第20章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式单元，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，考查抽象能力、运算能力及推理意识，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次根式定义（题1）、新定义运算（题3）、海伦-秦九韶公式应用（题4）|结合数学文化与创新情境，如古算公式（题4）、程序运算（题2）| |填空题|6/12|有意义条件（题13）、化简（题17）、调日法（题18）|融入传统文化，如“调日法”（题18）考查数学史应用| |解答题|8/72|混合运算（题19）、“美好数”新定义（题21）、黄金矩形（题26）|综合几何与代数，如黄金矩形裁剪（题26）培养空间观念与推理能力|

第20章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，是二次根式的有（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 3．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．15 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 7．下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 8．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 10．新定义：若矩形的长宽之比是，我们称这个矩形是“完美矩形”．如图，将矩形按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形是“完美矩形”，则的值是（   ）（提示：） A．2 B． C． D． 11．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 12．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若式子有意义，则x的取值范围是______． 14．已知：，求_________． 15．若，则x取值范围是________． 16．若，则___________． 17．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 18．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 20．已知，，求的值． 21．定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 22．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 23．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 24．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： 、的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的 ； ②根据表格，猜想与的大小关系（     ） A． B． C． D． ③当、满足条件： 时，； (2)【理解应用】 ①已知，当 时，代数式取得最大值是 ． ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 25．解决以下问题 (1)如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，则下列结论正确的是（     ） A．平分      B． C．         D． (2)阅读以下材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层或多层根号，如． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法．配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题．它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 例：． ， ， 即：， 的最小值为． 阅读上述材料，解决下列问题： ①化简：____________； ②用一根长为的铁丝围成一个矩形花圃，设矩形一边长为，求面积的最大值． 26．《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得， 【类比应用】 (1)化简： ； = ； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 如图①，已知黄金矩形的宽． (2)黄金矩形的长 ； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论： (4)在图②中，请连接，求出点D到线段的距离． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，是二次根式的有（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 3．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 4．我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据题干给出的海伦—秦九韶公式，代入三角形三边长计算即可得到面积，也可结合等腰三角形性质和勾股定理求解． 【详解】解：等腰三角形三边长为 , , ， ， ， 即该等腰三角形的面积为12． 5．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 6．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先对已知的表达式变形，通过平方得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：， ， 移项得， 两边同时平方，得 ， 展开整理得 ， 化简得， ． 7．下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 8．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别拆分观察单项式的系数、字母a的次数随序号n的变化规律，即可得到结果． 【详解】解：∵当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 ．．． ∴可得规律：第n个单项式的系数为，字母a的次数为n ∴第n个单项式为 10．新定义：若矩形的长宽之比是，我们称这个矩形是“完美矩形”．如图，将矩形按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形是“完美矩形”，则的值是（   ）（提示：） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形是“完美矩形”， 设，则， 折叠， ， ， ， ， ． 11．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，且，再结合新定义的运算进行分析即可． 【详解】解：由数轴得：，且， ①，故①说法错误； ②， ， 则，故②说法正确； ③使运算结果与原代数式之和为，则运算结果与原代数式互为相反数， ， ， 则，即，故③说法正确； ④运算结果为， 不能加新运算， ， ， 则不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，故④说法错误． 综上所述，说法正确的有个． 12．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式分母不为零，二次根式被开方数为非负数，列不等式组求解即可． 【详解】解：要使式子有意义， 需满足，，， 解不等式 ，得， 解不等式，得， 解不等式，得， 取三个不等式解集的公共部分，得． 14．已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 15．若，则x取值范围是________． 【答案】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 16．若，则___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，先确定的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得． 将代入，得， 则． 17．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 18．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 2 90 【分析】根据题意，先明确记号中各部分的定义，第一个数为所求无理数的整数部分，再仿照题目给出的的变形过程归纳规律，计算得到结果． 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ； 因此，故； 对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 20．已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据，得出，，把变形为，把，整体代入求值即可． 【详解】解：，， ，， ． 21．定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 22．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 23．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 24．按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数、，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： 、的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 ， 3 ①表格中的 ； ②根据表格，猜想与的大小关系（     ） A． B． C． D． ③当、满足条件： 时，； (2)【理解应用】 ①已知，当 时，代数式取得最大值是 ． ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②C；③； (2)①；．② 【分析】（1）①由，再代入计算即可； ②由表格信息总结归纳可得答案； ③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值； ②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当，时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①∵， ∴，， ∴结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ∴，最大值为； ②在中，，， ∴， ∴， ∴当最大，则最大， ∵，结合（1）中结论可得，， ∴当时，最大，最大值为， 此时，， ∴周长的最大值为：． 25．解决以下问题 (1)如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，则下列结论正确的是（     ） A．平分      B． C．          D． (2)阅读以下材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层或多层根号，如． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法．配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题．它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 例：． ， ， 即：， 的最小值为． 阅读上述材料，解决下列问题： ①化简：____________； ②用一根长为的铁丝围成一个矩形花圃，设矩形一边长为，求面积的最大值． 【答案】(1)ACD； (2)①；② 【分析】（1）利用正方形性质得到边长、角度关系，先计算正方形对角线长度，结合矩形判定求出线段、、、，用勾股定理计算、、长度，判断、、选项；再通过证明，利用等角代换推导直角，证明垂直，验证选项。 （2）①将根号内代数式配成完全平方式，结合二次根式、绝对值性质化简求值．②根据周长表示矩形邻边，列出面积二次函数，配方法化为顶点式，由平方非负性求面积最大值． 【详解】（1）解：连接交于点，延长交延长线于点，连接，设交于点， 正方形，， ，，， ∴， 正方形，， ∴，，，，， ∴，， ∴平分，故项正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，， ∴，，故项错误； ，， ，故项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故项正确； 故选：； （2）解：① ； ②设一边长为，另一边长为， ∴ ， ， ， ， ． 26．《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【阅读观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得， 【类比应用】 (1)化简： ； = ； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 如图①，已知黄金矩形的宽． (2)黄金矩形的长 ； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论： (4)在图②中，请连接，求出点D到线段的距离． 【答案】(1)；， (2) (3)矩形是黄金矩形，理由如下： 由题意得，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 所以矩形是黄金矩形； (4)点D到线段的距离为 【分析】（1）仿照例题计算过程求解即可； （2）根据黄金矩形定义进行计算即可； （3）根据题意求得，进而求得和，证明和的比值是即可； （4）连接，，过D作于G，根据三角形的等面积法求解即可． 【详解】（1） 解：． 原式； ． （2）解：∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴黄金矩形的长为：． （3）略 （4）解：如图，连接，，过点D作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∴点D到线段的距离为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20章二次根式（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 5 6 7 8 10 11 12 C C B C C D B C D C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 14.1 15.x≤3 16.-8 17.2 18.2 90 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 【答案】5-v2 (2)0 【解析】(1)解：原式=35-22+V2-25=5-V2 (2)解：原式=2-2=0. 20.【答案】-10 【解析】解：“x=V2+V5.y=2-V5 x+y=2V2y=-1 ++y.+-2四.22*0-10 x y xy -1 21.【答案))5-1 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)5 (3)2062 【解析】1)解：：+5(V5-=(3-1P=2, :1+5与5-1是关于2的“美好数”： 1 1 1 2)解：+53+5++ 119+V121 -+W5 -V5+V5 -V119+V121 (W+5(i+可(W3+5-3+5(Wii9+i29+i2列 x(i+5-5+5+-i9+i2可)） --(-Vi+VR2i) =2x(1+10 2 =5； (3)解：（而+1(i0-=(1o°-1=9， :0+1与0-1是关于9的“美好数”， :m=0+1 :m-l=0 :4m2-8m+2026 =4(m-1)2+2022 =4×(10+2022 =4×10+2022 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2062」 2.【答案】Vn+1-厉 (2)1+V2026 (3)5 1 【解析】(1)解：Vn+1+√n vn+l-√n (n+i+n)n+i-n) √n+l-√n (n+-（nj Vn+1-/n n+1-n =Vn+1-/n 1 1 1 1 （2)解：2+15+万2+5+…+2026+V202 √2-1 3-V2 2-V5 V2026-√2025 不W2+12-可不3+2]5-②(2+j2-万…*W206+V2025N2026-225 5-l+5-2+2-5+…+2026-v202 2-13-24-3 2026-2025 =√2-1+5-√2+2-V3+…+√2026-√2025 =-1+V2026 1 ,a= (3)解： V37-6. √37+6 、=√37+6 a=357-6(37+637-6） 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a-6=V37 即a-6=37 .a2-12a+36=37 ∴.a2-12a=1 .a3=12a2+a .a3-10a2-25a+3 =12a2+a-10a2-25a+3 =2a2-24a+3 =2(a2-12a+3 =2×1+3 =5 23.【答案】(1)5 √2+√2n+√2n+2 (2) 3)1034V2-1 【解析】(1)解：(1+va-v)月 =1P+(a+(-b+2x1xa+2x1×(-vb)+2xvax-B) =1+a+b+2Va-2/b-2/ab 6+22-2w5-26=1+a-b, :6+2W5-25-26=1+a+b+2wa-2x6-20b :1+a+b=6.2Va=2V2-2万=-25 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a=2,b=3, .a+b=2+3=5. (2)解：n+l+Vm2+n+vn+1+Vn 2m+2+2F+m+2a+2) =a+1+n+12aa+可+2m+i+2 a++(+1+2a++2m+ix1+2ax刘 a+顶+明， .Vn+l+vn+n+/n+l+/n =a+a+ 2(n+1+Nn+l 2 2x/n+i+xn+2x1 2 =V2n+2+V2n+V2 2 R+1 (3)解：√k+√k-1 （仄+1)（灰-k-可 (k+k-k-k-) (k+(派--可) k-k+1 =(匠+1（灰-k-可） =k-√k(k-)+VR-VR- 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (+尿-k-可月 =1P+(+(-k-可+2派-2k-1-2k(k-可 =2[k-vk(k-可+k-k-可】 --可+派-顶=+顶-原可 灰+1(+k-k-可 即k+√k-1 2 k+1_1+派-k- .√k+√k-1 √2 5+1 V4+1 W5+1 √k+1+1 √2025+1 V3+√2VV4+5V5+2 十…+ Vk+1+k V√2025+√2024 -1+5-2+1+4-541+5-y4++1+2024-2023,+2025-2024 √2 √2 √2 √2 2 _1+V5-V2+1+4-5+1+5-V4++1+V2024-V2023+1+V2025-V2024 ·√2 =2023+V2025-V2 √2 =2023+45-V2 2 =2068-V2 √2 =1034V2-1 24.【答案1a025,@c:®a=b, 6/11 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 2@1,25.g8+82 【解析】(1)解：Om=V6x2=25 ②当a=6,6=2时，a+b=8,2V5=4W5 a+b>2Vab 当a=b=4日 时，a+b=8.2ab=8 .a+b=2Vab :a+b≥2ab ③当a=b时，a2+b2=2a2,2ab=2a2, ∴.当a,b满足条件a=b时，a2+b2=2ab: (2)解：①6<x<16, .x-6>0,16-x>0, 二结合(1)中结论可得，当-6=16-x时，代数式 x-6)6-取得最大值： ·x=1,最大值为x-616-)=25. ②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8, .AC2+BC2=64, 4C+BC=(AC+BC)=AC2+BC2+24C.BC=64+2AC.BC ∴当AC·BC最大，则AC+BC最大， :AC2+BC2=64,结合(1)中结论可得，2ACBC≤AC2+BC2, 当AC=BC时，AC·BC最大，最大值为32， 此时，4C+BC=64+2x32-=8V2 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..4BC 8+8√2 周长的最大值为： 25.【答案】(1)ACD: 2,@v6+V2 【解析】(1)解：连接FD交AE于点H,延长FD交BC延长线于点M,连接AD,设AD交CF于点O, M B 正方形 A ABCO AB=6 ∴.OC=BC=AB=OA=6∠COA=∠BCO=90°BCI‖|OA ∴.∠OCM=∠COA=∠COH=∠BCO=90°， DEFO EF=22 ”正方形 :MF1OE,∠EF0=∠F0D=∠ODE=90e,∠D0E=∠B0F=45°EF=0F=OD=DE=22 OH=EH DH=HF, .∠D0C=90°-45°=45°=∠D0E,∠MH0=90°， ∴.OD平分∠EOC,故A项正确； :∠B0F=90,EF=0F=2V2 OE=EF+OF=8+8=4 ∴.OH=EH=DH=HF=2, .MF⊥OE,∠MCO=∠HOC=90°. .四边形MHOC是矩形， .MH=OC=6,CM=OH=2. .BM=BC+CM=8,DM=MH-DH=4,MF=MH+HF=6+2=8, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CF=CM+MF=V2+8=2而，BD=VBM+DM=8+平=45，故B项错误 0E=4,0A=6, AE=AO+OE=6+4=10,故C项正确： .∠MH0=∠COA=90°， .MF IlOC .∠FCO=∠DFC, :∠DOF=∠COA=90° .∠DOF+∠DOC=∠COA+∠DOC,即∠COF=∠AOD, 在ACOF和△AOD中， OA=OC ∠COF=∠AOD OD=OF .△COF≌△AOD(SAS), ∴.∠DAO=∠FCO .∠MHO=90°，∠FCO=∠DFC. .∠HDA+∠DAO=∠HDA+∠FCO=∠HDA+∠DFC=90°， .∠DQF=90°， CF⊥AD,故D项正确； 故选：ACD; (2)解：OV8+4丙 =V6+2W12+2 =V6+22+2列 =6+2列 =6+V2 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 85-x=43-x ②设一边长为x,另一边长为2 :S=x(45-x =-x2+4V5x =-(x2-45x) =[2-43x+(2j-(5] =（-25-12 =-(x-25+12 (x-23≥0， .-(x-25≤0 -(x-25+12≤12 ∴.Smax=12 26.【答案1a25+m,（5-+(5-2)+…+(2026-202).V2026-1 5+1 (2)2 (3)矩形DCEF是黄金矩形 1o+V2 (4)点D到线段AE的距离为4 【解析】(1) 1 25+√1 解：23-i(23+而2W5-而 =23+V11 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原式5-1+5-2++2026-V203s =-1+√2-2+√5-√3+…+√2025-√2025+V2026 =V2026-1 5-1 (2)解：宽与长的比是2的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽AB=1, 1 2V5+1 黄金矩形 的长为：V5-1V5-12. ABCD BC 2 (3)略 (4)解：如图，连接AE,DE,过点D作DG⊥AE于点G, F D G、 B E AD=5+1 .AB=EF=1, 2, 4E=V+F= SmxADxEF-xExGD 5+1x1=2DG ∴.ADx EF=AE×GD,2 DG=V10+2 解得 4, √10+2 .点D到线段AE的距离为4· 11/11