2.4 有理数的加法与减法 讲义-2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加相反数）及加减混合运算（统一加法、省略括号），构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过10类题型（含基础运算、符号问题、实际应用等），结合例题与变式题递进训练，培养运算能力与应用意识。如行程问题、温度差计算等实际情境题，助力学生用数学语言表达现实世界，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

2.4 有理数的加法与减法（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·有理数加法运算】 2 【题型 2·有理数加法中的符号问题】 3 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 3 【题型 4·有理数加法运算律】 4 【题型 5·有理数的减法运算】 5 【题型 6·有理数减法的实际应用】 6 【题型 7··有理数的加减混合运算】 7 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 8 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 9 【题型 10·省略加法和括号的形式】 11 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【题型 1·有理数加法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型 2·有理数加法中的符号问题】 【例2】把写成省略加号和括号的形式为________． 【变式2-1】将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【变式2-2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式2-3】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 【例3】某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式3-1】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【变式3-2】在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)通过计算说明：地在地的______（选“东边”或“西边”填）方向，与地相距______千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点是______； (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求途中还需补充多少升油． 【变式3-3】小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 【题型 4·有理数加法运算律】 【例4】计算： (1)． (2)． 【变式4-1】简便计算：． 【变式4-2】计算： (1)． (2)． 【变式4-3】运用加法的运算律简单计算： （1） ． （2）． （3）． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【题型 5·有理数的减法运算】 【例5】计算：_____． 【变式5-1】计算：___． 【变式5-2】______． 【变式5-3】_____． 【题型 6·有理数减法的实际应用】 【例6】小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 【变式6-1】某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． 【变式6-2】下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数． 纽约 莫斯科 东京 (1)北京时间早上8：00，则东京此时的时间是 ． (2)求莫斯科与纽约的时差． 【变式6-3】全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 100 150 350 (1)第一名超出第四名多少分？ (2)第五名比第四名少多少分？ 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型 7··有理数的加减混合运算】 【例7】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-2】计算下列各式． (1)； (2) 【变式7-3】计算： (1) (2) 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 【变式8-1】计算： (1) (2) 【变式8-2】计算： (1) (2) 【变式8-3】计算 (1) (2) (3) (4) 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 【例9】一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为，，，，，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，．请问： (1)销售点距离仓库多远？ (2)试求出该货车共行驶了多少千米； (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往，，，，五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 【变式9-1】今年的“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） (1)10月4日的旅客人数为_____万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 【变式9-2】用数学的眼光看世界，为了发现身边的数学，小阳和其他7位组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们8人主要观察统计相邻的A．西门里，B．桥梓口，C．广济街、D．钟楼四个车站．沿路上下的乘客人数变化情况如下表所示（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）： 站点 A B C D 上下车人数变化情况 15 10 6 3 已知西门里站的前一站出发时车上有16名乘客，他们设计的问题如下： (1)请问该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？ (2)请问公交车行驶过程中，离开哪一站时的乘客最多？ 【变式9-3】周至“翠香”猕猴桃因纯甜无酸、果肉细腻和维生素C含量高，位居猕猴桃品牌排名榜首．当地通过电商销售猕猴桃，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是电商销售期间第一周销售量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售量（单位：千克） (1)第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售多少？ (2)在销售期间，猕猴桃售价为8元/千克，种植成本及快递费用平均为5元/千克，则第一周电商销售猕猴桃为当地农民一共创收多少元？ 【题型 10·省略加法和括号的形式】 【例10】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．点A为数轴上表示的点，将点A在数轴上向左平移5个单位长度到点B，则点B表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 3．6月份李明体重增加了，张华体重减少了，刘伟体重无变化，若体重增加记为正、减少记为负，那么这三人6月份体重总变化量可列式为（   ） A． B． C． D．-2-0.5-0 4．将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 7．如图是同一时刻深圳和佳木斯的天气信息，此时两地的温差为_____．    8．若，，且，则的值为_______． 9．国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）；如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 ＋1 10．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 11．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 有理数的加法与减法（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型1 有理数加法运算】 2 【题型2 有理数加法中的符号问题】 2 【题型3 有理数加法在生活中的应用】 3 【题型4 有理数加法运算律】 4 【题型5 有理数的减法运算】 5 【题型6 有理数减法的实际应用】 5 【题型7 有理数的加减混合运算】 6 【题型8 有理数加减中的简便运算】 3 【题型9 有理数加减混合运算的应用】 3 【题型10 省略加法和括号的形式】 3 【随堂检测】 9 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 【题型 1·有理数加法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （3）根据一个数与0相加，仍得这个数计算即可； （4）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （5）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （6）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法的运算法则为解题关键． （1）先去括号再计算即可； （2）先去括号再计算即可； （3）先去括号再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 题型 2·有理数加法中的符号问题】 【例2】把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 【变式2-1】将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式2-3】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【题型 3·有理数加法在生活中的应用】 【例3】某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 【变式3-1】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员在球门前处 (2)守门员共跑了 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）将所有数字相加进行计算即可； （2）将所有数字的绝对值相加进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴守门员在球门前处； （2）解：， ∴守门员共跑了． 【变式3-2】在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)通过计算说明：地在地的______（选“东边”或“西边”填）方向，与地相距______千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点是______； (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求途中还需补充多少升油． 【答案】(1)东边；18千米 (2)23千米 (3)途中还需补充7升油 【分析】本题考查的是正数与负数的定义，绝对值的意义，有理数混合运算的应用，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． （1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【详解】（1）解：， 则B地在A地的东边18千米； 故答案为：东边；18千米； （2）解：∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米；千米； 千米． 则最远处离出发点23千米； （3）解：这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升）， 还需补充的油量为：（升）． 【变式3-3】小王记录了纽约商品期货交易所原油期货价格在本周交易日内每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（周六、周日不交易）：（单位：美元） 星期 一 二 三 四 五 每桶涨（美元） (1)星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时是涨还是跌？涨跌多少？ (2)已知本周五收盘时纽约原油期货价格为每桶美元，求上周五收盘时每桶多少美元？ 【答案】(1)星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时跌了美元 (2)上周五收盘时每桶美元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法运算，掌握相关知识是解题关键． （1）将表格内各数相加，结果为正则星期五收盘时纽约原油期货相对上周五收盘时上涨，结果为负则下跌； （2）根据本周五与上周五的涨跌情况及本周五价格，进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（美元）， 答：星期五收盘时纽约原油期货价格相对上周五收盘时下跌，跌了美元； （2）解：（美元）， 答：上周五收盘时每桶美元． 【题型 4·有理数加法运算律】 【例4】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． （1）先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． （2）利用有理数的加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式4-1】简便计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的加法．利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： 【变式4-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加法法则以及加法的交换律和结合律进行解答即可． （2）根据有理数加法法则以及加法的交换律和结合律进行解答即可． 本题考查了有理数加法，解题的关键是掌握有理数加法的法则和运算律． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-3】运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则是解题的关键, 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 【题型 5·有理数的减法运算】 【例5】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算． 利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-1】计算：___． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数减法法则，将减法转化为加法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-2】______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法是解题的关键；根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，将原式转化为加法运算后计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 【变式5-3】_____． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法后计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【题型 6·有理数减法的实际应用】 【例6】小明家蔬菜大棚内的温度是，此时棚外的温度是．棚内温度比棚外温度高多少摄氏度？ 【答案】27摄氏度 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，结合题意列出减法算式进行求解即可． 【详解】解：， 答：棚内温度比棚外温度高27摄氏度． 【变式6-1】某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． 【答案】(1)本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个 (2)本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）找出本周生产量最多的一天的产量与生产量最少的一天的产量，它们相减即为所求； （2）计算本周与计划量的差值，若为正数，则达标，否则就是不达标，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，本周生产量最多的一天是周四，比计划量多127个，本周生产量最少的一天是周五，比计划量少72个， ∴两天的差值是（个）， ∴本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个． （2）解：本周的产量比计划量的差值为（个）， ∴本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个． 【变式6-2】下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数． 纽约 莫斯科 东京 (1)北京时间早上8：00，则东京此时的时间是 ． (2)求莫斯科与纽约的时差． 【答案】(1)9：00 (2)8小时 【分析】本题考查有理数加法、减法的应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义以及北京和东京的时差列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义以及两个城市与北京的时差列式计算即可． 【详解】（1）解：， ∴北京时间早上8：00，则东京此时的时间是9：00； （2）解：， 答：莫斯科与纽约的时差是8小时． 【变式6-3】全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 100 150 350 (1)第一名超出第四名多少分？ (2)第五名比第四名少多少分？ 【答案】(1)第一名超出第四名450分 (2)第五名比第四名少300分 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键； （1）根据题中表格确定第一名到第五名的得分，再根据超出的意义列出算式，最后根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据少的意义列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可； 【详解】（1）由题知，第一名是350分，第二名是150分，第三名是100分，第四名是分，第五名是分， （分）． 答：第一名超出第四名450分． （2）（分）． 答：第五名比第四名少300分． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【题型 7··有理数的加减混合运算】 【例7】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2)4 (3)3.5 (4) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）根据有理数的加减简便运算可进行求解； （4）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式7-2】计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及求绝对值，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【题型 8·有理数加减中的简便运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据交换律和结合律进行简便计算； （2）根据交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式8-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式8-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算中的简便运算． （1）按照有理数加减运算中的简便运算进行计算即可． （2）按照有理数加减运算中的简便运算进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-3】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0 (4)3 【分析】本题考查了有理数的加减运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【题型 9·有理数加减混合运算的应用】 【例9】一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为，，，，，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，．请问： (1)销售点距离仓库多远？ (2)试求出该货车共行驶了多少千米； (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往，，，，五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 【答案】(1)5千米 (2)18千米 (3)535千克 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数加法的实际应用，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据题意即可解答． （2）根据题意把所走路程记录的绝对值相加即可； （3）根据题意，算出、、、、的水果质量，然后相加即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴销售点距离仓库5千米． （2）解：（千米）， 则该货车共行驶 18 千米； （3）解： 千克． 答：该货车运送的水果总质量是 535 千克． 【变式9-1】今年的“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） (1)10月4日的旅客人数为_____万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数加减法运算，熟练掌握有理数加减法运算法则是解题的关键． （1）从表上可知，10月4日的旅客比10月1日少万人，据此进行计算即可； （2）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （3）先计算这八天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以150即可． 【详解】（1）解：（万人） 故答案为：； （2）解：（万人） 故答案为：； （3）解：（万人） （万元）． 答：黄金周七天的旅游总收入约为6000万元． 【变式9-2】用数学的眼光看世界，为了发现身边的数学，小阳和其他7位组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们8人主要观察统计相邻的A．西门里，B．桥梓口，C．广济街、D．钟楼四个车站．沿路上下的乘客人数变化情况如下表所示（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）： 站点 A B C D 上下车人数变化情况 15 10 6 3 已知西门里站的前一站出发时车上有16名乘客，他们设计的问题如下： (1)请问该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？ (2)请问公交车行驶过程中，离开哪一站时的乘客最多？ 【答案】(1)该公交车离开钟楼站时，车上还有19名乘客； (2)公交车行驶过程中，离开桥梓口站时的乘客最多． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据表格中的数据，可以计算出该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客； （2）根据表格中的数据，可以计算出在离开每一站的乘客，然后即可写出离开哪一站时的乘客最多． 【详解】（1）解：由表格可得， （名）， 即该公交车离开钟楼站时，车上还有19名乘客； （2）解：由表格可得， 离开西门里站时的乘客有：（名）， 离开桥梓口站时的乘客有：（名）， 离开广济街站时的乘客有：（名）， 离开钟楼站时的乘客有：（名）， 由上可得，公交车行驶过程中，离开桥梓口站时的乘客最多． 【变式9-3】周至“翠香”猕猴桃因纯甜无酸、果肉细腻和维生素C含量高，位居猕猴桃品牌排名榜首．当地通过电商销售猕猴桃，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是电商销售期间第一周销售量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售量（单位：千克） (1)第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售多少？ (2)在销售期间，猕猴桃售价为8元/千克，种植成本及快递费用平均为5元/千克，则第一周电商销售猕猴桃为当地农民一共创收多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查的是正负数的意义，有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解正负数的意义，并正确应用． （1）用超过计划最多量减去不足计划最少量，即得； （2）先计算出销售1千克猕猴桃的利润，再计算总的猕猴桃销售量，根据数量利润总利润计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过计划最多量为，不足计划最少量为， 则超过部分为（千克）； 答：第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售千克． （2）总销售数量为：（千克）； 销售1千克猕猴桃所得利润为：（元）； 则总利润为：（元）； 答：第一周电商销售猕猴桃为当地农民一共创收元． 【题型 10·省略加法和括号的形式】 【例10】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 【变式10-1】把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 【变式10-2】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式10-3】将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 随堂检测 【随堂检测】 1．点A为数轴上表示的点，将点A在数轴上向左平移5个单位长度到点B，则点B表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据“左减右加”作答即可． 【详解】解：∵点A表示的数为3，将其向左平移5个单位长度， ∴点B表示的数为． 故选：D． 2．两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查互为相反数的有理数的性质，互为相反数的两个数和为，求另一个数只需取已知数的相反数即可． 【详解】解：两个有理数的和为 这两个数互为相反数 其中一个数是 另一个数是的相反数，即 故选：A． 3．6月份李明体重增加了，张华体重减少了，刘伟体重无变化，若体重增加记为正、减少记为负，那么这三人6月份体重总变化量可列式为（   ） A． B． C． D．-2-0.5-0 【答案】C 【分析】本题考查正负数的应用，根据体重增长值表示体重变化情况，增加为正数，减少为负数，无变化为零，即可得出结果． 【详解】解：∵李明的体重变化量为，张华的体重变化量为，刘伟的体重变化量为， ∴三人6月份体重总变化量可列式为， 故选：C． 4．将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解：将写成省略加号和括号的形式为． 故选：C． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减去一个数等于加上它的相反数逐项计算即可． 【详解】解：A∶，错误； B∶，正确； C∶，错误； D∶，错误． 故选B． 6．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，一横表示，一竖表示，白色为正，黑色为负， ∴图表示：， 故选：D． 7．如图是同一时刻深圳和佳木斯的天气信息，此时两地的温差为_____．    【答案】37 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用深圳的气温减去佳木斯的气温即可得到答案． 【详解】解：， ∴此时两地的温差为， 故答案为：37． 8．若，，且，则的值为_______． 【答案】8或18 【分析】本题考查绝对值的定义，确定a和b的可能取值，结合的条件筛选符合条件的组合，最后计算的值即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当时，， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：8或18. 9．国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）；如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 ＋1 【答案】8时 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的运算方法进行求解是解决本题的关键． 根据表格中的数据以及带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， 即此时巴黎的时间为8时， 故答案为：8时． 10．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)露营基地在家的东边，离家有 (2)李明一共行驶了 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算，根据向东为正，向西为负即可得出答案； （2）根据绝对值的实际意义，将各数的绝对值相加并计算即可． 【详解】（1）解：； 答：露营基地在家的东边，离家有； （2）解：， 答：李明一共行驶了． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $