重庆市荣昌中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

荣昌中学高2026届高二下期第一次月考数学试卷答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列导数运算正确的是（   C    ） A． B． C． D． 2．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2, ，则f(x)＞x的解集是（ D      ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则公比（    ） A． B． C． D． 4．已知与曲线相切，则a的值为（  B     ） A． B．0 C．1 D．2 5．若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 6．若函数的极值点是1，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以 ， 由题意，得，即， 解得，即， 则. 故选：B. 7．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 8．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 10若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（BD   ） A．0 B． C．2 D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在定义域上恒成立 B．若经过原点的直线与的图象相切于点，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若有两个极值点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______． 13．在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 14．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 17．如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 18．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 《荣昌中学高2026届高二下期第一次数学月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B B C D ABC BD 题号 11 答案 ACD 1．C 2．D 3．A 【分析】根据等比数列的列方程，由此求得的值. 【详解】由于， 若，则， 而，则，所以不符合题意. 当且时，， 即， 即， 则. 故选：A 4．B 5．B 【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可. 【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2， 所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得， 故，所以的焦距为. 故选：B 6．B 7．C 【分析】设椭圆上的一动点，由点到直线距离公式结合三角函数知识可得答案. 【详解】由是椭圆上的动点. 可设，， 由点到直线的距离公式可得， ，， ，最大距离. 故选：C. 8．D 【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【详解】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键. 9．ABC 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 的极小值为：， 的极大值为：， 有三个零点，有两个极值点，A、B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，C正确； 对于D，，解得：， 当时，，当时，， 切线方程为：或，D错误. 故选：ABC. BD 【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解. 【详解】直线恒过定点， 由可得，如图， 由解得或（舍去），即, 由，可得, 由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点. 故选：BD 11．ACD 【分析】对于A，利用导数求得函数的最大值为0，可得结论正确；对于B，依题求出函数在点处的切线方程，代入原点即得；对于C，利用在上恒成立即可求得；对于D，利用在上恒有两不等实根即可求得. 【详解】对于A项，当时，， 当时，，递增，当时，，递减， 则时，取得极大值，即最大值0，故在定义域上恒成立，即A项正确； 对于B项，由可得，即在处的切线斜率为， 切线方程为：，代入原点坐标，得，解得，故B项错误； 对于C项，由求导得，， 因在区间上单调递减，则有在区间上恒成立. 设，则需使即 ，解得，故C项正确； 对于D项，因有两个极值点，则有两个正实根， 需使解得，此时，不妨设，则， 当或时，，递增，当时，，递减， 故在时取极大值，在时取极小值，符合题意，故D项正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决不等式恒成立和极值点问题，属于难题. 解决含参数的一元二次不等式恒成立问题，一般可考虑数形结合或者参变分离法求解；求解函数的极值点存在问题，一般将其转化为导函数方程的根的个数问题或者化归成两函数图象的交点个数问题解决. 12． 13． 14． 【分析】在作函数的图象和直线的图象，由图象研究方程的解得个数，在时方程可化为，由图象研究方程的解得个数，由此确定实数的取值范围. 【详解】当时，方程可化为， 设，则，∴ ， 所以函数在时的切线方程为， 作函数与直线的图象， 由图象可得， 当或时，函数与直线有且只有一个交点，即方程在上有一个根， 当时，函数与直线有两个交点，即方程在上有两个根， 当时，方程可化为，即 设， 作函数的图象， 由图象可得， 或时，直线的图象与有两个交点，即方程 方程在上有两个根， 当时，直线的图象与有三个交点，即方程 方程在上有三个根， 当或时，直线的图象与有一个交点，即方程 方程在上有一个根， 当时，直线的图象与没有交点，即方程 方程在上没有根， 综上，当且仅当时，方程有四个根， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 15．(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，代入，解出的值，即可得答案； （2）由题意可得，采用分组求和即可. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 又因为，，成等比数列， 所以，即， 整理得：， 又因为， 解得或(舍) 则有， 所以数列的通项公式为； （2）解：因为， 所以， 所以 . 所以. 16．(1)的极大值为，无极小值 (2)答案见详解 【分析】（1）当时，则，利用导数求的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数求函数单调性. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 17．(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由线面垂直的性质有，由圆的性质易得，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数即可. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又点在以为直径的半圆的圆周上，则， 由且都在面内，则面， 由面，故； （2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作， 由，，则， 故可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，故，可得， 所以，，， 若，分别为面、面的一个法向量， 则，取，， ，取，， 所以， 整理得，则，可得或. 18．(1) (2)证明见解析； (3)答案见解析； 【分析】（1）利用极值的定义求解； （2）将不等式转化为当时，，令，由证明； （3）根据，分和先去掉绝对值，然后利用导数法求解. 【详解】（1）因为， 所以，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以的极小值为：； （2）原不等式等价于当时，， 即当时，， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以，则在上递减， 所以，所以原不等式成立； （3）， 当时，， 又，则在上递增，且，， 所以在上总有一个零点； 当时，，则， 当时，，在上递增；， 在无零点； 当，时，，当时，， 所以，令 ，得 ， 当 时，，在无零点； 当时，，在上有唯一零点； 当时，，又， 由（2）知，，， 由零点存在定理知：在、上各有一个零点， 综上：当时，有一个零点；当时，有两个零点； 当时，有三个零点. 19.【答案】（1）是上的非负函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法可证明结论. 【小问1详解】 是上的非负函数. 理由如下： 因为，，所以. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. 【小问2详解】 由，，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. 【小问3详解】 由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 由为上的非负函数，得，则，. 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，从而在上恒成立. 令，得，则，从而上恒成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是分析函数单调性得到，结合非负函数的定义得到，即可证明结论.解决第（3）问的关键是通过分析函数单调性得到，根据为上的非负函数得到，通过构造函数，利用放缩法证明结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 荣昌中学高2026级数学第一次教学检测答题卡 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题5分，共 15 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 四 、解答题（共7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 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11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在定义域上恒成立 B．若经过原点的直线与的图象相切于点，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若有两个极值点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______． 13．在正方体中，点为棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 14．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（15分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 17．（15分）如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 18．（17分）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若.其中.讨论函数的零点个数. 19. （17分）已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$