25.2.1配方法（第2课时）2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过复习直接开平方法解方程(x+3)²=5，引出将一般一元二次方程转化为完全平方形式的问题，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以合作探究引导学生推理配方过程，典例分析归纳步骤培养抽象能力，结合当堂检测的直角三角形边长问题发展应用意识。学生能提升数学思维，教师可系统落实知识点，提高教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法(第2课时) 学习目标 1 2 理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程. 在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 ... 降次 1 复习引入 解方程：(x+3)2=5. 解：根据平方根的意义，得 x+3=±， ① 即 x+3=或x+3=−，② x1=−3+，x2=−3−. 降次 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 转化 解方程：x2+6x+4=0. 2 合作探究 分析：要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. x2+6x+4=0 a2 + 2ab + b2 =( a + b )2 x2 + 6x + = . 32 ( x + 3 )2 移项 x2+6x=−4 配方 x2+6x+9=−4+9 因式分解 (x+3)2=5 一次项系数一半的平方 解方程：(x+3)2=5. 2 合作探究 解：移项，得 x2+6x=−4， 配方，得 x2+6x+9=−4+9， (x+3)2=5， 由此可得 x+3=±， x1=−3+，x2=−3−. 降次 解方程：x2+6x+4=0. 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 可以验证，−3±是方程x2+6x+4=0的两个根. 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 3 典例分析 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. 解：移项，得 x2−8x=−1， 配方，得 x2−8x+42=−1+42， (x−4)2=15， 由此可得 x−4=±， x1=4+，x2=4−. 3 典例分析 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析：（2）方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. 解：移项，得 2x2−3x=−1， 二次项系数化为1，得 x2− x=− ， 配方，得 x2− x+()2=− +()2， (x− )2=. 由此可得 x− =±， x1=1，x2=. 3 典例分析 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析：(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：移项，得 3x2−6x=−4， 二次项系数化为1，得 x2−2x=− ， 配方，得 x2−2x+12=− +12， (x−1)2=− . 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x−1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 3 典例分析 归纳总结 配方法的基本步骤： 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1=−n+，x2=−n−； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)²≥0，所以方程无实数根. 将方程二次项系数化成 1 移项 配方 化为(x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式 用直接开平方法求得方程的解 4 巩固练习 1. 填空： (1) x2+10x+ =(x+ )2； (2) x2−12x+ =(x− )2； (3) x2+5x+ =(x+ )2； (4) x2−x+ =(x− )2. 5 25 6 36 4 巩固练习 2. 用配方法解方程 x2+10x+9=0，变形后的结果正确的是（     ） A．(x+5)2=16 B．(x+5)2=25 C．(x+5)2=−9 D．(x+5)2=−16 A 4 巩固练习 3. 阅读下列关于解方程：x2−2x−9=0的解题过程，解决下列问题． 解： x2−2x=9 ① x2−2x+1=9② (x−1)2=9 ③ x−1=3或x−1=−3④ ∴x1=4，x2=−2⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． ② 4 巩固练习 解： x2−2x=9， 配方得 x2−2x+1=9+1， 即 (x−1)2=10， 开方得 x−1=或x−1=−， x1=1+，x2=1−． 4 巩固练习 3. 解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2−x− =0； （3）3x2+6x−4=0； （4）4x2−6x−3=0； （5）x2+4x−9=2x−11； （6）x(x+4)=8x+4. 快速核对答案 4 巩固练习 5 当堂检测 1. 我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元二次方程x2+6x+5=0化为(x+3)2=4的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 C 5 当堂检测 2. 用配方法解方程x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=n的形式，则m，n的值分别为（     ） A．9，4 B．9，5 C．3，5 D．3，7 D 5 当堂检测 3. 已知直角△ABC两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，则△ABC的周长为 ． 2+14或24 解：解方程x2−14x+48=0，整理可得x2−14x+49=1， 即(x−7)2=1，解得x1=8，x2=6， 当两个根是两条直角边时，斜边长为10， ∴此时△ABC的周长为8+6+10=24； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为2， ∴此时△ABC的周长为8+6+2=2+14． 5 当堂检测 4. 用配方法解方程： (1) x2−6x−1=0； (2) x(x+4)=21； 解： x2−6x=1， x2−6x+9=10， (x−3)2=10， x−3=±， x1=3+，x2=3−； 解： x2+4x=21， x2+4x+4=21+4， (x+2)2=25， x+2=±5， x1=−7，x2=3； 5 当堂检测 4. 用配方法解方程： (3) x2+2x−8=0； (4) x2+6x+1=0． 解： x2+2x=8， x2+2x+1=8+1， (x+1)2=9， x+1=±3， x1=2，x2=−4； 解： x2+6x=−1， x2+6x+9=8， (x+3)2=8， x+3=±2， x1=−3+2，x2=−3−2． 6 课堂小结 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 ... 降次 配方法 转化 7 布置作业 A B 习题25.2：第2,3题. 习题25.2：第8题. $