第09讲 整式（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第09讲 整式（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 单项式 2 知识点02 多项式 3 知识点03 整式 3 剖题型·讲技巧 题型1 整式、单项式、多项式的辨析 4 题型2 求单项式的系数与次数 5 题型3 多项式项、常数项、次数判定与命名 5 题型4 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 6 题型5 实际与几何情境列整式 6 释疑惑·重难拓展 题型1 根据单项式次数求参数（高频填空题） 8 题型2 根据多项式次数、项数求参数（压轴小题） 9 题型3 单项式规律探究（期末培优题型） 9 知中考·真题探源 10 练好题·提分培优 10 课标要点 1. 理解整式的整体概念，清晰区分单项式、多项式，能够准确辨析整式与分式； 2. 熟练掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数，精准判定各类核心概念； 3. 能够结合实际情境、几何图形列出单项式与多项式，初步建立代数建模思维； 4. 培养符号意识与数学抽象能力，为后续整式加减、一元一次方程的学习筑牢基础。 重点：单项式、多项式、整式的定义；系数、次数、项、常数项的判定方法；利用整式表示实际数量关系。 难点：系数含负号、分数、π时的精准识别；多字母单项式次数计算、多项式最高次项判断；整式与分式的区分；根据整式特征求解字母参数（培优核心）。 知识点01 单项式 1. 定义 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数、单独一个字母也都是单项式。 ✅ 常见示例：、、、、 ❌ 非单项式：含加减运算的式子（）、分母含字母的式子（）、根号内含字母的式子。 2. 单项式的系数 单项式中的数字因数（包含符号）即为单项式的系数，核心易错规则： （1）仅含字母的单项式，系数为1或-1，书写时1可省略，负号不可省略。例：系数为1，系数为-1； （2）π是固定常数，不属于字母，的系数是； （3）分数系数仅看数字部分，符号随数字保留。例：系数为。 3. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，数字、π均不计入次数： （1）单独的常数（、）为零次单项式，次数为0； （2）单个字母（）默认指数为1，次数为1； （3）多字母单项式依次累加指数。例：次数为，是五次单项式。 练习 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点02 多项式 1. 定义 几个单项式的和叫做多项式。示例：、。 2. 多项式的项与常数项 多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，所有项必须自带前方符号；不含字母的项叫做常数项。 示例：共有3项，分别为、、，其中常数项为。 3. 多项式的次数与命名 多项式中次数最高的项的次数，即为多项式的次数（并非所有字母指数相加）。 命名规则：根据最高次数定“几次”，根据合并后项的个数定“几项”，合称“几次几项式”。 示例：，各项次数分别为3、3、0，最高次数为3，共3项，为三次三项式。 练习 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 整式 1. 定义 单项式和多项式统称为整式。 2. 整式判定核心标准 （1）分母中绝对不能含有字母；（2）根号内部不能含有字母；（3）仅包含加减、数与字母的乘法运算。 ✅ 整式：、、 ❌ 非整式（分式/根式）：、、 3.易混概念对比表 代数式类型 是否为整式 核心特征 单项式 是 仅为数与字母的积，无加减运算；单独数、字母也属于此类 多项式 是 多个单项式相加组成，式子含加减运算 否 分母含字母，属于分式 否 字母在根号内，属于无理式 练习 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 题型1 整式、单项式、多项式的辨析 方法技巧 第一步：看分母，含字母则直接判定非整式； 第二步：无字母分母，看式子是否含加减运算，无则为单项式，有则为多项式； 第三步：单独数字、单独字母直接判定为单项式。 【典例1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【变式1-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【变式1-3】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有 ；属于多项式的有 （填序号） 题型2 求单项式的系数与次数 方法技巧 1. 找系数：剥离式子中所有字母，剩余带符号的数字（含π、分数）即为系数； 2. 算次数：累加所有字母的指数，数字、π不参与计算，单个字母默认指数为1； 3. 避坑要点：切勿遗漏单个字母的隐藏指数1。 【典例2-1】（2026·广西南宁·三模）单项式的系数是________． 【典例2-2】单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【典例2-3】（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【变式2-1】）单项式的系数是________． 【变式2-2】（24-25七年级上·云南·阶段检测）单项式的系数是________． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 题型3 多项式项、常数项、次数判定与命名 方法技巧 1. 拆分多项式的项时，必须连带前方正负符号，不可遗漏负号； 2. 逐项计算每一项的次数，取最大值作为多项式的次数； 3. 统计项数时，必须包含常数项。 【典例3-1】（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【变式3-2】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-3】多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 题型4 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例4】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）将多项式，按x的升幂排列为_______． 题型5 实际与几何情境列整式 方法技巧 建模解题步骤 1. 梳理题干中的数量等量关系，提取核心数据； 2. 用字母表示题目中的未知量； 3. 根据运算关系，组合列出单项式或多项式。 常用几何公式 长方形面积、周长；圆面积。 【典例5-1】（25-26七年级上·广西崇左·周测）用多项式填空，并指出它们的项和次数： (1)某先进型号的计算机每台元，甲厂买了台，乙厂买了台，两厂一共花了 元； (2)某校合唱队男生和女生共人，其中男生有人，那么女生有 人． 【典例5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各题中的代数式．如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数． (1)目前，在地球上生存的动物约有150万种．其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种． (2)上图是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方形，上部是半圆形，它的面积是 ．若城墙上面的垛口都可看作长为a、宽为b的长方形，则5个垛口的面积和是 ． (3)一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为 ． 【变式5-1】如图，这是一个正方体和一个长方体的组合体． (1)请用代数式表示这个组合体的体积． (2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式，请写出它是几次几项式． 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 题型1 根据单项式次数求参数（高频填空题） 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）请写出一个含字母和，系数为，次数为的单项式：_________． 2．（25-26七年级上·江西赣州·期末）写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 3．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 4．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 题型2 根据多项式次数、项数求参数（压轴小题） 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 8．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 题型3 单项式规律探究（期末培优题型） 9．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河南三门峡·二模）观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 11．（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 12．（2026·江西上饶·二模）观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 13．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 一、单选题 1．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 5．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为______． 6．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 7．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 3．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 5．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）单项式的系数是_________，次数是_________． 8．（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 10．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 12．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 13．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 14．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 15．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 16．（25-26七年级上·河南·期末）在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 整式（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 单项式 2 知识点02 多项式 3 知识点03 整式 3 剖题型·讲技巧 题型1 整式、单项式、多项式的辨析 5 题型2 求单项式的系数与次数 6 题型3 多项式项、常数项、次数判定与命名 8 题型4 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 9 题型5 实际与几何情境列整式 10 释疑惑·重难拓展 题型1 根据单项式次数求参数（高频填空题） 13 题型2 根据多项式次数、项数求参数（压轴小题） 14 题型3 单项式规律探究（期末培优题型） 15 知中考·真题探源 18 练好题·提分培优 20 课标要点 1. 理解整式的整体概念，清晰区分单项式、多项式，能够准确辨析整式与分式； 2. 熟练掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数，精准判定各类核心概念； 3. 能够结合实际情境、几何图形列出单项式与多项式，初步建立代数建模思维； 4. 培养符号意识与数学抽象能力，为后续整式加减、一元一次方程的学习筑牢基础。 重点：单项式、多项式、整式的定义；系数、次数、项、常数项的判定方法；利用整式表示实际数量关系。 难点：系数含负号、分数、π时的精准识别；多字母单项式次数计算、多项式最高次项判断；整式与分式的区分；根据整式特征求解字母参数（培优核心）。 知识点01 单项式 1. 定义 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数、单独一个字母也都是单项式。 ✅ 常见示例：、、、、 ❌ 非单项式：含加减运算的式子（）、分母含字母的式子（）、根号内含字母的式子。 2. 单项式的系数 单项式中的数字因数（包含符号）即为单项式的系数，核心易错规则： （1）仅含字母的单项式，系数为1或-1，书写时1可省略，负号不可省略。例：系数为1，系数为-1； （2）π是固定常数，不属于字母，的系数是； （3）分数系数仅看数字部分，符号随数字保留。例：系数为。 3. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数，数字、π均不计入次数： （1）单独的常数（、）为零次单项式，次数为0； （2）单个字母（）默认指数为1，次数为1； （3）多字母单项式依次累加指数。例：次数为，是五次单项式。 练习 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 知识点02 多项式 1. 定义 几个单项式的和叫做多项式。示例：、。 2. 多项式的项与常数项 多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，所有项必须自带前方符号；不含字母的项叫做常数项。 示例：共有3项，分别为、、，其中常数项为。 3. 多项式的次数与命名 多项式中次数最高的项的次数，即为多项式的次数（并非所有字母指数相加）。 命名规则：根据最高次数定“几次”，根据合并后项的个数定“几项”，合称“几次几项式”。 示例：，各项次数分别为3、3、0，最高次数为3，共3项，为三次三项式。 练习 2．（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 知识点03 整式 1. 定义 单项式和多项式统称为整式。 2. 整式判定核心标准 （1）分母中绝对不能含有字母；（2）根号内部不能含有字母；（3）仅包含加减、数与字母的乘法运算。 ✅ 整式：、、 ❌ 非整式（分式/根式）：、、 3.易混概念对比表 代数式类型 是否为整式 核心特征 单项式 是 仅为数与字母的积，无加减运算；单独数、字母也属于此类 多项式 是 多个单项式相加组成，式子含加减运算 否 分母含字母，属于分式 否 字母在根号内，属于无理式 练习 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 题型1 整式、单项式、多项式的辨析 方法技巧 第一步：看分母，含字母则直接判定非整式； 第二步：无字母分母，看式子是否含加减运算，无则为单项式，有则为多项式； 第三步：单独数字、单独字母直接判定为单项式。 【典例1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 【变式1-3】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有 ；属于多项式的有 （填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 题型2 求单项式的系数与次数 方法技巧 1. 找系数：剥离式子中所有字母，剩余带符号的数字（含π、分数）即为系数； 2. 算次数：累加所有字母的指数，数字、π不参与计算，单个字母默认指数为1； 3. 避坑要点：切勿遗漏单个字母的隐藏指数1。 【典例2-1】（2026·广西南宁·三模）单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数， ∴单项式的系数为． 【典例2-2】单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 【典例2-3】（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 【变式2-1】）单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 【变式2-2】（24-25七年级上·云南·阶段检测）单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：单项式的系数是． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 题型3 多项式项、常数项、次数判定与命名 方法技巧 1. 拆分多项式的项时，必须连带前方正负符号，不可遗漏负号； 2. 逐项计算每一项的次数，取最大值作为多项式的次数； 3. 统计项数时，必须包含常数项。 【典例3-1】（2026·福建三明·三模）多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 【典例3-2】在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 最高次数为2，共2项，是二次二项式，不符合要求； B、 最高次数为2，共3项，是二次三项式，不符合要求； C、 最高次数为3，共2项，是三次二项式，符合要求； D、 最高次数为3，共3项，是三次三项式，不符合要求. 【变式3-1】多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 【变式3-2】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的一次项是. 【变式3-3】多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 题型4 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例4】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式4-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D． 【变式4-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 【变式4-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）将多项式，按x的升幂排列为_______． 【答案】 【详解】解：多项式 中，各项的指数分别为：常数项中x的指数是0，一次项中x的指数是1，二次项中x的指数是2，三次项中x的指数是3．按x的升幂排列，指数从低到高为0，1，2，3， 因此按x的升幂排列为． 故答案为． 题型5 实际与几何情境列整式 方法技巧 建模解题步骤 1. 梳理题干中的数量等量关系，提取核心数据； 2. 用字母表示题目中的未知量； 3. 根据运算关系，组合列出单项式或多项式。 常用几何公式 长方形面积、周长；圆面积。 【典例5-1】（25-26七年级上·广西崇左·周测）用多项式填空，并指出它们的项和次数： (1)某先进型号的计算机每台元，甲厂买了台，乙厂买了台，两厂一共花了 元； (2)某校合唱队男生和女生共人，其中男生有人，那么女生有 人． 【详解】（1）解：根据题意，可知甲厂花了元，乙厂花了元， 则两厂一共花了元， 该多项式的项为，，次数为． 答：． （2）解：根据题意，女生有人， 该多项式的项为，，次数为． 答：． 【典例5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各题中的代数式．如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数． (1)目前，在地球上生存的动物约有150万种．其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种． (2)上图是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方形，上部是半圆形，它的面积是 ．若城墙上面的垛口都可看作长为a、宽为b的长方形，则5个垛口的面积和是 ． (3)一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为 ． 【详解】（1）解：根据题意得：脊椎动物约有万种， 是多项式，项分别为：150，；次数为1次； （2）解：根据题意得：门洞的面积为：， 5个垛口的面积和是：， 是多项式，项分别为：；次数为2次； 是单项式，系数为5，次数为2次； （3）解：根据题意得：这个三位数可表示为：， 为多项式，项分别为：，次数为1次． 【变式5-1】如图，这是一个正方体和一个长方体的组合体． (1)请用代数式表示这个组合体的体积． (2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式，请写出它是几次几项式． 【详解】（1）解：上面正方体的体积为：，下面长方体的体积为：， ∴这个组合体的体积为：； （2）这个代数式是多项式，次数为3次，有两项， ∴是三次二项式． 【变式5-2】（2025七年级上·全国·专题练习）用整式填空并判断它们是单项式还是多项式，是单项式的指出它们的系数和次数，是多项式的指出它们的项和次数． (1)“的倍与的立方的和”为______． (2)某商店经销某个品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将其进价提高后作为售价销售，一段时间后，商店又按售价的八折销售，此时该型号空气炸锅的售价为每台______元． (3)古人应“天圆地方”之说，往往将钱币铸造成“外圆内方”的形状，如图是一枚清代的“乾隆通宝”的正面，其外围圆的直径为，内部正方形的边长为，则该钱币正面的面积为______． 【详解】（1）解：“的倍与的立方的和”为 为多项式，它的项分别是，，次数是． （2）解：根据题意可得，该型号空气炸锅的售价为每台（元）， 为单项式，它的系数是，次数是． （3）解：该钱币正面的面积为， 为多项式，它的项分别是，，次数是． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 【详解】（1）解：由题意，相同用量的传统制冷剂的碳排放量为； 故答案为：，系数为3985，次数为1； （2）售出n件这种商品共获利元； 故答案为：，系数为1，次数为2； （3）这个集雨斗的容积为； 故答案为：，系数为，次数为3． 题型1 根据单项式次数求参数（高频填空题） 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）请写出一个含字母和，系数为，次数为的单项式：_________． 【答案】 【详解】解：单项式由数字因数和字母因数组成，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和．本题要求单项式含字母和，系数为，次数为． 因此，数字部分为，字母部分和的指数均为正整数，且指数之和为． 例如，当的指数为，的指数为时，次数为，乘以系数得到单项式． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26七年级上·江西赣州·期末）写出一个系数是2026，且只含有，两个字母的三次单项式___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数之和，要求三次单项式，即和的指数和为3，如， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 4．（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 题型2 根据多项式次数、项数求参数（压轴小题） 5．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 8．（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 题型3 单项式规律探究（期末培优题型） 9．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 10．（2026·河南三门峡·二模）观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 【答案】 【解题思路】解：观察式子，，，，，，……， 可以发现系数是，……，指数是，……， 可知，从第三个式子开始，后边的每个系数是它前面相邻两个系数的和，指数和式子的序号相同， 即系数是，……，指数是序号， 第个式子的指数是， 后面的式子是． 11．（2026·河南平顶山·三模）观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 12．（2026·江西上饶·二模）观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 【答案】 【详解】解：观察已知单项式可得： 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； ； 由此可得第个式子为； 将代入得， ∴第个式子是． 13．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 一、单选题 1．（2021·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、是多项式，此项不符题意； B、是二次单项式，此项符合题意； C、是三次单项式，此项不符题意； D、是一次单项式，此项不符题意； 故选：B． 2．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】C 【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意； B、a是单项式，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项符合题意； D、是单项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 二、填空题 4．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 【答案】 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 5．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为______． 【答案】 【详解】解：单项式的系数是． 故答案是：． 6．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 7．（2026·四川达州·中考真题）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 3．（2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 二、填空题 6．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）单项式的系数是_________，次数是_________． 【答案】 【详解】解：根据单项式的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数. 单项式的数字因数为，因此系数为. 所有字母的指数和为，因此次数为. 8．（2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 9．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 10．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东烟台·期末）若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【答案】 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项和一次项， ∴二次项的系数，一次项的系数． 解得，． ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 13．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 14．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 15．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 16．（25-26七年级上·河南·期末）在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：___________； (2)直接用字母表示第n个等式的结果为：___________； (3)郑州地铁1号线的数轴上，点A表示“郑州火车站”，其数为多项式的一次项系数，点B表示“二七广场站”，其数为该多项式的常数项．地铁巡检机器人P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当地铁巡检机器人P按此规律移动次时，求的值． 【详解】（1）解：由题意得，第8个等式为； （2）解：由题意得，第个等式为； 故答案为：； （3）解：多项式的一次项系数是，常数项是， 点表示的数是，点表示的数是， 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； ， 根据点移动的规律可知，点第次移动后表示的数为：； 当时，点移动后表示的数为， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $