应用题（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版

**基本信息** 聚焦图形面积与方程应用，通过生活情境构建"问题剥离-关系提炼-模型解决"三阶解题体系，强化公式逆用与数量关系转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形面积|7题（1/2/5/6/19）|转化法推导公式、逆向求高/底、单位换算|三角形/平行四边形面积公式→正反应用→实际场景（风筝/光伏站）| |方程应用|8题（3/8/11/15/17）|顺向列等量关系、解ax±b=c型方程|倍数关系→总量差→行程/工程问题建模| |小数运算|6题（7/9/10/13/14）|分段计费、去尾法取整、连乘除应用|单价-数量-总价→复杂情境下的分步运算|

应用题（专项训练）2025-2026学年五年级上册数学人教版（三） 1. 学校航模社团制作了一个底为 1.5 米，高为 0.8 米的三角形风筝。为了防水，同学们需要给风筝的“正反两面”都刷上防水涂料。已知每平方米需要消耗防水涂料 150 克，刷完这个风筝一共需要多少克防水涂料？ 2. 学校要在文化墙上绘制两幅宣传画，一幅的外框是平行四边形，另一幅是三角形。美术老师要求：“为了视觉协调，这两幅画的高必须保持一致；同时，为了用料均匀，三角形宣传画的面积必须和平行四边形的面积完全相等。”已知平行四边形宣传画的底边长为 米，那么三角形宣传画的底边长应该是多少米？请写出你的计算过程及推理依据。 3. 学校图书角采购了同一系列的科普盲盒。五（1）班采购了 18 个，五（2）班也采购了一批。已知每个科普盲盒单价为 12.5 元，结算时五（2）班比五（1）班多付了 87.5 元。请用方程解答：五（2）班采购了多少个科普盲盒？ 4. 在探索图形面积的过程中，公式的灵活变形是解决问题的关键。已知一个三角形的面积为 ，底为 ，高为 。 （1）请用含字母的式子写出该三角形的正向面积计算公式； （2）如果已知该三角形的面积 和高 ，请逆向推导并写出求底 的计算公式。 5. 在数学探究课上，小宇用两个完全相同的三角形（底为 厘米，高为 厘米）拼成了一个平行四边形。请计算拼成的平行四边形的面积，并结合这一动手过程，简要写出任意三角形面积计算公式的一般推导步骤。 6. 某新建的平行四边形光伏发电站，在一个月内共发电 25.2 万千瓦时。已知该电站平均每公顷每月发电 14 万千瓦时，且该发电站的底边长为 300 米。这个发电站的占地面积是多少公顷？它的高是多少米？ 7. 某智慧农场在9月份推行节水灌溉技术。该农场设定的目标是9月份平均每天节约用水 3.2 立方米。已知9月份上中旬一共节约用水 65.5 立方米。为了完成这个月的节水目标，9月份下旬至少还需要节约用水多少立方米？ 8. 学校开展“图书漂流”活动。五年级同学捐出图书192本，比四年级同学捐出的2倍少8本。四年级同学捐出图书多少本？(列方程解答) 9. 小林用同城跑腿服务把一份文件送到客户处，平台共收取费用22.2元。这次配送的距离是多少千米？其中有多少千米是按“超出部分”计费的？(6分) [跑腿收费标准] 5 km以内(含5 km)收费7.5元，超过5 km的部分，每km收费2.1元。 10. 王老师为学校“科技节”准备奖品，手里有 88 元预算。他先买了 11 个小奖杯，共花了 48.4 元。剩下的钱准备买盒彩色马克笔，每盒彩色马克笔 3.2 元。为了不超支，王老师最多能买多少盒彩色马克笔？若买到最多，还剩多少钱？ 11. 一条景区步道长 500 米，甲、乙两支施工队同时从步道的两端向中间铺设透水砖。甲队每天铺设的长度是乙队的 1.5 倍，5 天刚好铺完。 （1）乙队每天铺设多少米？ （2）甲队 5 天一共铺设多少米？ （用方程解答） 12. 甲、乙两个小组共同录入一批调查问卷。已知甲组的工作效率是乙组的 。两组合作 9 天刚好全部录完。统计发现甲组共录入 450 份。 （1）乙组平均每天录入多少份？ （2）这批调查问卷一共有多少份？ 13. 社区团购时，张老师用 36 元买了 2.4 千克圣女果。她还想买 3.5 千克西梅，西梅每千克的价格是圣女果的 1.6 倍。张老师一共带了 150 元，买完圣女果和西梅后还剩多少钱？ 14. 一家餐盒厂生产一次性餐盒，每个餐盒原来需要 4.5 元的原料费。升级模具后，每个餐盒比原来节省 0.3 元原料费。 原来按旧工艺准备做 700 个餐盒的原料费不变，现在按新工艺最多可以做多少个餐盒？比原计划多做多少个？ 15. 在“星际探索”游戏中，玩家小智搜集了 块能量晶体。若将他搜集的晶体数量扩大到原来的 4.5 倍，再消耗掉 12.5 块，此时剩余的晶体数量恰好是 55 块。请列出方程并求出 的值。 16. 大型物流园里有一条长 3.15 千米的直线送货通道。一辆智能无人搬运车需要沿着这条通道从一端行驶到另一端，再原路折返回到起点。已知这辆搬运车的平均行驶速度为 0.45 千米/分钟，请问它完成这次往返任务一共需要多少分钟？ 17. 一款智能机器狗充满电后的持续行走时间为4.2小时，比上一代机器狗行走时间的1.8倍还多0.6小时。上一代机器狗充满电后能持续行走多少小时？(先写出等量关系式，再列方程解答) 18. 一列传统动车组的平均速度是 185.5 千米/时，某新型“复兴号”高铁的平均速度比这列传统动车组平均速度的 2 倍少 21.5 千米/时。这列“复兴号”高铁的平均速度比传统动车组快多少千米/时？ 19. 航模小组正在制作一只帆船模型，其主帆是一个三角形。已知主帆的面积是2.4平方分米，测得它的一条底边长3.2分米，那么这条底边对应的垂直高度是多少分米？ 20. 张老师带了500元去书店采购奖品，买了6本《科学画报》，每本42.5元。