专题01 菱形的性质与判定（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题01菱形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.基本概念：菱形的定义、与平行四边形的从属关系 2.图形性质：继承平行四边形通用性质 + 菱形专属边角、对角线、对称性质 3.判定定理：定义法、四边相等判定、对角线垂直判定（三类必考判定） 4.计算应用：菱形周长、两种面积计算公式及几何推论 5.实战应用：几何线段与角度计算、菱形证明、解题方法运用 ✅本节知识层层递进、体系完整：以菱形定义为基础，明确其属于特殊平行四边形；系统学习菱形的通用性质与专属特殊性质， 掌握周长、面积核心计算公式；熟练掌握三种菱形判定定理及适用场景；最终运用性质与判定，解决线段角度计算、菱形证明等几何基础题型。 ✺学习目标： 1.知识理解：理解菱形的定义，明晰菱形与平行四边形的从属关系；熟练掌握菱形的性质定理与判定定理，熟记周长、面积计算公式，理清定理之间的内在联系。 2.技能运用：能规范书写几何推理语言，熟练运用菱形性质进行边长、角度、周长、面积的计算；能根据题干条件灵活选择判定方法，完成菱形的证明题型。 3.思维素养：通过类比平行四边形学习菱形，体会类比、转化的数学思想；能够区分菱形性质与判定的使用场景，培养严谨的几何逻辑推理能力，为后续特殊四边形学习奠基。 ✺题型归纳： 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一个条件使四边形是菱形 题型6.证明四边形是菱形 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 题型10.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 必备条件：① 平行四边形；② 一组邻边相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴ 四边形ABCD是菱形。 ★核心结论：菱形是特殊平行四边形，继承平行四边形所有性质，同时具备专属特殊性质。 知识点二、菱形的性质 ✅菱形属于特殊平行四边形，因此既具备平行四边形的全部通用性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体分类如下： 1.通用性质（继承平行四边形） 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相平分； 对称性：属于中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2.菱形独有性质 边的性质：菱形的四条边全部相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=DA。 对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 3.对称性质：菱形是轴对称图形，有2条对称轴，为两条对角线所在的直线。 4.菱形公式与几何推论 周长公式：C=4a（a为菱形边长）； 面积公式：① 通用公式：底×高；② 专属公式：S=AC﹡BD（对角线乘积的一半）； 几何推论：菱形对角线将图形分成四个全等的直角三角形，可结合勾股定理求解边长、对角线长度。 知识点三、菱形的判定 判定方法一：定义法（平行四边形基础） 内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：已知或已证四边形为平行四边形，只需证明一组邻边相等即可。 判定方法二：边判定（直接判定四边形） 内容：四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：无需证明对边平行，满足四边相等可直接判定菱形。 判定方法三：对角线判定（平行四边形基础） 内容：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：必须以平行四边形为前提，对角线互相垂直的普通四边形不是菱形。 知识点四、菱形性质与判定的核心区别 ◆性质与判定是几何解题的核心依据，二者逻辑相反、用途不同，具体区别如下： 1.菱形性质（由形推条件）：已知图形是菱形，推出边、角、对角线的位置与数量关系，主要用于边长、角度、面积等计算题。 2.菱形判定（由条件证形）：已知边、对角线的数量和位置条件，证明四边形为菱形，主要用于几何证明题。 ✺题型◆精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 2．在菱形中，对角线相交于点O，点P是上一点，连接，若，，则__________°． 【答案】或/或 【分析】根据菱形的性质得出对角线平分对角和角之间的关系解答． 【详解】解：如图所示：   四边形是菱形，，， ，，， ，， ， ， 当在位置时，， 综上所述，为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查菱形的性质，解题的关键是根据菱形的对角线平分对角解答． 3．如图，是菱形的对角线． （1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【分析】（1）利用基本作图作EF垂直平分AB； （2）利用菱形的性质得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°，则∠ABC=150°，再利用平行线的性质得∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF，则∠A=∠FBA=30°，然后计算∠ABD-∠FBA即可． 【详解】（1）如图，EF为所作； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°， ∴∠ABC=150°， ∵AD∥BC， ∴∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°， ∵EF垂直平分AB， ∴AF=BF， ∴∠A=∠FBA=30°， ∴∠DBF=∠ABD-∠FBA=75°-30°=45°． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长度，再在中利用勾股定理求出，最后根据对角线互相平分得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为_______． 【答案】12 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解：四边形是菱形， ， 点 是边 的中点， 是的中位线， ． 3．如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形花坛的对角线修建了两条小路，，求两条小路，的长度． 【答案】， 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的性质得，结合，证明是等边三角形，故，运用勾股定理列式计算得，即可作答． 【详解】解：记对角线的交点为点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形花坛的边长为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则， 在中， ∴． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，则该菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：根据题意可知，四边形为菱形，且，， ∴该菱形的面积． 2．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量两条木条的长为和，则这个风筝的面积是________ 【答案】24 【分析】菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵该风筝为菱形，两条对角线长分别为和， ∴这个风筝的面积为：． 3．如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)如图，菱形即为所求． (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，菱形即为所求； （2）连接，交于，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而求出，利用菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 题型4.利用菱形的性质证明 1．下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，进行判断即可． 【详解】解：菱形的对角相等，对角线互相垂直且平分，四条边都相等； 故选B． 2．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是__________． 【答案】． 【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案． 【详解】 如图所示：连接 EC， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ， 在△ABE 和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE ( SAS )， ∴∠BAE =∠BCE =90°， 则 AE = CE =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键． 3．已知：如图，四边形ABCD是菱形，，，E、F分别为垂足，求证：. 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质及两个垂直条件，可证得，则可得BE=DF，从而易得EC=FC． 【详解】证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD=DA，， 因为，， 所以， 在和中， ， 所以（AAS）， 所以BE=DF， 因为BC=CD， 所以EC=FC. 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是证． 题型5.添一个条件使四边形是菱形 1．要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 【答案】D 【分析】已知是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 2．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）②或④；（2）见解析 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理即可得到结论；． 【详解】解:（1）②或④； （2）选② 证明：， ，，∠ AOB=∠AOD=90° 平分 又 是菱形 选④ 证明： 平分 又 又 又 四边形是平行四边形 又 是菱形 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型6.证明四边形是菱形 1．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 2．菱形的判定： （1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形． 几何语言描述： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________， ∴四边形ABCD是菱形． （2）对角线互相____________的平行四边形是菱形 几何语言描述： ∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． （3）四条边都____________的四边形是菱形． 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． 【答案】 相等 AD 垂直 BD 相等 AD 【解析】略 3．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)，，过点D作，求线段的长度． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴. 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 1．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 2．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 3．问题情境： 在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究． 如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转． 初步探究： （1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________； 再次探究： （2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数； 深入探究： （3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由． 【答案】（1）67.5°；（2）135°；（3）菱形，见详解． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形且AB＝AD＝4，∠A＝45°知∠ABD＝∠ADB＝67.5°，再结合DB′∥AB可得∠BDB′＝∠B＝67.5°； （2）由AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°知∠ABD＝∠DB′C＝67.5°，根据四边形ABB′C是矩形得∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°，由三角形内角和定理可得答案； （3）由AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°知∠ABD＝∠ADB＝∠CDB′＝∠DB′C＝67.5°，根据点B，D，B′恰好在一条直线上及三角形的内角和定理得∠ADC＝∠DAB＝∠E＝45°，据此可证AE∥CD，AD∥CE，继而得四边形ADCE是平行四边形，结合AD＝CD＝4知四边形ADCE是菱形． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且AB＝AD＝4，∠A＝45°， ∴∠ABD＝∠ADB＝＝67.5°， ∵DB′∥AB， ∴∠BDB′＝∠B＝67.5°， 故答案为：67.5°； （2）∵AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°， ∴∠ABD＝∠DB′C＝67.5°， ∵四边形ABB′C是矩形， ∴∠DBB′＝∠DB′B＝22.5°， ∴∠BDB′＝180°−∠DBB′−∠DB′B＝135°； （3）∵AB＝AD＝CD＝B′C＝4，∠BAD＝∠DCB′＝45°， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB′＝∠DB′C＝67.5°， ∵点B，D，B′恰好在一条直线上， ∴∠ADC＝∠DAB＝∠E＝45°， ∴AE∥CD，AD∥CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵AD＝CD＝4， ∴四边形ADCE是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定和性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点． 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，作，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可，解题的关键是证明四边形为菱形． 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 3．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于，，于点E，O，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质则，，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，即可证得结论； （2）根据菱形的性质，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 1．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG（AAS），得AG＝CG，则四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC−CG＝3−x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题． 【详解】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形， ∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF， ∴四边形AGCH是平行四边形， 在△ABG和△CEG中， ， ∴△ABG≌△CEG（AAS）， ∴AG=CG， ∴四边形AGCH是菱形， 设AG＝CG＝x，则BG＝BC−CG＝6−x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：22＋（6−x）2＝x2， 解得：x=， ∴CG=， ∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键． 2．如图，菱形中，，，则菱形面积＝______． 【答案】． 【分析】将对角线交点标为点O，由菱形的“对角线互相垂直平分”的性质可得 是直角三角形；然后在中利用勾股定理求得BO的长度；最后由菱形的面积公式求得菱形ABCD的面积． 【详解】如下图，将对角线交点标为点O， ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，， ∴AC⊥BD，，， ∴，， ∴，， , ∴， ∴菱形ABCD的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形面积计算，直角三角形的性质以及勾股定理求边长等知识点，熟练掌握以上性质定理灵活运用是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和平行线的性质，得到，即可得到； （2）求得，再利用菱形的性质和勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，，，， 的周长为18， ， ， ， 在菱形中，， 四边形的面积为． ✺巩固测试 一、单选题 1．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（     ） A．3 B．6 C．12 D．25 【答案】B 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，，， ∴． 2．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则的长为（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，，所以，再根据勾股定理可求得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ． 4．如图，，分别以A，B为圆心，5cm为半径画弧，两弧相交于P，Q两点，连接，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，勾股定理，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．如图，连接交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B． 二、填空题 5．已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形， ∴可添加的条件为（答案不唯一）. 6．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 【答案】24 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 7．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 三、解答题 8．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到是等边三角形． 9．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵四边形是矩形， 在 与 中， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴是的垂直平分线， ∴四边形为菱形 (2) 【分析】（1）证明，得到四边形为平行四边形，结合线段中垂线的性质推出，进而证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)知， 即 解得 10．如图，在菱形中，，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求菱形的面积； (3)若是菱形的边上的一个动点，则的最小值为________；若是菱形的边上的一个动点，则满足的点的个数为________个． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点． ∵四边形是菱形， ，，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． (2) (3)，8 【分析】（1）连接交于点，根据菱形的性质得到，，，证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，则，设，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可； （3）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时的值最小，连接，根据菱形的性质证明为等边三角形，进而求出，根据勾股定理计算即可；分析AB边，可知，即满足的点的个数为2个，同理其他边满足的点的个数均为2个． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， ∴， ∴． 在中，，， 设，则， 由勾股定理，得，即， 解得（负值已舍去），即． ， ； （3）解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，此时的值最小，连接． 在菱形中，， ， ． 又， 为等边三角形， ， ， ． 在中，， 即的最小值为． ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 分析边：， 端点处：， 端点处：， ∴从到的变化为：从减到最小值，再增到，因此​会与边产生2个交点，即满足的点的个数为2个， 同理其他边满足的点的个数均为2个， ∴满足的点的个数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.基本概念：菱形的定义、与平行四边形的从属关系 2.图形性质：继承平行四边形通用性质 + 菱形专属边角、对角线、对称性质 3.判定定理：定义法、四边相等判定、对角线垂直判定（三类必考判定） 4.计算应用：菱形周长、两种面积计算公式及几何推论 5.实战应用：几何线段与角度计算、菱形证明、解题方法运用 ✅本节知识层层递进、体系完整：以菱形定义为基础，明确其属于特殊平行四边形；系统学习菱形的通用性质与专属特殊性质， 掌握周长、面积核心计算公式；熟练掌握三种菱形判定定理及适用场景；最终运用性质与判定，解决线段角度计算、菱形证明等几何基础题型。 ✺学习目标： 1.知识理解：理解菱形的定义，明晰菱形与平行四边形的从属关系；熟练掌握菱形的性质定理与判定定理，熟记周长、面积计算公式，理清定理之间的内在联系。 2.技能运用：能规范书写几何推理语言，熟练运用菱形性质进行边长、角度、周长、面积的计算；能根据题干条件灵活选择判定方法，完成菱形的证明题型。 3.思维素养：通过类比平行四边形学习菱形，体会类比、转化的数学思想；能够区分菱形性质与判定的使用场景，培养严谨的几何逻辑推理能力，为后续特殊四边形学习奠基。 ✺题型归纳： 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一个条件使四边形是菱形 题型6.证明四边形是菱形 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 题型10.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 必备条件：① 平行四边形；② 一组邻边相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴ 四边形ABCD是菱形。 ★核心结论：菱形是特殊平行四边形，继承平行四边形所有性质，同时具备专属特殊性质。 知识点二、菱形的性质 ✅菱形属于特殊平行四边形，因此既具备平行四边形的全部通用性质，又拥有自身独有的特殊性质，具体分类如下： 1.通用性质（继承平行四边形） 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相平分； 对称性：属于中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 2.菱形独有性质 边的性质：菱形的四条边全部相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=DA。 对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 3.对称性质：菱形是轴对称图形，有2条对称轴，为两条对角线所在的直线。 4.菱形公式与几何推论 周长公式：C=4a（a为菱形边长）； 面积公式：① 通用公式：底×高；② 专属公式：S=AC﹡BD（对角线乘积的一半）； 几何推论：菱形对角线将图形分成四个全等的直角三角形，可结合勾股定理求解边长、对角线长度。 知识点三、菱形的判定 判定方法一：定义法（平行四边形基础） 内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：已知或已证四边形为平行四边形，只需证明一组邻边相等即可。 判定方法二：边判定（直接判定四边形） 内容：四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：无需证明对边平行，满足四边相等可直接判定菱形。 判定方法三：对角线判定（平行四边形基础） 内容：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形。 适用条件：必须以平行四边形为前提，对角线互相垂直的普通四边形不是菱形。 知识点四、菱形性质与判定的核心区别 ◆性质与判定是几何解题的核心依据，二者逻辑相反、用途不同，具体区别如下： 1.菱形性质（由形推条件）：已知图形是菱形，推出边、角、对角线的位置与数量关系，主要用于边长、角度、面积等计算题。 2.菱形判定（由条件证形）：已知边、对角线的数量和位置条件，证明四边形为菱形，主要用于几何证明题。 ✺题型◆精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 2．在菱形中，对角线相交于点O，点P是上一点，连接，若，，则__________°． 3．如图，是菱形的对角线． （1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为_______． 3．如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形花坛的对角线修建了两条小路，，求两条小路，的长度． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，则该菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量两条木条的长为和，则这个风筝的面积是________ 3．如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 题型4.利用菱形的性质证明 1．下列选项中，菱形一定具有的性质是（   ） A．四个内角都相等 B．对角线互相垂直 C．至少有一个内角是 D．对角线相等 2．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是__________． 3．已知：如图，四边形ABCD是菱形，，，E、F分别为垂足，求证：. 题型5.添一个条件使四边形是菱形 1．要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 2．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 题型6.证明四边形是菱形 1．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 2．菱形的判定： （1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形． 几何语言描述： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________， ∴四边形ABCD是菱形． （2）对角线互相____________的平行四边形是菱形 几何语言描述： ∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． （3）四条边都____________的四边形是菱形． 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． 3．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)，，过点D作，求线段的长度． 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 1．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 2．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 3．问题情境： 在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究． 如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转． 初步探究： （1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________； 再次探究： （2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数； 深入探究： （3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由． 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 2．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 3．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于，，于点E，O，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 1．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，，，则菱形面积＝______． 3．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求四边形的面积． ✺巩固测试 一、单选题 1．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（     ） A．3 B．6 C．12 D．25 2．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则的长为（     ） A． B．3 C． D．6 4．如图，，分别以A，B为圆心，5cm为半径画弧，两弧相交于P，Q两点，连接，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可） 6．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 7．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 三、解答题 8．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 9．如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长． 10．如图，在菱形中，，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求菱形的面积； (3)若是菱形的边上的一个动点，则的最小值为________；若是菱形的边上的一个动点，则满足的点的个数为________个． 学科网（北京）股份有限公司 $