2.7 有理数的混合运算 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2.7 有理数的混合运算 【学习目标】 1、牢记有理数三级运算顺序：先乘方（三级），再乘除（二级），最后加减（一级）；同级运算从左往右；有括号先算括号内，由小到大逐层计算。 2、熟练结合运算律（交换律、结合律、乘法分配律）做简便运算，尤其是分数形式的简便计算。 3、能处理多层括号、包含乘方、绝对值、相反数的综合算式，规范书写解题步骤。 4、纠正运算顺序颠倒、去括号不变号、乘方符号写错等常见错误。 【学习重难点】 重点：有理数混合运算标准顺序；标准化分步计算；运算律简便运算 难点：含乘方与负号的底数识别；多层括号运算；乘法分配律的易错应用；分数、负数综合算式符号判定 【课前预习·自主探究】 任务1：旧知回顾（必背） 1、已学运算分类 一级运算： ；二级运算： ；三级运算：____ 2、乘方核心易错回顾 (-3)2=， -32=； ()2=， 3、有理数基础运算律 加法交换律： a+b=____ 加法结合律： (a+b)+c=____ 乘法交换律： a×b=____ 乘法结合律： (a×b)×c=____ 乘法分配律： a×(b+c)=____ 任务2：新知初探 1、有理数混合运算包含： 、 、 、 、____及括号； 2、运算优先级口诀：先____，再____，最后____； 3、同级运算：只有加减/只有乘除，按照____顺序计算； 4、括号优先级：先算____，再算____，最后算____（由内向外）； 5、预习疑问记录： 【课堂导学·新知精讲】 知识点1：有理数三级运算层级（核心必考） 1、层级划分（优先级从高到低） 第三级（最高）：乘方运算 第二级：乘法、除法运算 第一级（最低）：加法、减法运算 2、核心规则 优先级高的先算，优先级低的后算；同级无先后，从左往右算；括号强制改变优先级。 知识点2：有理数混合运算标准顺序 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序依次进行； 3、如有括号，先算括号内的运算，按小括号→中括号→大括号由内向外逐层计算。 知识点3：标准化解题四步法（杜绝计算错误） 所有混合运算强制按四步书写，考试按步骤给分： Step1 观察分级：圈出乘方、括号、同级运算，划分运算层级； Step2 判定符号：结合乘方符号法则、乘除符号规则，提前预判符号； Step3 分步计算：按优先级逐层计算，一步一算，不跳步； Step4 化简结果：分数化为最简分数，假分数不强行化成带分数。 知识点4：高频重难点拆解 重难点1：乘方+负号复合题型（本节最高频错题） 底层逻辑：无括号时，负号不属于底数，先算乘方再取相反数 例1：计算 -22+(-2)2 解：原式 =-4+4=0 易错警示：严禁将 22算成4！ 重难点2：多层括号运算规则 运算原则：由内到外、逐层去括号，算完内层再算外层，禁止跨层计算 例2：计算 -14-[2-(-3)2] 解析：先算小括号内乘方→再算中括号内减法→最后算外部运算 重难点3：分数型混合运算 1、分数乘除优先转化为乘法（除以一个数=乘它的倒数）； 2、分数底数乘方，必须依托括号判定范围； 3、分子分母多级运算，分别计算后再约分。 知识点5：运算律简便运算（提速神器） 适用场景：多项加减、分数乘除、带括号算式 1、加法凑整：互为相反数结合、同分母分数结合、整数小数结合； 2、乘法凑整：互为倒数结合、正负分组结合； 3、乘法分配律核心： a(b+c)=ab+ac，反向使用 ab+ac=a(b+c)可提取公因数； 易错禁区：除法没有分配律，a÷(b+c)≠a÷b+a÷c（必考陷阱） 知识点6：特殊数字运算规律（速记） 1、1的任意次幂=1； -1偶次幂=1，奇次幂=-1； 2、 0乘任何数=0， 0不能作为除数； 3、任何数乘1不变，乘-1变为相反数。 【课堂典例·规范示范】 例1（基础型）计算： (-3)×2+(-4)2÷8 解：原式 =(-3)×2+16÷8 （先算乘方） =-6+2 （再算乘除） =-4 （最后算加减） 例2（易错型）计算： -12-(-1)3+05 解：原式 =-1-(-1)+0 =-1+1 =0 例3（多层括号）计算： 2×[5-(-2)3]÷(-6) 解：原式 =2×[5-(-8)]÷(-6) =2×13÷(-6) =26÷(-6) =- 【高频易错点汇总·必记避坑清单】 1、底数识别错误：混淆 -an与 (-a)n，是本节头号错题； 2、运算顺序跳步：先算加减后算乘除、同级从右往左算； 3、除法乱用分配律： 24÷(-)≠24÷-24÷； 4、 -1n固化错误：误将 -12算成1，正确结果为-1； 5、多层括号跳层计算：直接算外层，忽略内层优先； 6、分数运算不约分、结果不化简，作业考试扣分。 【分层当堂检测】 A层·基础过关 1、填空 （1）有理数运算中，优先级最高的是____，最低的是____； （2）计算： -52=， (-5)2=； （3）同级加减运算按____顺序计算。 2、规范计算（分步书写） （1） 3+22×(-1) （2） (-4)÷2+(-3)2 （3） 0-(-2)3× （4） (-1)2026+(-1)2025 B层·能力提升 1、计算： -22÷×(-)2 2、计算： 10-[(-4)2÷(2-6)] C层·拓展拔高（ 1、用简便方法计算： (-+)×(-12) 2、已知 a=-2，b=3，求代数式 a2-2ab+b2的值 【课堂小结·思维导图】 有理数的混合运算 三级层级：乘方(3级)＞乘除(2级)＞加减(1级) 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；同级从左到右；括号由内向外 解题方法：四步解题法（观察→判号→分步→化简） 简便运算：五大运算律，除法无分配律 核心易错：底数区分、-1与0的乘方、多层括号、运算顺序 【课后作业】 1、 必做题：教材习题 2、整理题：摘抄本节4个典型易错题，标注错误原因与正确步骤 3、选做题：观察算式规律，探究 (-2)n的符号与末位数字规律 同步作业 一．选择题 1．计算4+（﹣2）2×5＝（　　） A．﹣16 B．16 C．20 D．24 2．已知a、b为有理数，下列式子：①|ab|＞ab；②；③；④a3+b3＝0．其中一定能够表示a、b异号的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则|m|﹣c×d的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣3 D．或 4．如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（　　） A．25 B．30 C．45 D．40 5．有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（）+（）；④﹣3÷（）＝9，其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知a、b为有理数，下列说法 ①若a、b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a； ④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数， 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列运算错误的是（　　） A．﹣3﹣（﹣3）＝﹣3+3 B．5×[（﹣7）+（）]＝5×（﹣7）+5×（） C．[（）]×（﹣4）＝（）×[（﹣4）] D．﹣7÷2×（）＝﹣7÷[2×（）] 8．已知m是最小的正整数，n是最大的负整数，a，b互为相反数，x，y互为倒数，则m2+n3+a+b﹣xy的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 9．计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 10．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若a+b＞0，则下列结论一定成立的是（　　） A．a＞0 B．ab＞0 C．a＜﹣b D．|a|＜|b| 二．填空题 1．规定一种运算：a★b＝b2﹣2ab，则2★（﹣4）的值为　 　 ． 2．已知x、y互为相反数且均不为0，a和b互为倒数，m是最大的负整数，那么代数式的值为　 　 ． 3．对于任何数a，b，c，d，我们规定ad﹣bc，按照这个规定计算：当x2﹣3x+1＝0时，的值为　 　 ． 4．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么　 　 ． 5．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝3，则最后输出的结果是 　 　 ． 三．解答题 1．计算与化简： （1）12﹣（﹣6）+（﹣9）； （2）（﹣48）×（）； （3）﹣32÷（﹣2）2×|﹣1|×6+（﹣2）3． 2．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0． （1）求出a，b的值； （2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 3．某一出租车一天下午以鼓楼为出发点，在东西方向上营运，向东为正，向西为负，行车依先后次序记录如下：（单位：km）+9，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+7． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是多少元？ 4．阅读下面的解题过程： 计算（﹣15）÷（）×6 解：原式＝（﹣15）6（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步） ＝﹣15（第三步） 回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 　 　 步，错误的原因是 　 　 ，第二处是第 　 　 步，错误的原因是 　 　 ． （2）把正确的解题过程写出来． 5．某粮库6天内粮食进、出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）： +26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20 （1）经过这6天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？ （2）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存280吨粮，那么6天前仓库里存粮多少吨？ （3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少装卸费？ 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：4+（﹣2）2×5 ＝4+4×5 ＝4+20 ＝24， 故选：D． 2．【解答】解：当|ab|＞ab时，a、b一定异号； 当0时，a、b一定异号； 当||，则0，a可能等于0，b≠0，a、b不一定异号； 当a3+b3＝0，a3＝﹣b3，即a3＝（﹣b）3， 所以a＝﹣b，有可能a＝b＝0，a、b不一定异号． 所以一定能够表示a、b异号的有①②． 故选：B． 3．【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝2， ∴|m|﹣c×d ＝2﹣1 ＝2﹣1+0 ＝1， 故选：A． 4．【解答】解：（）×（﹣4）﹣（﹣1）＝2+1＝3＜10， 再次输入运算： 3×（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜10， 再次输入运算： （﹣11）×（﹣4）﹣（﹣1）＝44+1＝45＞10， ∴输出的结果y45， 故选：C． 5．【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误； ②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误； ③，原来的计算正确； ④，原来的计算正确． 正确的有2个． 故选：C． 6．【解答】解：①0与0互为相反数，但是没有意义，本选项错误； ②由a+b＜0，ab＞0，得到a与b同时为负数，即3a+4b＜0， ∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，本选项正确； ③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误； ④若|a|＞|b|， 当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，∴（a+b）•（a﹣b）为正数； 当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，∴（a+b）•（a﹣b）为正数； 当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，∴（a+b）•（a﹣b）为正数； 当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，∴（a+b）•（a﹣b）为正数， 本选项正确， 则其中正确的有2个． 故选：B． 7．【解答】解：∵﹣3﹣（﹣3）＝﹣3+3，故选项A正确； ∵5×[（﹣7）+（）]＝5×（﹣7）+5×（），故选项B正确； ∵[（）]×（﹣4）＝（）×[（﹣4）]，故选项C正确； ∵﹣7÷2×（）＝﹣7÷[2÷（）]，故选项D错误； 故选：D． 8．【解答】解：根据题意得：m＝1，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1， 则原式＝1﹣1+0﹣1＝﹣1． 故选：B． 9．【解答】解：（﹣2）2026+（﹣2）2025 ＝（﹣2）2025×[（﹣2）+1] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025． 故选：C． 10．【解答】解：当a＝﹣1，b＝2时，a+b＞0，但此时a＜0，则A不符合题意， 当a＝﹣1，b＝2时，a+b＞0，但此时ab＜0，则B不符合题意， 若a+b＞0，那么a＞﹣b，则C不符合题意， 若a+b＞0，当a＜0，b＞0时，|a|＜|b|；当a＜b＜0时，|a|＜|b|；则D符合题意， 故选：D． 二．填空题 1．【解答】解：根据新定义代入计算可得： ∴2★（﹣4）＝（﹣4）2﹣2×2×（﹣4）＝16+16＝32． 故答案为：32． 2．【解答】解：由条件可知：x+y＝0，ab＝1，m＝﹣1， 则原式2， 故答案为：2． 3．【解答】解：根据题中的新定义得： 原式＝（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2） ＝x2﹣1﹣3x2+6x ＝﹣2x2+6x﹣1 ＝﹣2（x2﹣3x）﹣1， 由x2﹣3x+1＝0，得到x2﹣3x＝﹣1， 则原式＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 4．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴ ＝7， 故答案为：7． 5．【解答】解：根据题意可知，3×4﹣2＝10＝10， 所以再把10代入计算：10×4﹣2＝38＞10， 即38为最后结果． 故本题答案为：38． 三．解答题 1．【解答】解：（1）12﹣（﹣6）+（﹣9） ＝12+6+（﹣9） ＝18+（﹣9） ＝9； （2）（﹣48）×（） ＝（﹣48）×（）+（﹣48）×（）+（﹣48） ＝24+30﹣28 ＝26； （3）﹣32÷（﹣2）2×|﹣1|×6+（﹣2）3． ＝﹣9÷46+（﹣8） 6+（﹣8） ＝（﹣18）+（﹣8） ＝﹣26． 2．【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0， ∴a＝﹣10，b＝90， 即a的值是﹣10，b的值是90； （2）①由题意可得， 点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50， 即点C对应的数为：50； ②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， [90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2） ＝80÷5 ＝16（秒）， 设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， [90﹣（﹣10）+20]÷（3+2） ＝120÷5 ＝24（秒）， 由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 3．【解答】解：（1）9﹣3﹣5+4﹣8+6﹣3﹣6﹣4+7＝﹣3， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点3千米，在鼓楼西方； （2）（9+|﹣3|+|﹣5|+4+|﹣8|+6+|﹣3|+|﹣6|+|﹣4|+7）×2.4＝132（元）， 答：每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是132元． 4．【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误． （2）（﹣15）÷（）×6 ＝（﹣15）6 ＝（﹣15）×（﹣6）×6 ＝90×6 ＝540． 故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误． 5．【解答】解：（1）26+（﹣32）+（﹣15）+34+（﹣38）+（﹣20）＝﹣45（吨）， 答：库里的粮食是减少了45吨； （2）280+45＝325（吨）， 答：6天前库里有粮325吨； （3）（26+|﹣32|+|﹣15|+34+|﹣38|+|﹣20|）×5＝165×5＝825（元）， 答：这6天要付825元装卸费 学科网（北京）股份有限公司 $