剩下的钱正好还能买5盒水彩笔，每盒水彩笔多少元？ 21. 星空天文馆门票价格如下： 成人票:65.5 元/张 学生票:35.5 元/张 李老师带领科普小组的同学去参观天文馆，买票一共花费了 278.5 元。已知李老师只买了 1 张成人票，其余都是学生票，请问科普小组共有多少名学生？ 附：试卷深度教研解析与思路 ■ 第 1 题 深度解析： 1. 学校航模社团制作了一个底为 1.5 米，高为 0.8 米的三角形风筝。为了防水，同学们需要给风筝的“正反两面”都刷上防水涂料。已知每平方米需要消耗防水涂料 150 克，刷完这个风筝一共需要多少克防水涂料？ 【考点】三角形面积, 乘法应用题 【难度】中等 最终答案 180 克 思路起点 解决此类问题的核心在于找准数量关系：总消耗量 = 涂刷总面积 × 每平方米消耗量。拿到题目后，首先要剥离风筝的生活情境，提取出计算面积所需的几何条件（底和高），利用三角形面积公式求出单面面积。这道题的思维突破口在于细致审题，必须注意到“正反两面”这个实际操作中的隐含条件，单面面积需要乘 2 才能得出实际的涂刷总面积，最后再正向推导求出涂料总重量。 详细解答 第一步，计算三角形风筝单面的面积。根据三角形面积公式：面积 = 底 × 高 ÷ 2， 列式计算为：（平方米）。 第二步，计算需要涂刷的总面积。因为风筝的“正反两面”都需要刷涂料，所以总面积是单面面积的 2 倍， 列式计算为：（平方米）。 第三步，计算需要的防水涂料总重量。根据“总重量 = 总面积 × 每平方米消耗量”， 列式计算为：（克）。 综合列式计算过程如下： （克） 答：刷完这个风筝一共需要 克防水涂料。 学生易错 1. 面积公式用错漏除以 2：部分学生在提取底和高后，直接用底乘高（ 平方米），把三角形面积错误地算成了平行四边形面积。 2. 忽略“正反两面”的陷阱：中等偏下水平的学生往往读题不够细致，算完单面面积（ 平方米）后就直接去乘单耗，得出 克的错误答案。 3. 小数乘法粗心出错：在计算 时，小数点位数移动和末尾的 处理不当，容易写成 克或 克。 变式拓展 市政工程队在一块底为 12 米，高为 5 米的三角形铁皮广告牌上刷防锈漆。如果广告牌的正反两面都需要刷，且每平方米需要防锈漆 0.6 千克。工程队仓库里现有 40 千克防锈漆，请问这些防锈漆够用吗？ ■ 第 2 题 深度解析： 2. 学校要在文化墙上绘制两幅宣传画，一幅的外框是平行四边形，另一幅是三角形。美术老师要求：“为了视觉协调，这两幅画的高必须保持一致；同时，为了用料均匀，三角形宣传画的面积必须和平行四边形的面积完全相等。”已知平行四边形宣传画的底边长为 米，那么三角形宣传画的底边长应该是多少米？请写出你的计算过程及推理依据。 【考点】三角形面积, 平行四边形面积, 逆向推理 【难度】中等 最终答案 3 米 思路起点 首先需要剥离题目中的生活情境，将“高保持一致”转化为数学条件“高相等”，将“用料均匀”转化为“面积相等”。接下来，切入点是写出这两种图形的面积计算公式：平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2。既然两者的面积和高都分别相等，就可以通过构建等式，逆向推导出它们底边之间的倍数关系。最终将已知的平行四边形底代入，求出三角形的底。 详细解答 设这两幅画的高均为 米，平行四边形的底为 米，三角形的底为 米。 第一步：根据面积公式，分别表示出两幅画的面积。 平行四边形的面积 三角形的面积 第二步：根据题意“面积完全相等”，建立等量关系。 第三步：推导底边之间的倍数关系。 因为高 不能为 ，等式两边同时除以 ，得到： 即：三角形的底 （三角形的底是平行四边形底的 倍）。 第四步：代入已知数据计算。 已知平行四边形的底 米， 三角形的底 （米）。 答：三角形宣传画的底边长应该是 米。 学生易错 1. 刻板印象导致错用规律：部分学生死记硬背“三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半”，在审题时忽略了本题的条件是“高和面积相等”，从而错误地认为三角形的底应该是平行四边形底的一半，列出 米的错误算式； 2. 缺乏代数思维：看到题目中没有给出“高”的具体数值，就觉得条件不足无法计算，不知道可以利用字母或等式性质将未知量“高”消去。 变式拓展 李大爷有两块农田，一块是平行四边形，另一块是三角形。已知这两块田的底边紧紧相连且长度相等，由于土质不同，三角形农田的面积是平行四边形农田面积的 倍。如果平行四边形农田的高是 米，那么三角形农田的高是多少米？ ■ 第 3 题 深度解析： 3. 学校图书角采购了同一系列的科普盲盒。五（1）班采购了 18 个，五（2）班也采购了一批。已知每个科普盲盒单价为 12.5 元，结算时五（2）班比五（1）班多付了 87.5 元。请用方程解答：五（2）班采购了多少个科普盲盒？ 【考点】列方程解应用题, 小数四则混合运算 【难度】中等 最终答案 25 个 思路起点 在审题时，看到“单价”、“多付了多少元”这类信息，应迅速在大脑中剥离出生活场景，聚焦到“单价×数量＝总价”这一核心数量关系上。题目要求用方程解答，并且把原先“已知重量求单价”的常规题型改成了“已知单价求未知数量”。我们可以将五（2）班采购的数量设为未知数，根据“五（2）班买盲盒的总价 － 五（1）班买盲盒的总价 ＝ 多付的差价”顺向列出方程，这样能有效降低思维难度。 详细解答 解：设五（2）班采购了 个科普盲盒。 根据“五（2）班总价 － 五（1）班总价 ＝ 87.5元”，列出方程： 先计算 的乘积： 等式两边同时加上 225： 等式两边同时除以 12.5： （或者利用乘法分配律列方程： ） 答：五（2）班采购了 25 个科普盲盒。 学生易错 1. 格式不规范：中等偏下水平的学生容易忘记写“解：设……”直接列式，或者列出的方程中没有未知数，变成了纯算术解法，导致不符合“用方程解答”的扣分限制； 2. 等量关系混淆：误把“多付的金额”加到了五（1）班这边，列成 ，导致完全算错； 3. 小数计算错误：在计算 时忘记点小数点，或者在最终除法 时未正确移动小数点进行化整，导致计算卡壳。 变式拓展 某生态农场引进了两批新型滴灌设备。第一批引进了 45 套，第二批引进了 60 套。已知第二批比第一批多投入了 1950 元。请用方程求出：每套新型滴灌设备的单价是多少元？ ■ 第 4 题 深度解析： 4. 在探索图形面积的过程中，公式的灵活变形是解决问题的关键。已知一个三角形的面积为 ，底为 ，高为 。 （1）请用含字母的式子写出该三角形的正向面积计算公式； （2）如果已知该三角形的面积 和高 ，请逆向推导并写出求底 的计算公式。 【考点】三角形面积, 用字母表示数, 公式变形 【难度】基础 最终答案 （1）（或 ）；（2）（或 ） 思路起点 本题要求从代数的角度表达和变形基本图形的面积公式。首先，回顾三角形面积的基本文字关系式：“三角形的面积＝底×高÷2”，再将其用题目指定的字母 、、 进行代换，写出正向公式。其次，面对第二问的“逆向推导”，需要把正向公式看作一个方程，将“底 ”视作未知数，利用乘除法各部分的关系（或者等式的性质），先理解“底×高”的乘积等于面积的2倍（即 ），进而通过除以高求出底。 详细解答 （1）根据三角形面积的推导原理，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，所以“三角形的面积＝底×高÷2”。结合题目提供的字母， 代表面积， 代表底， 代表高，可得面积的字母公式为：（也可写为分数形式 ）。 （2）在已知面积 和高 ，要求底 时，我们需要对原公式 进行逆向变形： 第一步，根据“被除数＝商×除数”，将除以2移到等号另一边，得出 ； 第二步，根据“因数＝积÷另一个因数”，等号两边同时除以高 ，得出 （也可写为 ）。 学生易错 1. 漏除以2：在写第一问面积公式时，容易受长方形或平行四边形面积公式的干扰，忘记三角形面积是拼成图形的一半，错写成 。 2. 变形逻辑错误：在写第二问的逆向公式时，部分学生不理解等式性质，没理清“乘2”的逻辑关系，直接用面积除以高，错写成 ；或者误将除以2当作除法延续，错写成 。 变式拓展 在解决实际问题时，梯形面积公式也经常需要进行变形应用。已知一个梯形的面积为 ，上底为 ，下底为 ，高为 。请用含字母的式子写出梯形的面积计算公式；并进一步写出：当已知面积 、上底 和下底 时，逆向推导求高 的变形公式。 ■ 第 5 题 深度解析： 5. 在数学探究课上，小宇用两个完全相同的三角形（底为 厘米，高为 厘米）拼成了一个平行四边形。请计算拼成的平行四边形的面积，并结合这一动手过程，简要写出任意三角形面积计算公式的一般推导步骤。 【考点】三角形的面积, 公式推导, 转化思想 【难度】中等 最终答案 96 平方厘米 思路起点 原题中的“这个公式”依赖于上一题的上下文。在改编中，我们将情境补全为完整的“三角形面积公式推导”探究场景。看到“两个完全相同的三角形拼成平行四边形”，首先要联想到“转化”的数学思想。通过平移和旋转，两个全等三角形可以拼合成一个平行四边形。此时，新平行四边形的底和高与原三角形的底和高分别对应相等。以此为突破口，先算出平行四边形的整体面积，再将其与单个三角形的面积关系（一半）用文字表述出来，即可完整还原公式的推导逻辑。 详细解答 1. 面积计算： 拼成的平行四边形的底等于原三角形的底（ 厘米），高等于原三角形的高（ 厘米）。 列式计算：（平方厘米）。 答：拼成的平行四边形的面积是 平方厘米。 2. 推导过程表述： 第一步（拼合）：将两个“完全相同”的三角形通过旋转和平移，拼合成一个平行四边形。 第二步（找关系）：观察发现，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。 第三步（得结论）：因为“平行四边形的面积 = 底 高”，而一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以“三角形的面积 = 底 高 ”。 学生易错 1. 计算陷阱：在计算平行四边形面积时，部分学生可能会习惯性地除以 ，错误地算成单个三角形的面积（ 平方厘米）。 2. 推导不严密：在文字表述中，容易漏掉“完全相同”或“完全一样”这个极其关键的前提条件，任意两个形状不同的三角形是无法拼成平行四边形的；此外，容易在最后得出公式时忘记说明“为什么要除以 ”（即单个图形占总面积的一半）。 变式拓展 在探索梯形面积公式时，小华将两个完全相同的梯形（上底为 厘米，下底为 厘米，高为 厘米）拼成了一个平行四边形。请计算拼成的平行四边形的面积，并仿照三角形面积的推导思路，简要写出梯形面积计算公式的完整推导过程。 ■ 第 6 题 深度解析： 6. 某新建的平行四边形光伏发电站，在一个月内共发电 25.2 万千瓦时。已知该电站平均每公顷每月发电 14 万千瓦时，且该发电站的底边长为 300 米。这个发电站的占地面积是多少公顷？它的高是多少米？ 【考点】平行四边形面积, 面积单位换算, 小数除法 【难度】中等 最终答案 面积是 1.8 公顷，高是 60 米。 思路起点 这是一道将图形面积与生活实际相结合的逆向推导题。解题的突破口在于先剥离发电的生活情境，找准“总发电量”和“每公顷发电量”之间的核心数量关系（总产量 ÷ 单产量 = 面积），求出光伏发电站的占地公顷数。接着，观察到已知底边的单位是“米”，因此必须先将求得的面积单位从“公顷”换算成“平方米”。最后利用平行四边形的面积公式逆运算（高 = 面积 ÷ 底），求出对应的高。 详细解答 第一步，求发电站的占地面积。 根据“总发电量 ÷ 平均每公顷发电量 = 占地面积”，列式： 25.2 ÷ 14 = 1.8（公顷） 第二步，统一面积单位。 因为底边长的单位是“米”，而面积单位是“公顷”，需要先将公顷换算为平方米。 因为 1 公顷 = 10000 平方米， 所以 1.8 公顷 = 18000 平方米。 第三步，求平行四边形的高。 根据平行四边形的面积公式“面积 = 底 × 高”，可逆向推导出“高 = 面积 ÷ 底”，列式： 18000 ÷ 300 = 60（米） 答：这个发电站的占地面积是 1.8 公顷，它的高是 60 米。 学生易错 1. 单位换算遗漏或进率错误：很多学生在求出 1.8 公顷后，直接用 1.8 ÷ 300，完全忘记将公顷转化为平方米，或者错误地认为 1 公顷 = 1000 平方米，导致最后一步算错。 2. 数量关系理不清：在第一步计算时，容易弄错除数与被除数的位置，误列成 14 ÷ 25.2。 3. 公式掌握不牢：误将平行四边形的面积公式混淆为三角形面积公式，在逆向求高时多乘或多除以 2。 变式拓展 一片平行四边形的有机蔬菜基地，底是 500 米，高是 240 米。如果平均每公顷每天需要消耗 3.5 吨水进行智能滴灌，这片蔬菜基地每天一共需要消耗多少吨水？ ■ 第 7 题 深度解析： 7. 某智慧农场在9月份推行节水灌溉技术。该农场设定的目标是9月份平均每天节约用水 3.2 立方米。已知9月份上中旬一共节约用水 65.5 立方米。为了完成这个月的节水目标，9月份下旬至少还需要节约用水多少立方米？ 【考点】平均数问题, 小数乘减混合运算, 日期与时间常识 【难度】中等 最终答案 30.5 立方米 思路起点 引导学生首先寻找问题中的隐藏条件。题目中提到了“9月份”，需联想到生活常识：9月份共有30天。其次，梳理“平均每天节水目标量”、“全月总节水量”与“天数”之间的核心数量关系。看到“平均每天”和“全月天数”，就要想到可以利用乘法先求出“全月总目标量”。最后采用逆向推导思维，利用“全月总量 － 已经完成的量 ＝ 剩下的量”这一基本关系式，即可求出下旬还需要节约的水量。这样的逆推思维比直接求平均数更能锻炼逻辑剥离能力。 详细解答 第一步：根据历法常识可知，9月份共有 30 天。 第二步：计算9月份全月计划节约用水的总量。 （立方米） 第三步：计算9月份下旬还需要节约用水的量。 （立方米） 综合列式计算过程如下： （立方米） 答：为了完成这个月的节水目标，9月份下旬至少还需要节约用水 立方米。 学生易错 1. 隐藏条件缺失：审题不够敏锐，没有结合生活常识将“9月份”转化为隐含数据“30天”，导致不知道该如何求全月总数。 2. 概念混淆：有些同学误以为要再除以下旬的天数（10天），实际上题目问的是“一共还需要节约用水多少立方米”，属于求总量而非求下旬的日平均量，造成画蛇添足。 3. 小数运算粗心：在计算 时，整数减小数容易出现数位未对齐或退位错误，错误地算出 甚至个位数算错。 变式拓展 某城市推行公共自行车出行计划，11月份的总目标是全市平均每天减少汽车尾气排放 4.8 吨。已知11月份上半月（前15天）一共减少了汽车尾气排放 70.5 吨。若要按计划完成全月的减排目标，该市11月份下半月平均每天至少需要减少汽车尾气排放多少吨？ ■ 第 8 题 深度解析： 8. 学校开展“图书漂流”活动。五年级同学捐出图书192本，比四年级同学捐出的2倍少8本。四年级同学捐出图书多少本？(列方程解答) 【考点】列方程解应用题, 倍数与差的数量关系 【难度】中等 最终答案 100 本 思路起点 先把生活情境“捐书”抽象成数量关系：题目出现“2倍”“少8本”，说明两个年级的数量满足“一个数量 = 另一个数量的倍数 ± 差”。设四年级的本数为未知数，用“2倍少8本”把五年级的本数用未知数表示，再与已知的192本对应列方程求解。 详细解答 设四年级同学捐出图书 x 本。 根据题意“五年级捐出192本，比四年级的2倍少8本”，可得： 四年级的2倍 − 8 = 五年级 列方程： 2x − 8 = 192 解方程： 2x = 192 + 8 2x = 200 x = 200 ÷ 2 x = 100 验算： 四年级100本的2倍是200本，少8本是192本，与题意相符。 答：四年级同学捐出图书100本。 学生易错 1. “少8本”符号用错：把“2x − 8 = 192”误写成“2x + 8 = 192”。 2. 倍数关系找反：把“五年级是四年级的2倍少8本”误理解成“四年级是五年级的2倍少8本”。 3. 解方程步骤不规范：从“2x − 8 = 192”直接写“x = (192 − 8) ÷ 2”导致加减顺序错。 4. 忘记写单位或答语：只写出x的数值，不写“本”或不作答。 变式拓展 校园“废纸回收”活动中，六年级回收废纸255千克，比五年级回收量的3倍多15千克。五年级回收废纸多少千克？（列方程解答） ■ 第 9 题 深度解析： 9. 小林用同城跑腿服务把一份文件送到客户处，平台共收取费用22.2元。这次配送的距离是多少千米？其中有多少千米是按“超出部分”计费的？(6分) [跑腿收费标准] 5 km以内(含5 km)收费7.5元，超过5 km的部分，每km收费2.1元。 【考点】分段计费, 一元一次方程 【难度】中等 最终答案 全程12千米（其中超出部分7千米） 思路起点 看到“5 km以内收费固定、超过部分按每km计费”，要立刻把生活情境剥离成“固定费用 + 按量费用”的数量关系。已知总费用，先用“总费用－起步费”得到超出部分的费用，再用“超出部分费用÷每km单价”求出超出里程，最后加上起步里程得到全程距离。 详细解答 题意：前5千米收费7.5元；超过5千米的部分，每千米2.1元；总费用22.2元。 方法一：用算式分步求解 (1) 先求“超出部分”一共收了多少钱： 22.2 − 7.5 = 14.7（元） (2) 再求“超出部分”有多少千米： 14.7 ÷ 2.1 = 7（千米） (3) 最后求全程距离： 5 + 7 = 12（千米） 答：全程12千米，其中超出部分7千米。 方法二：列方程 设超出5千米的路程为x千米。 列式：7.5 + 2.1x = 22.2 解方程：2.1x = 22.2 − 7.5 = 14.7 x = 14.7 ÷ 2.1 = 7 全程 = 5 + x = 5 + 7 = 12（千米） 答：全程12千米，其中超出部分7千米。 学生易错 1. 漏掉起步费：把22.2直接除以2.1，误认为得到的是超出里程。 2. 忽视“含5 km”：把5 km也当作按2.1元/千米计费，导致多算费用或少算里程。 3. 小数计算出错：22.2−7.5、14.7÷2.1中小数点位置处理不当。 4. 单位意识弱：算出7后忘记写“千米”，或把“超出部分7千米”误当作“全程7千米”。 变式拓展 某景区观光车收费：4 km以内(含4 km)收费6元，超过4 km的部分每km收费1.6元。游客小赵共付19.6元。问：他乘车的全程是多少千米？其中按1.6元/千米计费的路程是多少千米？ ■ 第 10 题 深度解析： 10. 王老师为学校“科技节”准备奖品，手里有 88 元预算。他先买了 11 个小奖杯，共花了 48.4 元。剩下的钱准备买盒彩色马克笔，每盒彩色马克笔 3.2 元。为了不超支，王老师最多能买多少盒彩色马克笔？若买到最多，还剩多少钱？ 【考点】小数四则混合运算, 总价-单价-数量关系, 除法求“最多”与取整 【难度】中等 最终答案 最多买 12 盒，还剩 1.2 元 思路起点 先把生活情境“剥离”成数量关系：总钱数−已花钱数=剩余钱数；剩余钱数÷每盒单价=可以买的盒数。因为“买东西”必须按整盒买且“不超支”，所以除法得到的商如果不是整数，要取不超过它的最大整数（也就是“最多能买”的盒数），再用“剩余钱数−单价×盒数”求还剩的钱。 详细解答 1）先求剩余的钱数： 88 − 48.4 = 39.6（元） 所以还剩 39.6 元。 2）用剩余钱数除以每盒彩色马克笔的价钱，求“最多能买多少盒”： 39.6 ÷ 3.2 = 12.375 表示可以买 12.375 盒，但实际只能买整盒且不能超支，所以最多买 12 盒。 3）求买 12 盒要花多少钱，并求剩余： 3.2 × 12 = 38.4（元） 39.6 − 38.4 = 1.2（元） 答：王老师最多能买 12 盒彩色马克笔，买到最多还剩 1.2 元。 学生易错 1）把 12.375 盒当成答案：忽略了“必须整盒购买”的隐含条件，没进行取整。 2）取整取错：把 12.375 进位成 13，导致超支。 3）小数运算出错：如 88−48.4 误算成 40.6，或 3.2×12 误算。 4）忘记求“还剩多少钱”：只答“12盒”，漏答第二问。 变式拓展 学校合唱团有 105 元买活动用品，先买了 14 个文件夹共用去 57.4 元；剩下的钱购买水彩笔，每盒 4.5 元。此外还需要预留 6 元买胶带。问：水彩笔最多能买多少盒？买到最多后还剩多少钱？ ■ 第 11 题 深度解析： 11. 一条景区步道长 500 米，甲、乙两支施工队同时从步道的两端向中间铺设透水砖。甲队每天铺设的长度是乙队的 1.5 倍，5 天刚好铺完。 （1）乙队每天铺设多少米？ （2）甲队 5 天一共铺设多少米？ （用方程解答） 【考点】列方程解应用题, 倍数关系, 合作工程问题 【难度】中等 最终答案 乙队每天 40 米；甲队 5 天共铺 300 米 思路起点 先把情境“从两端向中间铺完”抽象成数量关系：两队同时干活，5 天完成，总长度 =（甲每天铺的米数 + 乙每天铺的米数）× 天数。题目还给了“甲是乙的 1.5 倍”，这就是建立方程的关键条件。 详细解答 设乙队每天铺设 x 米，则甲队每天铺设 1.5x 米。 根据“5 天刚好铺完 500 米”，列方程： 5\,(x + 1.5x) = 500 先合并同类项： x + 1.5x = 2.5x 代回方程： 5 2.5x = 500 12.5x = 500 解方程： x = 500 12.5 = 40 所以，乙队每天铺设 40 米。 求甲队每天铺设： 1.5x = 1.5 40 = 60（米/天） 求甲队 5 天共铺设： 60 5 = 300（米） 答：（1）乙队每天铺设 40 米；（2）甲队 5 天一共铺设 300 米。 学生易错 1. 漏乘“5 天”：只写成 x+1.5x=500，忘记“每天的总量×天数=总长度”。 2. 倍数关系写反：把“甲是乙的 1.5 倍”错写成乙=1.5x 或甲=x。 3. 合并出错：把 x+1.5x 算成 1.5x 或 2x，导致后续全错。 4. 只求出乙队每天 x 后就停下：忽视题目还问“甲队 5 天一共铺设多少米”。 变式拓展 一条绿道长 630 米，甲、乙两队从两端同时安装护栏。甲队每天安装的长度是乙队的 1.4 倍，安装了 3 天后还剩 210 米没装完。甲、乙两队每天分别安装多少米？（用方程解答） ■ 第 12 题 深度解析： 12. 甲、乙两个小组共同录入一批调查问卷。已知甲组的工作效率是乙组的 。两组合作 9 天刚好全部录完。统计发现甲组共录入 450 份。 （1）乙组平均每天录入多少份？ （2）这批调查问卷一共有多少份？ 【考点】工作效率与工作总量, 比和比例（效率比） 【难度】中等 最终答案 （1）40 份 （2）810 份 思路起点 先把情境“录入问卷”抽象成“工作总量—工作时间—工作效率（每天完成量）”关系：总量 = （甲每天量 + 乙每天量）× 天数。题目给了“效率比（甲:乙=5:4）”和“甲的总完成量、总天数”，所以突破口是先求出甲的“每天完成量”，再用效率比求乙的“每天完成量”，最后合并求总量。 详细解答 （1）先求甲组平均每天录入多少份： 甲组 9 天共录入 450 份，所以 450 ÷ 9 = 50（份/天） 由“甲组效率是乙组的 ”，可得甲:乙 = 5:4。 同一时间内完成量之比等于效率之比，因此 乙组每天录入量 = 甲组每天录入量 × 4 ÷ 5 = 50 × 4 ÷ 5 = 40（份/天） 答：乙组平均每天录入 40 份。 （2）求问卷总份数： 两组合作每天共录入： 50 + 40 = 90（份/天） 9 天共录入： 90 × 9 = 810（份） 答：这批调查问卷一共有 810 份。 学生易错 1. 把“甲是乙的 ”看成“乙是甲的 ”，导致比例用反（应是甲:乙=5:4）。 2. 先求乙每天量时直接用 50×5÷4（把谁乘谁弄混），正确是乙=甲×4÷5。 3. 只用“总量÷天数”得到 810÷9=90 后就停笔，忽略题目还要求乙组每天完成量。 4. 单位混乱：把“份/天”和“份”混用，最后答案不写单位或单位写错。 变式拓展 变式题（略高一点）：甲、乙两组共同完成一批资料归档。甲组效率是乙组的 。两组先合作 4 天后，乙组因培训停工 1 天，甲组继续工作；随后乙组恢复工作，两组再合作 3 天完成全部任务。已知乙组实际工作期间共完成 420 份。求这批资料一共有多少份。 ■ 第 13 题 深度解析： 13. 社区团购时，张老师用 36 元买了 2.4 千克圣女果。她还想买 3.5 千克西梅，西梅每千克的价格是圣女果的 1.6 倍。张老师一共带了 150 元，买完圣女果和西梅后还剩多少钱？ 【考点】小数除法, 小数乘法, 倍数关系 【难度】中等 最终答案 30 元 思路起点 先把生活情境“剥皮”：抓住“总价÷质量=单价”的关系，先求出圣女果的每千克单价；再利用“西梅单价是圣女果的 1.6 倍”求西梅单价；接着用“单价×质量=总价”求西梅应付的钱；最后用“带的钱−总花费=剩余的钱”收尾。 详细解答 <thinking>验算草稿：36÷2.4=15（元/千克）；西梅单价=15×1.6=24（元/千克）；西梅钱=24×3.5=84（元）；总花费=36+84=120（元）；剩余=150-120=30（元）。</thinking> 1）求圣女果的单价 总价 ÷ 质量 = 单价 36 ÷ 2.4 = 15（元/千克） 2）求西梅的单价 西梅单价是圣女果的 1.6 倍： 15 × 1.6 = 24（元/千克） 3）求买西梅应付的钱 单价 × 质量 = 总价 24 × 3.5 = 84（元） 4）求买完两种水果后剩余的钱 先求总花费： 36 + 84 = 120（元） 再求剩余： 150 − 120 = 30（元） 答：买完圣女果和西梅后还剩 30 元。 学生易错 1）把“36 元买 2.4 千克”误当成“2.4÷36”，导致单价求反。2）看到“1.6 倍”误算成“加 1.6”或“乘 0.6”，没有正确理解“倍数=乘法关系”。3）小数计算粗心：如 36÷2.4 漏掉小数点移动，或把 24×3.5 算成 24×35。4）最后一步忘记用“带的钱”减“总花费”，只算出西梅的钱就停止。 变式拓展 露营采购时，李叔叔用 28.8 元买了 1.6 千克小番茄；又买了 4.2 千克黄瓜，黄瓜每千克的价格是小番茄的 0.75 倍。若他付款后找回 25 元，问他原来付了多少钱？ ■ 第 14 题 深度解析： 14. 一家餐盒厂生产一次性餐盒，每个餐盒原来需要 4.5 元的原料费。升级模具后，每个餐盒比原来节省 0.3 元原料费。 原来按旧工艺准备做 700 个餐盒的原料费不变，现在按新工艺最多可以做多少个餐盒？比原计划多做多少个？ 【考点】小数乘除法, 单价×数量=总价（数量关系） 【难度】中等 最终答案 750 个，最多多做 50 个 思路起点 先把“餐盒厂、原料费”等情境抽象成数量关系：旧的“单个原料费”ד计划数量”=“总原料费”。工艺改进后“单个原料费”变小，但“总原料费不变”，因此用“总原料费÷新单价”求出新数量；再与原计划数量比较求“多做多少个”。 详细解答 1）先求原来准备做 700 个餐盒的总原料费。 列式：4.5×700 计算：4.5×700=3150（元） 所以，总原料费是 3150 元。 2）求改进后每个餐盒的原料费。 列式：4.5−0.3 计算：4.5−0.3=4.2（元/个） 所以，新工艺每个餐盒需要 4.2 元。 3）用“总原料费÷新单价”求新工艺最多做多少个。 列式：3150÷4.2 计算： 3150÷4.2=31500÷42（被除数和除数同时扩大 10 倍） 31500÷42=750（个） 所以，最多可以做 750 个餐盒。 4）求比原计划多做多少个。 列式：750−700 计算：750−700=50（个） 答：现在按新工艺最多可以做 750 个餐盒，比原计划最多多做 50 个。 学生易错 1）把“每个少用 0.3 元”看成“每个用 0.3 元”，导致新单价写错。 2）先用 700÷(4.5−0.3) 之类的错误列式：忽略了“总原料费不变”这一关键条件。 3）小数除法位数处理错误：3150÷4.2 时不同时扩大 10 倍，或把 31500÷42 算错。 4）只算出“现在能做多少个”，漏答“比原计划多做多少个”。 变式拓展 一家饮品店原来每杯奶茶用 3.6 元的原料，改良配方后每杯节省 0.2 元。原来按旧配方准备做 450 杯的原料费不变。现在按新配方最多能做多少杯？如果店里只卖 500 杯，原料费还剩多少元？ ■ 第 15 题 深度解析： 15. 在“星际探索”游戏中，玩家小智搜集了 块能量晶体。若将他搜集的晶体数量扩大到原来的 4.5 倍，再消耗掉 12.5 块，此时剩余的晶体数量恰好是 55 块。请列出方程并求出 的值。 【考点】简易方程, 列方程解应用题 【难度】中等 最终答案 15 思路起点 剥离“星际探索”与“能量晶体”的情境包装，题目的核心在于对未知量进行连续的数学运算。看到“扩大到原来的 4.5 倍”，应想到用乘法关联；看到“消耗掉”和“剩余”，应想到用减法构建等量关系。顺着题干的事件发展顺序（正向推导），以未知数 为起点，就能将文字语言转化为代数方程，即建立“原数量的 4.5 倍减去消耗量等于剩余量”的等量关系。 详细解答 根据题干信息，可以梳理出核心等量关系：原有能量晶体的数量 × 4.5 - 消耗的数量 = 剩余的数量。 将已知数据和未知数代入，列出完整方程： 解方程过程如下： 先将 视作一个不可分割的整体，根据等式的基本性质，等号两边同时加上 12.5，消除等号左边的常数项： 接着，为了求出 的值，等号两边再同时除以 4.5： 答： 的值为 15。 学生易错 1. 运算逻辑颠倒：部分同学未理清事件发生的先后顺序，误将“消耗”动作放在“扩大倍数”之前，从而错误地列出带括号的方程 。 2. 解方程时移项变号错误：在把方程转化为 的形式时，等式的基本性质掌握不牢，误把左边的“- 12.5”在等号右边依然做减法处理，得出 的错误步骤。 3. 小数除法计算失误：在计算 时，忘记根据商不变规律将除数和被除数同时扩大 10 倍化为整数计算，导致最终结果的小数点点错。 变式拓展 在“未来农场”模拟培育活动中，试验田里种植了 株抗旱番茄。如果将抗旱番茄的株数增加到原来的 3.2 倍，由于试验需求又移栽走了 18 株，此时田里还剩下 78 株。请列出方程并求出 的值。 ■ 第 16 题 深度解析： 16. 大型物流园里有一条长 3.15 千米的直线送货通道。一辆智能无人搬运车需要沿着这条通道从一端行驶到另一端，再原路折返回到起点。已知这辆搬运车的平均行驶速度为 0.45 千米/分钟，请问它完成这次往返任务一共需要多少分钟？ 【考点】小数乘除法, 行程问题 【难度】中等 最终答案 14 分钟 思路起点 看到题目中的“原路折返”和“往返任务”，首先要敏锐地捕捉到隐藏条件：实际行驶的总路程并不是单程的长度，而是单程长度的 倍。在理清这个易错点后，剥离掉物流园的生活场景，提炼出核心数量关系：先利用“单程距离 总路程”求出实际行驶距离，再根据基本行程公式“时间 总路程 速度”即可求出最终结果。 详细解答 分步列式解答： 第一步：求出无人搬运车往返一次的总路程。 因为搬运车是“从一端行驶到另一端，再原路折返”，所以实际行驶的总路程是单程的 倍。 （千米） 第二步：根据“时间 路程 速度”，求出完成任务所需的时间。 （分钟） 综合算式： （分钟） 答：它完成这次往返任务一共需要 分钟。 学生易错 1. 审题不清：忽略“往返”或“折返”这个隐藏的倍数关系，直接用单程距离除以速度（ 分钟），导致求出的仅仅是单程的行驶时间。 2. 小数除法算理不扎实：在计算 时，移动小数点的位数弄错（未能将被除数和除数同时扩大 倍），被除数少补了一个 ，从而得出 等错误结果。 变式拓展 一架极地科考无人机从基地出发，直线飞行前往冰川观测点，完成数据采集后立刻原路返回基地，全程总共飞行了 分钟。已知无人机在此过程中的平均飞行速度为 千米/分钟，请问基地到冰川观测点的单程距离是多少千米？ ■ 第 17 题 深度解析： 17. 一款智能机器狗充满电后的持续行走时间为4.2小时，比上一代机器狗行走时间的1.8倍还多0.6小时。上一代机器狗充满电后能持续行走多少小时？(先写出等量关系式，再列方程解答) 【考点】列方程解应用题, 小数运算 【难度】中等 最终答案 2小时 思路起点 首先剥离题目中的科技情境，寻找隐藏的数学倍数关系。看到“比……的几倍还多/少”这一句型，应立刻反应出这是典型的倍数关系应用题，最适合用方程顺向思维来解决。找准突破口：把“上一代机器狗的行走时间”作为标准量（即一倍量），设为未知数 ；把“新款智能机器狗的行走时间”作为比较量（4.2小时）。由此可以顺向推导出核心等量关系：标准量 倍数 多出的部分 比较量。 详细解答 等量关系式：上一代机器狗的行走时间 新款智能机器狗的行走时间 解：设上一代机器狗充满电后能持续行走 小时。 根据等量关系列出方程： （方程两边同时减去 ） （方程两边同时除以 ） 答：上一代机器狗充满电后能持续行走 小时。 学生易错 1. 找错标准量：部分学生没有理清谁是谁的几倍，误将新款机器狗的时间（4.2小时）当作一倍量去乘1.8。 2. 等量关系符号弄错：由于思维定势或审题不清，将“多0.6小时”写成了“”。 3. 小数除法计算失误：在最后一步计算 时，小数点移位出错，得出 或 的错误答案。 变式拓展 某科普体验馆新进了一批VR眼镜，其中基础款有45副，比升级款VR眼镜数量的2.5倍少5副。升级款VR眼镜有多少副？(先写出等量关系式，再列方程解答) ■ 第 18 题 深度解析： 18. 一列传统动车组的平均速度是 185.5 千米/时，某新型“复兴号”高铁的平均速度比这列传统动车组平均速度的 2 倍少 21.5 千米/时。这列“复兴号”高铁的平均速度比传统动车组快多少千米/时？ 【考点】小数四则混合运算, 倍数问题 【难度】中等 最终答案 164 千米/时 思路起点 阅读题目时，首先要剥离掉具体的交通工具名称，找准核心的数量关系。题目已知“传统动车组”的速度，也给出了“复兴号”速度与“传统动车组”的倍数关系。解题的关键突破口在于弄清最终的问题是求“快多少”（即两者的差值），而不是单纯求“复兴号”的速度。因此，第一步必须根据“比…的 2 倍少 21.5”列出乘减混合算式求出“复兴号”的实际速度；第二步，用“复兴号”的速度减去“传统动车组”的速度，从而得出最终答案。 详细解答 分步解答过程： 第一步：先求出这列“复兴号”高铁的平均速度。 已知传统动车组的平均速度是 185.5 千米/时，“复兴号”的平均速度是它的 2 倍少 21.5 千米/时。 列式计算：185.5 × 2 - 21.5 = 371 - 21.5 = 349.5（千米/时） 第二步：求出“复兴号”高铁比传统动车组快多少。 列式计算：349.5 - 185.5 = 164（千米/时） 综合算式： (185.5 × 2 - 21.5) - 185.5 = (371 - 21.5) - 185.5 = 349.5 - 185.5 = 164（千米/时） 答：这列“复兴号”高铁的平均速度比传统动车组快 164 千米/时。 学生易错 1. 审题不完整（思维定势）：学生很容易按照常规的“求结果”题型，在算出“复兴号”的速度（349.5 千米/时）后就直接写答语，忽略了题目最后问的是“快多少”，从而漏掉最后一步减法。 2. 小数计算粗心：在进行小数乘法 185.5 × 2 时，小数点位置点错或者忘记进位变成 370；在进行小数减法时，数位没有对齐，导致最终结果出错。 变式拓展 某地为了提倡环保出行，投放了一批新型共享电单车。旧版共享自行车的平均骑行速度约为 12.5 千米/时，新型共享电单车的平均速度比旧版共享自行车速度的 1.5 倍多 1.25 千米/时。若小明骑新型共享电单车通勤，每小时比骑旧版共享自行车能多行多少千米？ ■ 第 19 题 深度解析： 19. 航模小组正在制作一只帆船模型，其主帆是一个三角形。已知主帆的面积是2.4平方分米，测得它的一条底边长3.2分米，那么这条底边对应的垂直高度是多少分米？ 【考点】三角形面积公式, 小数除法, 逆向推导 【难度】基础 最终答案 1.5分米 思路起点 首先剥离题目中的生活情境，提取核心数学模型：已知一个三角形的面积和底，要求对应的高。看到“三角形的面积”，马上要在脑海中浮现公式“面积 = 底 高 ”。本题是公式的逆向应用，因此寻找突破口的关键在于：要想求高，必须先把面积乘2，还原成与它等底等高的平行四边形的面积，再除以底。 详细解答 根据三角形的面积计算公式：三角形的面积 底 高 。 可以通过逆向推导变形得出求高的方法：高 三角形的面积 底。 分步列式计算如下： 先把面积乘2，求出等底等高的平行四边形面积： （平方分米） 再用得数除以底，求出对应的高度： （分米） 综合算式脱式过程： （分米） 答：这条底边对应的垂直高度是1.5分米。 学生易错 1. 遗漏乘2：这是学生做逆向面积题时最典型的错误。部分学生会直接列式为“”，忘记了三角形面积公式中除以2的操作，导致逆算时未将面积乘2。 2. 小数点移位错误：在计算“”时，转化为“”，部分学生可能会因为口算不扎实算错商的小数点位置（如写成15或0.15）。 变式拓展 美术课上，小华用彩纸剪了一个三角形装饰品，面积是60平方厘米。已知这个三角形对应的高是0.8分米，它的底是多少厘米？（注意：先统一长度单位再计算） ■ 第 20 题 深度解析： 20. 张老师带了500元去书店采购奖品，买了6本《科学画报》，每本42.5元。剩下的钱正好还能买5盒水彩笔，每盒水彩笔多少元？ 【考点】小数乘除法, 四则混合运算 【难度】中等 最终答案 49元 思路起点 本题的核心数量关系是“总金额 - 已花金额 = 剩余金额”。首先，看到“每本42.5元”和“买了6本”，应立即联想到用乘法求出买书花费的总钱数。接着，用带去的总金额减去买书的钱，即可得到用于买水彩笔的剩余金额。最后，根据“总价 ÷ 数量 = 单价”，用剩余金额除以水彩笔的盒数，即可逆向推导求出水彩笔的单价。 详细解答 1. 首先，求出购买《科学画报》一共花费的钱数： （元） 2. 接着，求出买完书后剩下的钱数： （元） 3. 最后，求出每盒水彩笔的价钱： （元） 综合算式为： （元） 答：每盒水彩笔49元。 学生易错 1. 计算粗心：在计算小数乘法 时忽略了小数点位置，或者末尾进位出错，导致第一步就算错； 2. 运算顺序错乱：在列综合算式时，容易漏写小括号，错写成 ，从而违背了题意先减后除的逻辑，导致运算顺序出错。 变式拓展 李阿姨带了300元去超市买水果，买了4千克车厘子，每千克58.5元。剩下的钱准备买单价为8元的苹果，还能买多少千克？ ■ 第 21 题 深度解析： 21. 星空天文馆门票价格如下： 成人票:65.5 元/张 学生票:35.5 元/张 李老师带领科普小组的同学去参观天文馆，买票一共花费了 278.5 元。已知李老师只买了 1 张成人票，其余都是学生票，请问科普小组共有多少名学生？ 【考点】小数四则混合运算, 单价、数量与总价的关系 【难度】中等 最终答案 6 名 思路起点 本题的原版素材仅为孤立的条件，经过改编补全后，由“正向计算”转变为“逆向推导”的思维过程。解题的切入点是理清核心数量关系：总花费＝成人票总花费＋学生票总花费。题目要求的是学生人数，已知学生票单价，只要知道买学生票一共花了多少钱即可求出。因此，突破口在于先用“总花费”减去“成人票花费”，得出剩余全部用于买学生票的金额，最后利用“数量＝总价 单价”求解。 详细解答 第一步，求出购买成人票后，剩下用于购买学生票的总金额： 列式：（元） 第二步，根据“数量＝总价 单价”，求出购买的学生票张数（即学生人数）： 列式：（名） 综合算式： （名） 答：科普小组共有 6 名学生。 学生易错 1. 审题不严：部分学生容易忽略“买了 1 张成人票”这一隐蔽条件，直接用总花费 去除以单价求数量； 2. 计算陷阱：在进行 的小数除法时，忘记将除数与被除数的小数点同时向右移动相同的位数（即转换为 ），导致商的数位出错； 3. 运算顺序错误：列综合算式时忘记加小括号，写成 。 变式拓展 王阿姨去精品水果店买水果，苹果每千克 8.5 元，香蕉每千克 5.6 元。她买苹果花了 17 元，买香蕉和苹果一共花费了 33.8 元。请问王阿姨买了多少千克香蕉？ 学科网（北京）股份有限公司 $