专题1整式乘法能力提升（常考题型）暑假作业专练2025-2026学年七年级数学（湘教版）

**基本信息** 聚焦整式乘法两大常考压轴题型，以“策略-典例-训练”构建系统方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心考点|2考点（含策略）|“先化简再代入”“展开合并令系数为零”|从乘法公式/分配律到化简求值、不含某项问题的应用推导| |典例精析|2道（覆盖核心考法）|强调符号处理、系数分析等关键步骤|通过具体问题展示方法应用，突出易错点| |针对训练|20道（选择/填空/解答）|迁移核心策略解决变式问题|由基础到综合，巩固整式乘法运算与代数推理能力|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 专题1整式乘法能力提升（常考题型）专练 一、 核心考点与解题策略 本专题聚焦湘教版七年级数学整式乘法中的两大常考压轴题型，要求学生具备较强的代数推理与计算能力。 1. 整式乘法的化简求值：核心策略是“先化简，再代入”。切忌直接将数值代入原式进行复杂计算。化简过程中需熟练运用乘法分配律及乘法公式（平方差、完全平方），合并同类项后，再将字母的值代入最简式求值。 2. 不含某项（或常数项）问题：核心策略是“展开合并，令系数为零”。首先将多项式按乘法法则完全展开，然后合并同类项。找出题目要求“不含”的项，令其对应的系数等于 ，从而建立关于未知字母的方程求解。 二、 典例精析 【考点1：整式的乘法中化简求值】 【例题1】 先化简，再求值： ，其中 。 【分析】 先利用完全平方公式展开第一项，利用平方差公式展开第二项，注意去括号时的符号变化。合并同类项后，再代入 的值。 【解答】 原式 。 当 时，原式 。 【方法总结】 化简求值题，化简是基础，代入求值是目的。展开 时，负号要分配给括号内的每一项。 【考点2：已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例题2】 若多项式 的展开式中不含 的一次项，求 的值。 【分析】 先将多项式展开，合并同类项。因为不含 的一次项，所以合并后 的一次项系数必须为 。 【解答】 原式 。 展开式中不含 的一次项， 一次项系数 ，解得 。 【方法总结】 “不含某项”即意味着该项的系数为 。解题的关键在于准确找出目标项的系数，并令其等于 。 三、 针对训练 1．已知的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 3．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 4．若的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．若的积中不含x的二次项和一次项，则_________． 6．如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． 7．多项式与的积不含有的一次项，则的值为_____________． 8．若整式的计算结果中不含项，则________． 9．把代数式展开，若整理后不含的一次项，则的值为________． 10．已知，则______． 11．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 12．若的展开式中不含的一次项，则_____． 13．先化简，再求值：，其中，． 14．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 15．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 16．先化简，再求值：，其中x与y满足． 17．化简求值：，其中． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．先化简，再求值：，其中，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 专题1整式乘法能力提升（常考题型）专练 一、 核心考点与解题策略 本专题聚焦湘教版七年级数学整式乘法中的两大常考压轴题型，要求学生具备较强的代数推理与计算能力。 1. 整式乘法的化简求值：核心策略是“先化简，再代入”。切忌直接将数值代入原式进行复杂计算。化简过程中需熟练运用乘法分配律及乘法公式（平方差、完全平方），合并同类项后，再将字母的值代入最简式求值。 2. 不含某项（或常数项）问题：核心策略是“展开合并，令系数为零”。首先将多项式按乘法法则完全展开，然后合并同类项。找出题目要求“不含”的项，令其对应的系数等于 ，从而建立关于未知字母的方程求解。 二、 典例精析 【考点1：整式的乘法中化简求值】 【例题1】 先化简，再求值： ，其中 。 【分析】 先利用完全平方公式展开第一项，利用平方差公式展开第二项，注意去括号时的符号变化。合并同类项后，再代入 的值。 【解答】 原式 。 当 时，原式 。 【方法总结】 化简求值题，化简是基础，代入求值是目的。展开 时，负号要分配给括号内的每一项。 【考点2：已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例题2】 若多项式 的展开式中不含 的一次项，求 的值。 【分析】 先将多项式展开，合并同类项。因为不含 的一次项，所以合并后 的一次项系数必须为 。 【解答】 原式 。 展开式中不含 的一次项， 一次项系数 ，解得 。 【方法总结】 “不含某项”即意味着该项的系数为 。解题的关键在于准确找出目标项的系数，并令其等于 。 三、 针对训练 1．已知的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项后，令x的一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：展开并整理原式： ∵乘积中不含的一次项， ∴一次项的系数为，即， 解得：． 2．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 3．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，由乘积不含项可知项的系数为，据此列方程求解的值 【详解】解： 又∵ 乘积中不含项， ∴ 项的系数为，即 解得 4．若的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】展开式中不含某一项，即合并同类项后该项的系数为0，先展开原式合并同类项，再令项的系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 5．若的积中不含x的二次项和一次项，则_________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由积不含x的二次项和一次项，可得对应项的系数为0，求出与的值，再计算ab即可． 【详解】解： ， ∵ 积中不含x的二次项和一次项， ∴ 二次项和一次项的系数都为0，可得 ，解得 ， ∴． 6．如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． 【答案】 2 3 【分析】先根据乘法公式和单项式乘以多项式的运算法则把“数值转换机”里面的多项式去括号，然后合并同类项化简，再根据依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是，建立关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是， ∴， ∴． 7．多项式与的积不含有的一次项，则的值为_____________． 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式运算法则化简，再由积中不含的一次项得到的一次项系数为，列方程求的值即可． 【详解】解： ， 积不含有的一次项， ，解得． 8．若整式的计算结果中不含项，则________． 【答案】2 【分析】先利用多项式乘多项式的运算法则化简原式，再根据题意，令的系数为零求解即可． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含项， ∴， 解得． 9．把代数式展开，若整理后不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， 由题意，， 解得. 10．已知，则______． 【答案】 【分析】先根据已知的表达式变形，推导出，再将所求多项式拆分降次，代入简化计算． 【详解】解： ， ， 两边平方得， 展开整理得， 对所求多项式变形： 代入，得 代入，得 11．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【答案】 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出 ，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得： ． 12．若的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，21 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 14．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 15．阅读下列材料，完成后面的任务． 定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由； (2)若，是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”． ①嘉嘉同学认为可能是二项式，请你写出一个符合条件的二项式，即_____； ②乐乐同学认为也可能是三项式，设（，是常数，，），请判断乐乐同学的说法是否正确？若正确，求出多项式，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： ，， ， 的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； (2)①（答案不唯一）；②乐乐同学的说法正确， 【分析】（1）首先计算、的乘积，再利用“友好多项式”的定义判断即可； （2）①根据“特别友好多项式”的定义，写出符合条件的二项式即可； ②利用多项式乘以多项式法则计算、的乘积，再利用“特别友好多项式”的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 若， ∴， 此时的项数与的项数相同，是的“特别友好多项式”， ∴写出一个符合条件的二项式，即（答案不唯一）； ②乐乐同学的说法正确，理由如下： 若，（，是常数，，）， ∴ ∵， ∴， 若是的“特别友好多项式”， ∴的项数与的项数相同，即C是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 16．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】 ， 【分析】先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 17．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘法、加减法的法则进行化简，再代入求值． 【详解】解： 把代入上式， 原式． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：                                   ；                                   当时， 原式. 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $