精品解析：河南省周口市川汇区部分校2025—2026学年度下期期末质量监测 八年级数学

2025-2026学年度下期期末质量监测八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠B＝∠C+∠A B. a2＝（b+c）（b﹣c） C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a：b：c＝3：4：5 3. 如图，在菱形ABCD中，BD＝2，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ） A. 2 B. 18 C. 10 D. 8 4. 一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为( ) A. 1260° B. 1080° C. 1620° D. 360° 5. 一次函数的图象经过，当比例系数时，其图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数y＝kx+b图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＜x2，则有y1＞y2，由此判断下列不等式恒成立的是(　　) A. k＞0 B. k＜0 C. b＞0 D. b≤0 7. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 5.5 D. 10 9. 如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________． 12. 若一次函数图像沿y轴向上平移5个单位，则平移后图像的解析式为____ 13. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 14. 如图所示，已知函数和的图象相交于点，则根据图象可得关于的不等式的解集是_________． 15. 在矩形中，，点在矩形内部，连接、，若的面积是矩形面积的，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题． （1）这次调查获取的样本容量是 （直接写出结果） （2）这次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ．（直接写出结果） （3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费． 18. 如图，点分别为四边形四条边的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当_________时，四边形是矩形；当_________时，四边形是菱形． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m的值． （2）设直线，，分别于y轴交于点B，C，求的面积． （3）结合图像，直接写出不等式的解集． 20. 某班40名学生身高信息如图所示．请回答以下问题： （1）_________，_________，_________； （2）根据身高将同学们排序，中间的学生身高处于哪个范围？ （3）从图中能否直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数？请说明理由． 21. 近年来，中国传统服饰汉服备受青睐，某服装店购进汉服进行销售，其中，两款每件的进货价和销售价如表（单位：元）． 类别 款 款 进价 70 80 售价 100 120 （1）该服装店第一次购进款汉服30件，款50件，求服装店销售完这批汉服获得的利润． （2）该服装店第二次按原进价购进两款共100件，为了促销，款售价不变，款打九折销售，已知第二次进货总费用不高于7400元，且款数量不少于款数量的，服装店应如何设计进货方案，才能在销售完这批服装后获得的利润最大，最大利润是多少？ 22. 问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． （1）猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移 （2）如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用 （3）若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，． （1）求直线的解析式； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发，过点作轴的垂线分别交直线于点．设两点的运动时间为秒． ①_________，_________．（用含的式子表示） ②求证：四边形是矩形（点重合时除外，仅依据图2进行证明）； （3）在（2）的条件下，当点运动_________秒时，四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期末质量监测八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可得到答案，判定条件为：被开方数不含能开得尽方的因数（或因式），且被开方数不含分母． 【详解】解： 对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对于选项C，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠B＝∠C+∠A B. a2＝（b+c）（b﹣c） C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a：b：c＝3：4：5 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理求解可判断由勾股定理的逆定理可判断由三角形的内角和定理求解 可判断 设 则 利用勾股定理的逆定理可判断 【详解】解： 故不符合题意； 故不符合题意； 不是直角三角形，故符合题意， 设 则 故不符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 3. 如图，在菱形ABCD中，BD＝2，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ） A. 2 B. 18 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】如图，记对角线的交点为O，证明再利用勾股定理求解OA， AB，从而可得答案． 【详解】解：如图，记对角线的交点为O， 菱形ABCD，∠BAD＝120°，BD＝2， 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，掌握“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”是解本题的关键． 4. 一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为( ) A. 1260° B. 1080° C. 1620° D. 360° 【答案】A 【解析】 【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可求解． 【详解】360°÷40°=9， ∴(9−2)⋅180°=1260°. 故选A. 【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握运算公式. 5. 一次函数的图象经过，当比例系数时，其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例系数，图象从左到右下降，与y轴交点在正半轴判断． 【详解】解: ∵比例系数， ∴图象从左到右下降，排除B和D选项； ∵一次函数图象经过， ∴图象与y轴交点在正半轴， ∴B不符合题意；A符合题意. 6. 已知一次函数y＝kx+b图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＜x2，则有y1＞y2，由此判断下列不等式恒成立的是(　　) A. k＞0 B. k＜0 C. b＞0 D. b≤0 【答案】B 【解析】 【分析】由x1＜x2时，有y1＞y2，得出y随x的增大而减小，根据一次函数的增减性得出k＜0． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b图象上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＜x2，则有y1＞y2， ∴函数为减函数，图象过第二、四象限， ∴k＜0，与b的值没有关系． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数的性质，k的符号决定一次函数的增减，熟记性质是解题的关键. 7. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式，将各选项的横坐标代入解析式，计算得到的纵坐标与选项给出的纵坐标比较，相等即符合要求. 【详解】解：∵ 要判断点是否在直线上，只需将点的横坐标代入解析式，验证纵坐标是否相等； A. 把代入，得，故A错误， B. 把代入，得，故B错误， C. 把代入，得，故C错误， D. 把代入，得，与点的纵坐标相等，故D正确. 8. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 5.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，用已知的离差平方和除以数据个数即可得到方差结果． 【详解】解：根据方差的定义，方差计算公式为 ， ∵本题中数据个数 ，题目给出离差平方和 ∴． 9. 如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得出，勾股定理得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴, 又， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中，， ∵点为的中点，， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点时，的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点时，的面积最大， 根据函数图象可得此时的面积为， 如图， ， 点D为边的中点，等腰直角三角形, ， 可得， 当点P运动到的中点时，如图， ， 点D为边的中点， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x-4≥0，解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 若一次函数图像沿y轴向上平移5个单位，则平移后图像的解析式为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】一次函数的几何变换中，沿y轴平移常数项变换，且满足“上加下减”的规律，所以若一次函数图像沿y轴向上平移5个单位，则平移后图像的解析式为． 故答案是：． 【点睛】本题考查一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 13. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 14. 如图所示，已知函数和的图象相交于点，则根据图象可得关于的不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据函数图象得出结论即可． 【详解】解：根据函数的图象可知，函数和的图象交于点， 当时，的图象都在的图象下方， 关于的不等式的解集为：． 15. 在矩形中，，点在矩形内部，连接、，若的面积是矩形面积的，则的最小值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的面积是矩形面积的，可求出点的轨迹是在矩形内部平行于、与距离为​的直线上．由可知点A与点D关于直线对称，连接，交直线l于点P，则的最小值就是的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，． ∵的面积是矩形面积的， ∴． 设点到的距离为， 则， 解得， ∴点的轨迹是在矩形内部平行于、与距离为​的直线上． ∵， ∴点A与点D关于直线l对称， 连接，交直线l于点P，则， ∴， ∴的最小值就是的长． ∵， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）把括号内的每一项分别除以，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式，最后计算，再整体代入计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， ∴原式. 17. 在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题． （1）这次调查获取的样本容量是 （直接写出结果） （2）这次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ．（直接写出结果） （3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费． 【答案】（1）40 （2）30，50 （3）50500元 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据条形统计图中的数据可以求得这次调查获取的样本容量； （2）根据条形统计图中的数据可以得到这次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）先算出加权平均数，再根据样本估计总体的方法即可得到该校本学期计划购买课外书的总花费． 【小问1详解】 解：样本容量是：， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：由统计图可得，30出现的次数最多，从小到大排列排在第20和21位的数都是50， 所以这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50， 故答案为：30，50； 【小问3详解】 解：（元）， 答：该校本学期计划购买课外书的总花费是50500元． 18. 如图，点分别为四边形四条边的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当_________时，四边形是矩形；当_________时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明：连接、交于点，如图所示： 四边形中，、、、分别为、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理即可得出结论； （2）根据菱形的判定定理及矩形的判定定理作答即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：若四边形的对角线和满足时，四边形是矩形． 理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形，，， 当时，， 四边形是矩形； 若四边形的对角线和满足时，四边形是菱形； 理由如下： 当时， 由（1）得：，，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 19. 如图，在直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m的值． （2）设直线，，分别于y轴交于点B，C，求的面积． （3）结合图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）m=-2；（2）3；（3）-2＜x＜-1 【解析】 【分析】（1）先把A（m，1）代入y=x+2，求出m的值； （2）把A点坐标代入y=kx-1，求出k，即可得到直线l1的表达式，然后求出B、C两点坐标，再根据三角形的面积个数即可求解； （3）找出直线l1落在直线l2下方且在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵直线l2：y=x+2过点A（m，1）． ∴1=m+2，解得m=-2； （2）∵直线l1：y=kx-1过点A（-2，1）， ∴1=-2k-1，解得k=-1， ∴直线l1的表达式为y=-x-1， ∴B（0，-1）， 由直线l2：y=x+2可知C（0，2）， ∴BC=3， ∴S△ABC=×3×2=3； （3）在直线l1：y=-x-1中，令y=0，则x=-1， 观察图象可知，不等式0＜kx-1＜x+2的解集是-2＜x＜-1． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积，一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合思想． 20. 某班40名学生身高信息如图所示．请回答以下问题： （1）_________，_________，_________； （2）根据身高将同学们排序，中间的学生身高处于哪个范围？ （3）从图中能否直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数？请说明理由． 【答案】（1），，； （2）； （3）解：只有中位数可以直接读出，平均数和众数都无法直接读出，理由： 中位数就是箱线图中的​，图中已经直接标注，因此可以直接读出； 平均数是所有数据的平均值，需要根据每个学生的具体身高计算，图中仅给出分组人数和四分位数，没有个体的具体身高，因此无法直接读出； 众数是数据中出现次数最多的具体数值，本题直方图仅给出身高分组的人数，无法得到区间内具体哪个身高出现次数最多，因此无法直接读出众数． 【解析】 【分析】（1）直接根据箱线图读取数据即可； （2）根据四分位数的意义作答即可； （3）根据箱线图结合平均数、中位数和众数的定义作答即可． 【小问1详解】 解：​是下四分位数，​是中位数，​是上四分位数， 因此：，，； 【小问2详解】 解：方法一：根据四分位数的意义，数据从小到大排序后，前的数据小于​，后的数据大于​， 因此中间的数据落在​和​之间，即身高范围为：； 方法二：根据四分位数的意义，数据从小到大排序后， 为中位数前边的数的中位数，占前半部分的一半， 为中位数后边的数的中位数，占后半部分的一半， ∴与之间的数据恰为中间的数据，即身高范围为：； 【小问3详解】 略． 21. 近年来，中国传统服饰汉服备受青睐，某服装店购进汉服进行销售，其中，两款每件的进货价和销售价如表（单位：元）． 类别 款 款 进价 70 80 售价 100 120 （1）该服装店第一次购进款汉服30件，款50件，求服装店销售完这批汉服获得的利润． （2）该服装店第二次按原进价购进两款共100件，为了促销，款售价不变，款打九折销售，已知第二次进货总费用不高于7400元，且款数量不少于款数量的，服装店应如何设计进货方案，才能在销售完这批服装后获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）2900元． （2）购进A款汉服75件，B款汉服25件时利润最大，最大利润为2950元． 【解析】 【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以件数求解即可． （2）设该服装店计划第二次购进A款汉服x件，B款汉服件，根据第二次进货总费用不高于7400元，且款数量不少于款数量的，列出关于x的一元一次不等式组求出x的取值范围，再设销售完第二批汉服后获得的利润为W元，得出W关于x的一次函数，结合x的取值范围以及一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得出：（元） 则服装店销售完这批汉服获得的利润为元． 【小问2详解】 解：设该服装店计划第二次购进A款汉服x件，B款汉服件， 根据题意可得出：， 解得：， 设销售完后获得的利润为W元， 则， ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，即该服装店再次购进A款汉服75件，B款汉服件时，才能在销售完这些汉服后获得的利润最大，最大利润是元． 22. 问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． （1）猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移 （2）如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用 （3）若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）如图， 证明：∵矩形中，， ∴， ∵是中点， ∴， 又∵， ， ∴，． ∵图1中，点分别为边、对角线的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ∵ ∴垂直平分， ∵矩形中，， ∴中：， ∴； （3）BF的长为或． 【解析】 【分析】（1）由分别为边的中点，可得，在中，，等量代换可得结论； （2）证明得，．在图1中，证明四边形是矩形，得出，可证垂直平分，得出，然后利用勾股定理即可求解； （3）分两种情况：①当在之间时，②当在上方（直线的外侧）时． 【小问1详解】 解：． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别为边的中点， ∴， ∵中：， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的长为或． 分两种情况：①当在之间时，如图2， ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得； ②当在上方时，如图3， ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得． 综上可知，的长为或． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，． （1）求直线的解析式； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发，过点作轴的垂线分别交直线于点．设两点的运动时间为秒． ①_________，_________．（用含的式子表示） ②求证：四边形是矩形（点重合时除外，仅依据图2进行证明）； （3）在（2）的条件下，当点运动_________秒时，四边形是正方形． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）① ②证明：设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴，， 又∵过点的轴的垂线分别交直线于点， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 且， 故四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，把，代入解析式，求出的值即可； （2）①根据题意列式即可； ②求出的解析式，证明，得，得出四边形是平行四边形，结合得四边形是矩形； （3）四边形是正方形，则，即，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发，两点的运动时间为秒， ∴，； ②略 【小问3详解】 解：若四边形是正方形， 则需， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $