （3）解：设，，则有， 两正方形的面积和为， ， ， ， ， ， 长方形的面积是． 23．（12分）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出二项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应二项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数是杨辉三角中第四行的四个数． 根据这个规律，试解决下列问题： (1)试写出下一个展开式：_____． (2)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）令，可得，即可解答； （3）根据规律分别求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则， 令，则， ； （3）证明：∵ ， ， ∴ ， ∵x是整数， ∴也是整数， ∴能被50整除． 24．（12分）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)13 (2)10 (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】（1）利用公式求解即可； （2）设，则，进而得，利用公式变形，代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （3）解：设， 于点E，米， ，，，，， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 整式乘法单元过关检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为(     ) A．5 B．9 C．4 D．13 4．已知正方形的边长为（），若将各边长均增加2后得到新正方形，则新正方形的面积增加了（     ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 7．如果代数式的展开式中不含x的一次项，那么m的值为（     ） A． B． C．4 D．5 8．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 9．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 10．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律·有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为；④的展开式中第三项的系数为．其中正确的有（   ） …… …… A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算：________． 12．计算：________． 13．图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 14．若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为________． 15．已知的展开式中，不含有和，则______． 16．已知，则______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 19．（8分）计算：，当a取2，b取1时，求原式的值． 20．（8分）幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是 ． (2)若，求的值． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ （提示：， 为正整数，那么） 21．（10分）已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 22．（10分）【知识生成】 (1)利用图①，图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式： ， ； 【直接应用】 (2)已知：，，求和的值； 【问题解决】 (3)如图②所示，四边形是长方形，分别以，为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为，求长方形的面积． 23．（12分）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出二项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应二项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数是杨辉三角中第四行的四个数． 根据这个规律，试解决下列问题： (1)试写出下一个展开式：_____． (2)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 24．（12分）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $