甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高二下学期期末数学练习试题

**基本信息** 以解三角形救援、数列报酬方案、双曲线冷却塔模型等真实情境为载体，考查数学建模与应用能力，体现数学眼光与思维的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|解三角形、复数、函数性质|结合孪生素数考查数学抽象| |多选题|3/18|函数零点、双曲函数|引入悬链线历史背景| |填空题|3/15|基本不等式、向量|赵爽弦图体现文化传承| |解答题|6/77|数列应用、立体几何、统计|冷却塔模型关联科技，报酬方案对比培养理性思维|

· 靖远一中2025-2026学年第二学期期末模拟试题 · 高二数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（    ） A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7] 3．已知函数，则下列正确的是（    ） A．最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．将图象向右平移个单位长度后得到的图象，此时 D．是的一个减区间 4．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则的最小值为 A． B． C． D．1 6．设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知点是抛物线的准线上一点，为抛物线的焦点，为抛物线上的点，且，若双曲线中心在原点，是它的一个焦点，且过点，当取最小值时，双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分，在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分） 9．已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．双曲函数最初由17世纪数学家雅各布•伯努利提出：两端系于两个固定点的均匀绳索．在仅受其自身重力的作用下形成的曲线是什么曲线？他本人和伽利略起初都误认为是一条抛物线．但是，雅各布•伯努利随后通过不懈努力用微分方程推导出其曲线方程为：，并称为悬链线．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且满足：，容易求得其中一个函数为最简单的悬链线方程，则（    ） A． B． C． D． 11．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（    ） A． B．数列单调递减 C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7 三、填空题（共3空，每空5分，共15分） 12．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________． 13．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为_____. 14．若函数在区间上的最小值大于零， 则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6小题, 共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题12分）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 16．（本题12分）如图所示，棱锥中，平面，，，，，，为中点，． (1)证明：B，C，M，N四点共面； (2)求直线AC与平面所成线面角的正弦值． 17．（本题12分）某同学计划利用暑假时间到一家公司勤工俭学.该公司经理向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍） (1)假设该同学到商场勤工俭学的天数为分别表示三种方案天领取的报酬总和，求出的表达式； (2)请你帮他分析，选择哪种方式领取报酬更划算？ 18．（本题12分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 19．（本题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 根据样本估计本市生活垃圾投放情况． (1)厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？ (2)居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？ (3)该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？ 20．（本题16分）已知函数，其中，求证：存在，使得在区间上恒成立，且在区间上有唯一解． 试卷第4页，共2页 试卷第5页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B A C B BD ABD 题号 11 答案 AC 12．17 【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 故答案为：17 13． 【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 14． 【分析】应用二倍角的余弦公式将函数化为以为变量的二次函数的形式，根据二次函数性质建立不等式组，即可得结果． 【详解】因为，令，而， 故，则是开口向下且对称轴为的抛物线， 由，二次函数性质知：. 故答案为： 15．乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【详解】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，找到与的交点即可证明四点共面； （2）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量夹角的余弦值可以得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设与轴交于，与轴交于， 由与共线，与共线，可得． 所以直线与直线相交，则B，C，M，N四点共面． （2），，设平面的法向量为， 则即，故， 又，所以， 故直线与平面所成线面角正弦值为． 17．(1) (2)当时，选方案一；当时，选方案三（答案不唯一） 【分析】（1）根据常数列、等差数列、等比数列等数列求和知识求得正确答案. （2）结合单调性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】（1）依题意，， ， . （2）， ， ； ， ； ， . 画出的大致图象如下图所示， 由图以及一次函数、二次函数、指数函数的增长快慢可知， 当时，选方案一；当时，选方案三. 18．(1)平方米 (2)米 【分析】（1）由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解； （2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解. 【详解】（1） 由题设，则有在双曲线上， 所以，解得， 因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面， 此时圆面的面积为（平方米）； （2）由（1）可知的一条渐近线方程为， 如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行， 所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为， ， 由，解得，则， 由，解得，则， 所以（米）. 19．(1) (2) (3)“厨余垃圾”箱． 【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解； （2）根据表中数据，利用古典概型的概率先求得居民生活垃圾投放正确的概率，再利用对立事件的概率求解； （3）利用古典概型的概率分别求得“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率， “可回收物”箱中投放正确的经验概率和“其他垃圾”箱中投放正确的经验概率，再比较即可. 【详解】（1）厨余垃圾投放正确的经验概率为． （2）设“居民生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“居民生活垃圾投放正确”， ，所以． （3）因为“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率为， “可回收物”箱中投放正确的经验概率为， “其他垃圾”箱中投放正确的经验概率为． ，所以该市三类垃圾箱中投放正确的经验概率最高的是“厨余垃圾”箱． 20．证明见解析 【分析】本题关键点是把分离，以方便求导．本题涉及隐零点问题，要注意因式分解，再利用零点的唯一性，最小值即为0加以证明. 【详解】证明：设， 因为其与正负相同，所以原题即证存在， 使得在区间上恒成立，且在区间上有唯一解． ，易知存在，使，可得下表． － 0 ＋ 减 最小值 增 可得， 即， 将代入化简得． 设， 易知在上单调递增，且，，所以． 因为，所以，得证． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $