暑假专项作业：三角形（专项练习）-2025-2026学年数学四年级下册人教版

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过分类辨析、性质应用及综合探究，系统构建"概念-原理-应用"逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4|三角形分类关系（按角/边）、等边与等腰从属关系|从定义出发，明确概念内涵与外延，建立分类体系| |性质应用|选择5-6、填空7-12|三边关系（两边和差范围）、内角和定理（180°）、等腰三角形分类讨论|以性质为核心，串联边与角的数量关系，形成问题解决通法| |综合探究|解答19-23|多边形内角和转化（分割法）、实际问题建模（支架稳定性、芯片费用）|从单一三角形拓展至多边形，渗透转化思想与应用意识|

暑假专项作业：三角形-2025-2026学年数学四年级下册人教版 一、选择题 1．下面表示三角形关系的图中，不正确的是（    ）。 A．B． C．D． 2．有两根小棒，先把其中一根小棒剪成两段，再与另一根小棒一起围三角形。下面的剪法中，能围成三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 3．在一个等腰三角形中，其中一个角为70°，其它两个角是（    ）。 A．55° 55° B．55° 55°或70° 40° C．70° 40° D．55° 70° 4．正六边形（每条边都相等）每个内角都是120°，根据这些信息可以推出如图中涂色部分是一个（    ）三角形（等腰三角形两条相等的边所对角相等）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．一个三角形其中两条边的长度分别是13厘米和9厘米，第三条边的长度可能是（    ）厘米。 A．20 B．22 C．4 D．23 6．如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 二、填空题 7．三角形中至少有( )个角是锐角。一个等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是( )°。 8．两根小棒长5cm、9cm，再添一根整厘米小棒围成三角形，最短( )cm，最长( )cm。 9．一个等腰三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个等腰三角形的周长是( )cm或( )cm。 10．下图中每个小正方形的边长都是1厘米，在小正方形的直角顶点处再选一个点，记作点，使三角形成为直角三角形，可选点的位置共有( )个。 11．如图，平板电脑外壳支架的设计是运用了三角形的( )性。已知∠1＝70°，∠3＝40°，则∠2＝( )°。按边分，这是一个( )三角形。 12．如图，已知，那么( )。 三、判断题 13．用三根分别是4cm、5cm和9cm的小棒可以围成一个三角形。( ) 14．的内角和是360°。( ) 15．一个等腰三角形的一个角是50°，其他两个角一定是65°。( ) 16．李明准备把一根14厘米长的铁丝剪成三段（如下图），首尾相连围成一个三角形。如果他第一次在6厘米处剪了一刀，那么第二次不能剪在D处。( ) 17．三角形任意两个内角之和大于第三个内角。( ) 四、计算题 18．如下图，已知AB＝BC，求∠1，∠2，∠3的度数。 五、解答题 19．春天是放风筝的好季节；同学们在手工课上扎制了自己喜欢的主题风筝。小丽制作了一个钝角三角形风筝，这个风筝的一个锐角是30°，钝角是这个锐角的4倍，求这个三角形风筝的其他两个角的度数。 20．曲米给小狗做房子，房顶要用木条做成三角形框架，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？请你把所有的可能写出来（木条的长为整分米数） 21．一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 22．智能芯片是人工智能技术的核心硬件，在智能垃圾分类机器人电路板上安置一种“三角形微图案芯片”，每个三角形微图案芯片都是周长为45厘米的等边三角形，三条边分别嵌入不同功能元件（传感元件、运算元件、存储元件，长度都等于边长）。已知传感元件每厘米27元，运算元件每厘米33元，存储元件每厘米20元。安置一个三角形微图案芯片的总费用是多少元？ 23．中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：三角形-2025-2026学年数学四年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B A C 1．D 【分析】三角形按角分：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形），三者互相独立，没有交集。 三角形按边分：不等边三角形、等腰三角形（至少两边相等，三边都相等的是等边三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是锐角三角形，但等腰三角形可以是锐角、直角、钝角中的任意一种。 【详解】A．等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形，所以表示直角三角形和等腰三角形的两个椭圆有重合的部分，因此画法正确。 B．等边三角形三个角都是60°，属于锐角三角形，所以大圆（表示锐角三角形）包含小圆（表示等边三角形），因此画法正确。 C．等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，所以大圆（表示等腰三角形）包含小圆（表示等腰直角三角形），因此画法正确。 D．等边三角形属于锐角三角形，三个角都是锐角，而钝角三角形是有一个钝角的三角形，所以表示钝角三角形和等边三角形的两个椭圆应该没有重合的部分，因此画法不正确。 2．D 【分析】三角形三边关系：较短两边之和大于最长边。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．两根原长相等，两边和等于第三边，不满足要求，不能围成。 B．剪的是较短的小棒，因此两段和小于第三边，不满足要求，不能围成。 C．两段较短的小棒之和小于最长边长度，不满足三边关系要求，不能围成。 D．剪较长小棒，最长边是较长的那段，符合三边关系，可以围成三角形。 3．B 【分析】三角形的内角和是，等腰三角形的两个底角相等。分两种情况：一是为顶角，计算两个底角的度数；二是为底角，计算顶角的度数。 【详解】如果是顶角，则两个底角相等。 底角的度数为： 所以其它两个角的度数是、。 如果是底角，则另一个底角也是。 顶角的度数为： 所以其它两个角的度数是、。 综上所述，其它两个角的度数是、或、。 4．B 【分析】涂色部分下侧的三角形为正六边形的两条边，长度相等，为等腰三角形，它的顶角，就是正六边形的内角，等于120°，根据三角形的内角和为180°，且等腰三角形两底角相等，求得底角∠1的大小；利用∠1＋∠2＝120°，即可求出∠2的大小，从而判断涂色部分是一个什么三角形。 【详解】∠1＝（180°－120°）÷2＝60°÷2＝30° ∠2＝120°－30°＝90° 故涂色部分三角形有一个角是直角，为直角三角形。 5．A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。通过计算已知两边的和与差，确定第三条边的取值范围，再结合选项进行判断。 【详解】（厘米） （厘米） 根据三角形三边关系，第三条边的长度应大于4厘米且小于22厘米。 观察选项： A．20 厘米，，符合题意； B．22 厘米，等于两边之和，不能围成三角形，此选项错误； C．4 厘米，等于两边之差，不能围成三角形，此选项错误； D．23 厘米，大于两边之和，不能围成三角形，此选项错误。 6．C 【分析】根据题意，如图；在五边形中画辅助线，把五边形分成3个三角形，三角形的内角和是180°，求出五边形的内角和即可。 【详解】180°×3＝540° 足球上一个黑色皮块的内角和是540°。 7． 2 80 【分析】三角形内角和为180°，如果三角形只有1个锐角，剩下两个角就有可能是直角和钝角，剩下的两个角的和就会≥180°，不符合三角形内角和的规律，因此三角形至少有2个锐角。 等腰三角形两个底角相等，结合三角形内角和180°，用180°减去2个底角的度数，求出顶角的度数即可。 【详解】180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° 三角形中至少有2个角是锐角。一个等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是80°。 8． 5 13 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】5＋9＝14（cm） 9－5＝4（cm） 第三边大于4cm小于14cm，所以最短是5cm，最长是13cm。 9． 11 13 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，因此需要两种情况讨论腰的长度。根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，确认三边的长度，计算周长。 【详解】3厘米＋3厘米＞5厘米，3厘米＋5厘米＞3厘米，满足构成三角形的要求，此时三边长度分别为：3厘米、3厘米、5厘米。周长为：3＋3＋5＝11（厘米） 5厘米＋5厘米＞3厘米，5厘米＋3厘米＞5厘米，满足构成三角形的要求，此时三边长度分别为：5厘米、5厘米、3厘米。周长为：5＋5＋3＝13（厘米） 10．7 【分析】在格点中选点组成直角三角形，可以将角A、角B作为三角形的直角，则点C的位置在A点或B点的正下方，还可以找到点A和点B的中点， 在点A和点B的中点的正下方找到点C的位置，选点后，再连接点A和点B，看什么情况下组成的三角形是等腰直角三角形，据此找到点C的位置。 【详解】如图，可选的点C的位置共有7个。 11． 稳定 70 等腰 【分析】三角形具有稳定性，平板支架利用的就是三角形的这一特性。三角形内角和为180°，已知∠1＝70°，∠3＝40°，则∠2的度数等于180°减去∠1的度数，再减去∠3的度数。最后根据三角形等角对等边，说明有两条边长度相等；按边分类，有两条边相等的三角形是等腰三角形， 【详解】∠2＝180°－∠1－∠3 ＝180°－70°－40° ＝110°－40° ＝70° ∠1＝∠2＝70° 如图，平板电脑外壳支架的设计是运用了三角形的稳定性。已知∠1＝70°，∠3＝40°，则∠2＝70°。按边分，这是一个等腰三角形。 12．280°/280度 【分析】根据“三角形的内角和是180°”这个核心知识点，可以发现图中包含了两个三角形，它们共用一个角∠5。我们可以分别利用这两个三角形的内角和，求出两个三角形的内角和，再减去两个∠5，来巧妙地求出四个角的总和，列式计算即可。 【详解】∠5＝40° ∠1＋∠2＋∠5＝180° ∠3＋∠4＋∠5＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°－∠5－∠5＝360°－40°－40°＝320°－40°＝280° 13．× 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。验证三根小棒是否满足这一条件。 【详解】验证三边关系：4＋5＝9，不满足两边之和大于第三边，无法围成三角形。 故答案为：× 14．√ 【分析】根据三角形的内角和为180°，这个图形是梯形，连接任意两个对角，可以分成2个三角形，梯形的内角和是2×180°＝360°；据此解答。 【详解】根据分析： 可将梯形分成2个三角形，如图： 三角形内角和为180°，所以梯形内角和为：2×180°＝360°；原题干说法正确。 故答案为：√ 15．× 【分析】等腰三角形两个底角相等，已知一个角为50°，这个角可以是底角，也可以是顶角。若50°为顶角，底角可以用180°减去50°的结果再除以2。若50°为底角，则另一底角也为50°，顶角用180°减去两个50°。据此判断。 【详解】当50°为顶角时，底角为： （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 当50°为底角时，顶角为： 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 因此，其他两个角可能为65°和65°，或50°和80°，原题说法错误。 故答案为：× 16．√ 【分析】三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，据此解答。 【详解】由分析可得： 假如第二次在D处剪开， 14－6－1＝7（厘米），那么得到的三根铁丝为：6厘米、7厘米和1厘米； 6厘米＋1厘米＝7厘米，违背了三角形两边之和大于第三边的要求。这样的三条铁丝不能组成三角形。因此原题说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。三角形的内角和为180°。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 在锐角三角形中，60°＋60°＝120°。120°＞60°，满足题意。在直角三角形中，60°＋30°＝90°。90°＝90°，不满足题意。在钝角三角形中，30°＋30°＝60°。60°＜120°，不满足题意。原题说法错误。 故答案为：× 18．∠1＝40°，∠2＝70°，∠3＝70° 【分析】观察图形可知，∠2与 110°的角组成一个平角，平角等于180°，用180°减去110°即可求出∠2。已知AB＝BC，说明三角形ABC是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的边所对的角相等，即∠2和∠3相等。根据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠3的度数，即可求出∠1。 【详解】∠2＝180°−110°＝70° 因为AB＝BC，所以△ABC是等腰三角形，且∠3＝∠2。所以∠3＝70° ∠1＝180°−∠2−∠3＝180°−70°−70°＝110°−70°＝40° 答：∠1是40°，∠2是70°，∠3是70°。 19． 120°；30° 【分析】三角形内角和是180°，三角形其中一个锐角是30°，钝角是这个锐角的4倍。根据倍数关系求出钝角的度数，然后根据三角形内角和，减去已知的两个角的度数，即可求出第三个角的度数。 【详解】钝角的度数：30°×4＝120° 第三个角的度数：180°－120°－30°＝30° 答：这个三角形风筝的其他两个角的度数分别是120°和30°。 20． 3分米、4分米、5分米、6分米、7分米 【分析】根据三角形的特性任意两边之和大于第三边，可知第三边的长度必须小于已知两根木条长度之和；同时，为了保证能围成三角形，第三边的长度与较短木条长度之和必须大于较长木条的长度，即第三边长度大于已知两根木条长度之差。 【详解】根据三角形三边的关系，第三根木条的长度应小于已知两根木条长度之和，大于已知两根木条长度之差。 已知两根木条长分别为3分米和5分米。 两边之和：3＋5＝8（分米）；两边之差：5－3＝2（分米） 所以第三根木条的长度大于2分米且小于8分米。 因为木条的长为整分米数，所以在2和8之间的整数有：3、4、5、6、7。 答：第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米或7分米。 21． 腰长是7厘米，底边长是10厘米 【分析】三角形的周长是三条边相加的和，等腰三角形的两条腰相等。底边长比腰长多3厘米，把腰长看作1份，则底边长为1份加上3厘米，三条边一共是3份加上3厘米，即24厘米里面包括3份腰长加上3厘米，用24先减去3厘米，再除以3即可求出腰长，再用腰长加上3厘米即可求出底边长。 【详解】腰长： （厘米） 底边长：（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是7厘米，底边长是10厘米。 22．1200元 【分析】等边三角形三条边相等，用三角形周长÷3计算出每条边的长度，用三角形的每边的长度×元件的单价计算出三条边需要花费的钱数，然后再加一起即可。可以利用乘法分配律进行简算。 【详解】45÷3＝15（厘米） 15×27＋15×33＋15×20 ＝15×（27＋33＋20） ＝15×（60＋20） ＝15×80 ＝1200（元） 答：安置一个三角形微图案芯片的总费用是1200元。 23．（1）我不同意聪聪的观点；理由见详解 （2） 算式：180°×6＝1080° 【分析】（1）求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°，来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数。由题意得，聪聪把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是8×180°＝1440°。但这不是八边形的内角和，因为聪聪把中间的周角也算为了八边形的内角，所以聪聪的方法错误；乐乐把八边形分成了4个三角形和1个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角。即乐乐的方法正确；贝贝把八边形分成了3个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于3个四边形的内角和。即乐乐的方法正确。 （2）把八边形添加5条辅助线，将八边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知八边形的内角和等于180°×6＝1080°。 【详解】（1）我不同意聪聪的观点。因为他把八边形分成了八个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，所以聪聪的观点是错误的。 （2） 算式：180°×6＝1080° 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $