精品解析：重庆市云阳县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年春季义务教育阶段质量监测 七年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B、是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限点的坐标符号即可解题，四个象限的符号特点分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，根据特征逐一判断选项即可 【详解】解：∵A选项符合，对应第二象限，不符合题意； B选项符合，对应第一象限，不符合题意； C选项符合，对应第四象限，符合题意； D选项符合，对应第三象限，不符合题意； ∴选C. 3. 下面的统计图中，是趋势图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了趋势图，熟练掌握趋势图的定义是解题的关键：趋势图是一种用于描述两个量之间关系的统计图，它能够清楚地表示两个量之间的关系，并有助于根据一个量的变化预测另一个量的变化趋势．例如，可以用趋势图来描述冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，通过观察散点的分布情况，可以发现这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，从而预测当天的冷饮销售情况‌．在学习趋势图时，需要掌握趋势图的画法，并能运用趋势图对两个量进行分析，预测另一个量的变化趋势．这是学习的重点和难点‌． 根据扇形统计图、条形统计图、折线统计图、趋势图的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，是扇形统计图，故选项不符合题意； B. ，是趋势图，故选项符合题意； C. 是条形统计图，故选项不符合题意； D. ，是折线统计图，故选项不符合题意； 故选：． 4. 估算﹣1的值在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的范围，再求出−1的范围，再得出选项即可． 【详解】∵3＜＜4， ∴2＜−1＜3， 即−1在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 5. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； B、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项错误，符合题意； D、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 已知是方程x﹣my＝3的解，那么m的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】直接将代入x﹣my＝3中即可得出答案． 【详解】解：∵是方程x﹣my＝3的解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使二元一次方程成立的未知数的值． 7. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 已知点在第二象限，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，需掌握点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，且第二象限内点的坐标符号为，据此计算点的横纵坐标即可． 【详解】∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，纵坐标大于， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 10. 对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】结合新定义，算术平方根性质和推导，的关系式，可判断（1）、（2）；进一步得到规律：，可判断（3）． 【详解】解：由题意得：，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，，故说法（1）正确； 当时，，故说法（2）正确； 当，，，，时， 则，，，，， ∴， 当时， ， 故说法（3）正确； 综上所述，三个说法均正确，正确个数是个． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】据平移的性质,结合图形,可知线段BE的长度即是平移的距离. 【详解】据图形可得:线段BE的长度即是平移的距离, ∵BC=5cm，, EC=2cm， ∴BE=5-2=3cm. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了平移的性质,解题的关键是理解平移的方向,由图形判断平移的方向和距离.注意结合图形解题的思想. 13. 已知关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，则m的取值范围是_____． 【答案】m＜﹣3 【解析】 【分析】根据关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，可以求得m的取值范围． 【详解】解：由方程2x+m＝x﹣3，得x＝﹣m﹣3， ∵关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数， ∴﹣m﹣3＞0， 解得，m＜﹣3， 故答案为：m＜﹣3． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，求出m的取值范围． 14. 如图，∠2＝∠3＝65°，要使直线a∥b，则∠1＝_____度． 【答案】50 【解析】 【分析】根据平行线的判定解决问题． 【详解】要使直线a∥b，必须∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠1＝180°−65°−65°＝50°， 故答案为50． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 已知关于x，y的方程组且，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 16. 一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为，满足，将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则_______；若为6的倍数，则满足条件的所有M中，的最大值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义可得，然后代入公式计算即可得到的值；首先表示出M，N，求出，再结合已知求得也是6的倍数，即既是2的倍数也是3的倍数，进而确定出c的取值，然后得出a，b对应的取值，再求的最大值即可． 【详解】解：， ∴， ； 四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为， ， ， ， ， ， 为6的倍数，且是6的倍数， 也是6的倍数， 既是2的倍数也是3的倍数， 的个位数是，十位数是0，百位数是， ∴当是2的倍数时，为偶数，可取1、3、5、7、9， 当是3的倍数时，为3的倍数， 只有取1和7时符合题意， 或， ，， 或或或或或或或， ∴当，，时，取最大值，的最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义下整式加减的应用，二元一次方程的解，从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题关键． 三、解答题（本大题9个小题，17、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算与解不等式 （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根、二次根式平方、绝对值的运算分别化简每一项，再合并同类二次根式与常数即可． （2）求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：解不等式：， 去分母，两边同乘2：， 去括号：， 移项，将含项移右边，常数移左边：， 合并同类项：， 即． 18. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 20. 如图，已知三角形的顶点坐标分别为点、、，将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到三角形． （1）画出三角形，并分别写出点、、的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） 、、 （2） 【解析】 【分析】（1）利用坐标平移规律：横坐标右移加、纵坐标上移加，算出平移后顶点坐标，再在网格中描点作图； （2）坐标系内不规则三角形面积用割补法，用包围矩形面积减去四周多余直角三角形面积求解． 【小问1详解】 解：平移变换：向右平移2个单位，横坐标；向上平移4个单位，纵坐标． 已知、、，代入变换： ， ， ， 作图：在网格标出、、，顺次连接三点即得． 【小问2详解】 解：包围的矩形左右范围到，上下范围到 矩形长：，宽：， 矩形面积：， 三角形1（左上）：， 三角形2（右上）：， 三角形3（左下）：， ． 21. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题： (1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)； (2) (3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？ 【答案】 (1)150； (2)36，16； (3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为192人. 【解析】 【分析】（1）利用书法兴趣小组人数为30人和书法占比为20%可直接求出总人数，然后利用总人数求出航模兴趣小组人数，补充条形统计图；（2）利用摄影兴趣小组人数除以总人数即可得到m，利用围棋兴趣小组人数除以总人数即可得到n；（3）直接用总人数乘以围棋兴趣小组人数占比即可 【详解】(1) 参加问卷调查的学生人数为； (2)，所以m=36，n=16 (3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为 答：参加问卷调查的学生人数为，，选择“围棋”课外兴趣小组的人数为. 【点睛】本题考查统计图相关知识点，基础知识扎实是解题关键 22. 补全解答过程： 已知：如图，直线，直线与直线、分别交于点、；平分，．求的度数． 解：∵与交于点，（已知） ∴．（①_______） ∵，（已知） ∴②______．（等量代换） ∵，与，交于点、，（已知） ∴．（③______） ∴④_______． ∵平分，（已知） ∴⑤______．（角平分线的定义） 【答案】解：∵与交于点，（已知） ∴．（对顶角相等） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，与，交于点、，（已知） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∴． ∵平分，（已知） ∴．（角平分线的定义） 【解析】 【分析】根据对顶角相等得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：略 23. 为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用二档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过度时，按第一档单价收费；超过度时，超过的部分按第二档单价计费．年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元． （1）该市规定的第一档电费单价和第二档电费单价分别为多少元/度？ （2）刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】（1）该市规定的第一档电费单价为元/度，第二档电费单价为元/度 （2）度 【解析】 【分析】（1）设该市规定的第一档电费的单价是元，第二档电费的单价是元，根据“年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘生家月份的用电量为度，根据“刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元”列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该市规定的第一档电费的单价是元，第二档电费的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：该市规定的第一档电费单价为元/度，第二档电费单价为元/度； 【小问2详解】 解：设刘生家月份的用电量为度， ∵， 依题意，得：， 解得：， ∴他家最大用电量为度． 24. 新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． （1）如图1，若，，则点可以表示为（ ）； （2）如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． （3）定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 【答案】（1） （2）以货轮为原点时灯塔的位置为，以灯塔为原点时货轮的位置为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）分别求出和，根据新定义解答即可； （3）过点作于，延长到，则为正东方向，过点作，根据新定义得出，，，可得是等边三角形，，，根据平行线的性质得出，，利用角的和差关系求出，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，，即，， ∴点可以表示为． 【小问2详解】 解：如图所示， 当以货轮为原点时，∵， ∴， ∵货轮与灯塔相距海里， ∴以货轮为原点时灯塔的位置为， 当以灯塔为原点时，由题意可知，， ∴， ∴， ∴以灯塔为原点时货轮的位置为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于，延长到，则为正东方向，过点作， ∵以点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴以点为原点，正东方向为始方向，点、点的位置为． 25. 问题情境： （1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答． 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作），请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①当在延长线时（点不与点重合），；②当在之间时（点不与点，重合），．理由见解析 【解析】 【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=113°； （2）过过作交于，，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②当在之间时（点不与点，重合）），根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）过作， ， ， ，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图3，过作交于， ， ， ，， ，， 又 ； （3）①当在延长线时（点不与点重合），； 理由：如图4，过作交于， ， ， ，， ，， ， 又， ； ②当在之间时（点不与点，重合），． 理由：如图5，过作交于， ， ， ，， ，， ， 又 ． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季义务教育阶段质量监测 七年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的统计图中，是趋势图的是（ ） A. B. C. D. 4. 估算﹣1的值在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知是方程x﹣my＝3的解，那么m的值为（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 7. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在第二象限，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 27的立方根为_____． 12. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 13. 已知关于x的方程2x+m＝x﹣3的根是正数，则m的取值范围是_____． 14. 如图，∠2＝∠3＝65°，要使直线a∥b，则∠1＝_____度． 15. 已知关于x，y的方程组且，则k的值为_________． 16. 一个四位数M的千位为a，百位为b，十位为1，个位为，满足，将M的个位数字c放到千位数字a之前产生新四位数N，例如：，则．记，则_______；若为6的倍数，则满足条件的所有M中，的最大值是_______． 三、解答题（本大题9个小题，17、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算与解不等式 （1）计算： （2）解不等式： 18. 解方程组：． 19. 解不等式组： 20. 如图，已知三角形的顶点坐标分别为点、、，将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到三角形． （1）画出三角形，并分别写出点、、的坐标； （2）求三角形的面积． 21. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题： (1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)； (2) (3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？ 22. 补全解答过程： 已知：如图，直线，直线与直线、分别交于点、；平分，．求的度数． 解：∵与交于点，（已知） ∴．（①_______） ∵，（已知） ∴②______．（等量代换） ∵，与，交于点、，（已知） ∴．（③______） ∴④_______． ∵平分，（已知） ∴⑤______．（角平分线的定义） 23. 为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用二档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过度时，按第一档单价收费；超过度时，超过的部分按第二档单价计费．年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元． （1）该市规定的第一档电费单价和第二档电费单价分别为多少元/度？ （2）刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元，他家最大用电量为多少度？ 24. 新定义：除了平面直角坐标系外，我们还可以用角度和距离来确定点的位置．规定：在平面内任意选择一点为原点，过原点的一条射线为始方向，平面内其他的点可以用始方向射线顺时针旋转角度和与原点的距离来表示，即．例如：如图1，在平面内规定点为原点，射线为始方向，，，那么可以用来表示点的位置． （1）如图1，若，，则点可以表示为（ ）； （2）如图2，货轮与灯塔相距海里，规定正北方向为始方向，请分别求出以货轮为原点时灯塔的位置和以灯塔为原点时货轮的位置． （3）定义应用：如图3，当选择点为原点，正北方向为始方向时，点、点的位置可以分别表示为，，若选择点为原点，正东方向为始方向，请分别求出点、点的位置．（提示：如果一个三角形中两边相等，且有一个角是，那么这个三角形是等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是） 25. 问题情境： （1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答． 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作），请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $