福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期数学作业（空间向量与立体几何）

建瓯二中2025-2026学年上学期作业（空间向量与立体几何） 一、单选题 1．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 【答案】D 【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答. 【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误； 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误； 显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确. 故选：D 3．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 【答案】C 【分析】根据共面向量定理可作出判断 【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，， 由共线向量定理知，A，B，C三点共线， 由共面向量定理知，，，共面. 故选：C 4．已知是空间的一个基底，若，，则（  ） A．是空间的一个基底 B．是空间的一个基底 C．是空间的一个基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底 【答案】C 【分析】任意三个不共面的向量都可以作为空间的一组基底，其中的任意两个向量都不共线. 【详解】对A，因为，所以，则共面，不能作为空间的一组基底，故A不正确； 对B，因为，所以，则共面，不能作为空间的一组基底，故B不正确； 对C，假设共面，因为作为了空间的一组基底，所以不共线， 又，故不共线，则可设， 所以. 因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即向量不共面,能作为空间的一组基底，故C正确； 对D，有选项C知，向量与可以构成空间的一组基底，故D不正确. 故选：C. 5．已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设（），由题意结合法向量的定义得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意得，则， 设（），则， 因为是平面的一个法向量， 所以， 即， 对于A，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以A错误， 对于B，若在上，则，符合题意，所以在上，所以B正确， 对于C，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以C错误， 对于D，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以D错误， 故选：B 6．已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利已知条件结合向量法求解即可. 【详解】由题意， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    由题设可知， 所以， ，， 设点在上的投影为, 则 在直角三角形中， 点到直线的距离为: 故选：B. 7．已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点，则直线到平面的距离为（      ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明平面，再把距离转化为点到平面的距离，根据空间向量法求解即可. 【详解】建立以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系. 则， 所以 设平面的一个法向量为， 则,即, 令，则，所以. 因为，所以点到平面的距离为. 因为分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离即为点到平面的距离为. 故选：B. 8．如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法研究即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为， 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则，，，，， 所以，，， 设， 所以， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 又， 所以， 故与BP所成角的最大值为，最小值为． 故选：D． 二、多选题 9．已知向量则下列命题中，正确的是（    ） A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则，之间的夹角为钝角 D．若，则，之间的夹角为锐角 【答案】BD 【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD. 【详解】选项A，设，由⊥，⊥， 得，化简得， 因为，所以或，即A错误； 选项B，由，， 知，，， 所以， 即，所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积 ，即B正确； 选项C，若，则， 即，共线反向，故C错误； 选项D，若，则， 此时，之间的夹角为锐角，故D正确， 故选:BD. 10．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为2 B．点关于轴的对称点为 C．点到轴的距离为 D．点关于平面的对称点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的坐标特征，空间点关于坐标轴、平面对称的点的坐标特征，逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为点，所以到平面的距离为2，故选项A正确； 对于选项B，点关于轴的对称点为，故选项B错误； 对于选项C，因为，到轴的距离为，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以点关于平面的对称点为，故选项D正确. 故选：ACD. 11．在四棱锥中，平面，直线与平面和平面所成的角分别为和，则（    ） A． B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．若的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【分析】设，易得即为直线与平面所成角的平面角，即为直线与平面所成角的平面角，从而可求得，即可判断AB；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断C；易得为等腰直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，设，再根据求得半径，即可判断D. 【详解】设，则， 因为平面，平面，所以， 则即为直线与平面所成角的平面角， 所以，所以，即，， 因为平面， 所以平面， 则即为直线与平面所成角的平面角， 所以， 所以，即， 所以，即，故A错误； ，则， 所以，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 余弦值为，故C错误； 因为的中点为， 所以且， 又，所以四边形为矩形， 所以， 所以为等腰直角三角形，， 则外接圆的圆心为的中点，半径， 如图，设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 则平面，设， 则， 即，解得， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：BD.    【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题 12．若点关于点对称的点是,则 ． 【答案】 【分析】根据题意为的中点,根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为点关于点对称的点是,即为的中点, 所以,解得, 故. 故答案为:. 13．已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则 故. 故答案为：. 14．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ． 【答案】 【分析】根据异面直线a，b所成的角为，可得与得夹角为或，再由，两边同时平方，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为， 则与得夹角为或，则， 由， 得， 即， 所以， 即公垂线. 故答案为：. 四、解答题 15．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M． (1)求证：AO、BO、CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设空间的一组基底，，，并将用基底表示，继而求出,通过计算证得，同理得到另外两个结论； （2）将用基底表示，计算和，利用空间向量的夹角公式计算即得异面直线DM与AO所成角. 【详解】（1） 如图，设，，，连接,延长交于点, 依题意，点为的中心，点为的中点，则, 不妨令正四面体的棱长为1，则有，． 因,则 ，即得， 则 同理可得，， 所以 ． ，即．同理，． 所以AO、BO、CO两两垂直． （2） 因， 故， ， 又． 所以． 故异面直线DM与AO所成角的大小为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯二中2025-2026学年上学期作业（空间向量） 一、单选题 1．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．下面关于空间向量的说法正确的是（    ） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 3．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 4．已知是空间的一个基底，若，，则（  ） A．是空间的一个基底 B．是空间的一个基底 C．是空间的一个基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底 5．已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 7．已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点，则直线到平面的距离为（      ） A．2 B． C． D． 8．如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．已知向量则下列命题中，正确的是（    ） A．若⊥，⊥，，则 B．以，为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则，之间的夹角为钝角 D．若，则，之间的夹角为锐角 10．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为2 B．点关于轴的对称点为 C．点到轴的距离为 D．点关于平面的对称点为 11．在四棱锥中，平面，直线与平面和平面所成的角分别为和，则（    ） A． B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．若的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12．若点关于点对称的点是,则 ． 13．已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是 ． 14．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ． 四、解答题 15．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M． (1)求证：AO、BO、CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $