精品解析：陕西省渭南市大荔县2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

大荔县2024-2025学年（下）高二年级期末质量检测试题 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．选择题用2B铅笔将正确答案涂写在答题卡上；非选择题用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡的指定答题区域内，超出答题区域答案无效． 3．答题前，请将姓名、考号、试卷类型按要求涂写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列…的一个通项公式是 A. B. C. D. 2. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 48 B. 49 C. 55 D. 54 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 5. 已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 在处取得最小值 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（ ） A. 2699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 2997块 8. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 11. 若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ） A 0 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为______． 13. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前______个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 14. 已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求最大值. 16. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的值域． 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式. （2）若，令，求数列的前项和 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）． 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等实数根，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县2024-2025学年（下）高二年级期末质量检测试题 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．选择题用2B铅笔将正确答案涂写在答题卡上；非选择题用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡的指定答题区域内，超出答题区域答案无效． 3．答题前，请将姓名、考号、试卷类型按要求涂写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列…的一个通项公式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C. 2. 已知函数，则在处切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 3. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 48 B. 49 C. 55 D. 54 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求和. 【详解】等差数列中，，， 所以. 故选：A. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】对等式两边求导，再赋值计算即得. 【详解】函数，求导得，则， 所以. 故选：B 5. 已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设的公比为q，则． 由成等差数列，得，即， 于是，故，从而． 故选：D 6. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 在处取得最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（ ） A. 2699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 2997块 【答案】D 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，上层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进而求得答案. 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 8. 已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数求导法则求导即可逐项判断. 详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 11. 若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题转化为在恰有2个解，利用导数分析单调性，结合函数交点问题即可取得得范围. 【详解】根据题意，关于原点对称后为， 则恰有两个“友情点对”，即在恰有2个解, 等价于在恰有2个解，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， ，又，所以， 因为，，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求导，并得到时，，根据平行关系和导数几何意义得到方程，求出答案. 【详解】，当时，， 的斜率为，故，解得. 故答案为： 13. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前______个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解. 【详解】设第个正方形的边长为，则， 因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， 所以，， 所以外围第2个正方形的边长为， 同理，外围第个正方形的边长为， 即数列是首项为3，公比为的等比数列， 所以， 所以第个正方形的面积为 所以前个正方形面积之和， 由得， 两边取常用对数得，，， 因为，所以至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：8. 14. 已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式； （2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 16. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的最值与导数的关系可求出函数在区间上的最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得，所以， 所以，则，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，，由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，，故函数在区间上的最大值为，最小值为 所以值域为. 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式. （2）若，令，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与的关系求出公比，再令得到求出，即可求出结果； （2）利用（1）所求结果得到，然后利用错位相减法即可求出结果. 【小问1详解】 由可得， 两式相减可得，即， 因为数列是等比数列，所以， 因为，所以解得，所以； 【小问2详解】 因为， 所以 ①， ①，得 ②， ①②，得 ， 所以. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，结合时，求得，进而得到数列通项公式； （2）根据题意，得到新数列的前100项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列的前n项和为，且， 当时，， 所以， 当时，，不符合上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1， 则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1， 则 ． 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，再求导取为0，计算得到对称中心. （2）求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案. （3）确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案. 【小问1详解】 ，，， 令，，， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， . 当时，取得最大值，此时. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数求函数的单调性，参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据对称性将，转为为的函数关系，再根据二次函数性质求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $