精品解析：甘肃省靖远县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

2023—2024年度高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修一、二册20%，选择性必修一、二册80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 5. 若函数的单调递增区间是，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价(元)和销售额(元)的数据，整理得到下面的散点图： 已知销售额单价销量，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量与单价的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 12 8. 已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是（ ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5024 6.635 7.879 A. 能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 B. 不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 C. 能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 D. 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从二项分布，则 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 设随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量服从两点分布，，且，则随着的增大而增大，随着的增大而增大 11. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积为定值 C. 异面直线与所成角的正切值为1 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点.若点在平面内，则x=______. 13. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表： 零件数个 10 20 30 加工时间分钟 21 39 现已求得上表数据的线性回归方程为，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是______． 14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为丰富学生课余生活，利用下午放学后的1个小时时间，组织多种形式的文体兴趣小组．经过一个学期后，学校对兴趣小组满意度进行调查，现从该校的初、高中学生中随机抽取200人作为样本，得到下表（单位：人次）． 满意度 初中学生 高中学生 男生 女生 男生 女生 满意 45 40 35 30 不满意 5 10 15 20 （1）通过上表判断能否有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关； （2）现利用分层抽样的方法从调查的学生中按满意与不满意的标准抽取出8人，再从这8人中任选2人，记X为这2人中为满意的人数，求X的分布列和数学期望． 16. 如图，是圆柱底面圆的直径，点､是的两个三等分点，､为圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）设，为的中点，求二面角的余弦值. 17. 前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望； （2）用函数对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考数据： 设 参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 18. 已知椭圆及直线． （1）若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； （2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，设． （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024年度高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修一、二册20%，选择性必修一、二册80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集，补集的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以或， 因为，所以. 故选：D. 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程易求得，进而可求双曲线的渐近线方程. 【详解】因为，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 4. 已知等比数列是其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，所以， 所以. 故选：C 5. 若函数的单调递增区间是，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，由，可得，可求. 【详解】， 若，则可得在上单调递减， 若，令，可得， 所以在上单调递增， 又因为的单调递增区间是，所以. 故选：D. 6. 某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价(元)和销售额(元)的数据，整理得到下面的散点图： 已知销售额单价销量，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量与单价的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布趋势判断出与成线性关系，由此可得到关于的一般表示，再根据可确定出与的关系，由此得到结果. 【详解】解析：由散点图可知，与成线性相关，设回归方程为， 由题意，所以，对应B最适合． 故选：B. 7. 已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 8. 已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得过的切线的斜率，结合图形可求得的取值范围. 【详解】， 直线过点， 设， 所以在点处的的切线方程为， 即，将代入得，. ，即在函数的图象上， . 要使方程在区间上恰有3个不等实数根， 则，即的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确的是（ ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A. 能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效 B. 不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效 C. 能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效 D. 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意计算出的值，逐项分析即可. 【详解】根据列联表，计算， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，A正确； 能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，B错误； 不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，C错误； 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，D正确， 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从二项分布，则 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 设随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量服从两点分布，，且，则随着的增大而增大，随着的增大而增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立试验的概率计算公式，可判定A正确；结合正态分布的性质，可判定B错误；根据二项分布的方差公式，可判定C正确；根据二点分布的期望与方差，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为随机变量服从二项分布， 则，所以A正确； 对于B中，因为随机变量服从正态分布，且， 所以正态曲线的对称轴是，则，所以B错误； 对于C中，由二项分布的方差公式知，所以C正确； 对于D中，由随机变量服从两点分布，且，可得， 由一次函数和二次函数的性质知，当时，则随着的增大而增大，随着增大而增大，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的正切值为1 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，利用坐标法计算可判断AD；利用线线平行可得以平面，可判断B；与所成的角为，计算可判断C. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，则，， 对于A选项，，，则， 故与不垂直，进而可知与平面不垂直，故A错误； 对于B选项，在正四棱柱中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面， 平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C选项，因为，所以与所成的角为， 因为四边形为正方形，所以，故C正确； .对于D选项，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点.若点在平面内，则x=______. 【答案】-2 【解析】 【分析】由题意得到存在使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 因为点在平面，所以存在使得， 即， 故，解得. 故答案为：. 13. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表： 零件数个 10 20 30 加工时间分钟 21 39 现已求得上表数据的线性回归方程为，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，代入回归方程，即可求解. 【详解】由车间加工零件的数量与加工时间的统计数据表，可得， 因为线性回归方程一定经过点，可得， 解得. 故答案为：. 14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得点，设直线方程为，联立方程组，可求得，从而可求. 【详解】令，得，即. 由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为， 代入，消去得，则， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为丰富学生的课余生活，利用下午放学后的1个小时时间，组织多种形式的文体兴趣小组．经过一个学期后，学校对兴趣小组满意度进行调查，现从该校的初、高中学生中随机抽取200人作为样本，得到下表（单位：人次）． 满意度 初中学生 高中学生 男生 女生 男生 女生 满意 45 40 35 30 不满意 5 10 15 20 （1）通过上表判断能否有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关； （2）现利用分层抽样的方法从调查的学生中按满意与不满意的标准抽取出8人，再从这8人中任选2人，记X为这2人中为满意的人数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到满意的中学生抽取人，不满意的学生中抽取人，求得变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，得到的列联表，如下表所示： 初中学生 高中学生 合计 满意 85 65 150 不满意 15 35 50 合计 100 100 200 所以， 所以有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关. 【小问2详解】 解：由题意，满意的中学生抽取人，不满意的学生中抽取人， 则随机变量的可能取值为， 可得， 所以变量的分布列为： 0 1 2 所以，期望为. 16. 如图，是圆柱底面圆的直径，点､是的两个三等分点，､为圆柱的母线. （1）求证：平面； （2）设，为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过得出平面和得出平面，即可证明； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量关系即可求得. 【详解】（1）证明：连结， ∵点､是的两个三等分点， ∴，∴平面； 又､均为圆柱的母线，∴， ∴平面， 又，∴平面平面， 又平面，∴平面. （2）连结， ∵是圆的直径，∴， 又为圆柱的母线，故､､两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 由条件，，，， ，，， ，， 设平面的法向量，则， 取，得， 显然平面的法向量， ∴， 故所求二面角的余弦值为. 【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 17. 前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表： 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望； （2）用函数对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考数据： 设 参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1）答案见解析，；（2）. 【解析】 【分析】(1)写出变量的取值，求出每种取值下的概率，从而列出分布列，即可求出期望. (2) 对两边取自然对数得，，从而结合已知公式可求出和，即可求出y关于x的回归方程. 【详解】解：（1）X的所有取值为0，1，2，由题意知， ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P ． （2）对两边取自然对数得：，设， ，， ， 又，． 点睛】关键点睛: 本题第二问的关键是，将已知指数式转化为对数式，结合所给公式进行求解. 18. 已知椭圆及直线． （1）若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围； （2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用，即可求得实数t的取值范围； （2）根据题意，把点到直线距离的最大值，转化为与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，由（1）可得直线或直线与椭圆相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆没有公共点，所以， 解得或，所以实数t的取值范围为. 【小问2详解】 解：由题意，点到直线距离的最大值， 等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离， 由（1）中，，解得或， 此时直线或直线与椭圆相切， 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）； 当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）， 综上可得，所求直线的方程为或. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，设． （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性； （2）（ⅰ）根据的单调性以及，可证结论成立； （ⅱ）构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数可证不等式成立. 【小问1详解】 由，，令，得或. 当时，由，得或，由，得. 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，由，得， 所以在上单调递增. 当时，由，得或，由，得. 所以在和上单调递增，在 上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 当时，在和上单调递增，在 上单调递减. 【小问2详解】 (i)当时，， 与的单调性相同， 由(1)知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以函数在区间内有唯一的零点. (ii)设，则， 由，得， 由，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以要证明当时，，即证， 只要证明，即证，即证， 因为，即， 所以只要证明，即证. 因为在上单调递增，所以只需证明. 因，所以只需证明. 因为，设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 【点睛】关键点点睛：构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数证明不等式成立是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$