暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间距离计算，以几何法为核心，通过多样化几何体（正方体、三棱柱等）的典例与变式，构建点面距离到线面距离的转化逻辑，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求点到平面距离|3例+3变式|结合面面垂直、线面平行证明，需构造垂线段；涵盖正方体、五面体等几何体|基于点面距离定义，通过作高、等体积法等转化，为线面距离奠定基础| |几何法求直线到平面距离|2例+2变式|先证线面平行，再转化为线上点到平面距离；涉及正三棱柱、直四棱柱等|以点面距离为基础，利用线面平行性质实现距离转化，体现空间问题平面化思维|

暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 考点目录 几何法求点到平面距离 几何法求直线到平面距离 考点一 几何法求点到平面距离 例1．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图，正方体的棱长为，点为的中点. (1)求平面与平面的夹角的余弦值; (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知平面与平面的夹角的平面角为，求出、的长，即可求出的余弦值，即为所求； （2）求出三棱锥的体积以及的面积，结合等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 故平面与平面的夹角的平面角为， 易知，所以， 因为平面，平面，所以， 故，所以. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. （2）因为，平面， 故， 由（1）知，且，故， 设点到平面的距离为，则， 因此，点到平面的距离为. 例2．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. (2)证明：因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （3）利用体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图： 设点到平面的距离为. 则. 又. 在中，，，,所以. 所以. 例3．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为且为的中点，所以, 因为，所以四边形BCDM是平行四边形，则, 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE, 同理可得平面CDE， 又因为,平面BMF，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面内的两条相交直线分别平行于平面，然后根据平面与平面平行的判定定理进行证明； （2）过点A作交BF于点G，利用三角形全等证明或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角，等面积法求出AG，再利用余弦定理求出，即可求出； （3）取AM的中点为H，连接BH、FH，首先证明平面ABM，然后利用等体积法求点M到平面ABF的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面与平面所成角即为平面与平面BMF所成角，过点A作交BF于点G，连接MG， 易知，所以，则或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则, 因为，解得， 在中，由余弦定理得, 所以平面与平面所成角的正弦值为. （3）取AM的中点为H，连接BH、FH， 因为△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形，所以， 所以,， 因为，所以，， 因为，，，平面ABM， 所以平面ABM， 设点到平面的距离为h， ， 所以点到平面的距离为. 变式1．（24-25高一下·甘肃天水·期末）一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据二面角为直二面角，得到平面平面，然后根据面面垂直的性质定理证明结论即可. （2）取的中点为，连接，先证明平面，然后利用等体积法求解点到平面的距离 【详解】（1）因为二面角是直二面角，所以平面平面， 平面平面，又因为在中，， 又平面，所以平面. （2） 记点到平面的距离为，取的中点为，连接， 因为，所以.同（1）可得平面， 由（1）平面，平面得，，即为直角三角形. 又因为和是直角三角形，， ，则，，. 所以 而， 又，解得. 变式2．（25-26高一下·江苏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】(1) 取的中点，连结，    因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【详解】（1）略 （2）作于，由（1）知平面即为平面，    因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面， 所以即为点到平面的距离. 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 变式3．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点D是棱中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明线面垂直即垂直于平面内的两条相交直线，再证根据面面垂直的判定证明即可. （2）找的中位线即，证明，再根据线面平行的判定证明即可. （3）利用等体积求解即可. 【详解】（1）由题意 ∴为等腰直角三角形， 在三棱柱中，侧面，均为正方形， 易知：为等腰直角三角形， 又D是棱的中点，则， 由平面，平面，则，而，且、平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面； （2）设O是，的交点，又为正方形，则O为的中点， ∴在中，， 又平面，平面，∴平面； （3）由（1）知： ，而，则，又， ∴， 由，则， 又，若到平面的距离为d， ∴，可得. 考点二 几何法求直线到平面距离 例1．（25-26高三下·江西赣州·阶段检测）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)证明：因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 例2．（25-26高一下·重庆荣昌·阶段检测）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线到平面的距离为． 【分析】（1）连接，证明，进而得到平面； （2）易证明平面，点到平面的距离即直线到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）如图，连接交与点，，则是的中点， 因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为， 又因为，，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 变式1．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，直四棱柱中，底面为矩形，且 (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得直四棱柱是长方体，则 平面，所以 即为直线与平面所成的角，然后在中求解即可； （2）由长方体的性质可得，，所以得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （3）由长方体的性质可得∥，则∥平面，所以点B到平面的距离即为直线到平面的距离，然后利用等体积法可求得结果. 【详解】（1）因为在直四棱柱中，底面为矩形， 所以直四棱柱是长方体， 即在长方体中， 平面, 即 平面，则 即为直线与平面所成的角， 因为， 所以在中，，，故 即直线与平面所成的角为 （2）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中， 平面， 因为，平面，所以，， 又平面，平面， 由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角， 因为，所以在中， ，， 故，则 ， 即二面角的余弦值为； （3）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中， 由于∥ ，故四边形是平行四边形， 故∥， 而平面，平面， 故∥平面， 则点B到平面的距离即为直线到平面的距离， 而 ， 故 , 设点B到平面的距离为h，则，即 , 则 ，即直线到平面的距离为. 变式2．（25-26高一下·重庆巫山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F. (1)求证：平面； (2)求直线到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，得，根据线面平行的判定可得平面； （2）根据线面平行，将线到面的距离化为点到面的距离，再根据等体积法可求出结果. 【详解】（1）连接BD交AC于O，连接FO， ∵F为AD的中点，O为BD的中点，则， ∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF. （2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD. 由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离. 又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等. 取AD的中点E，连接EF，CE， 则，因为平面ABCD，所以平面ABCD， 因为平面，所以， 因为菱形且，， 所以，， 则，，，， 设点D到平面ACF的距离为，由得 即直线PB到平面ACF的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 考点目录 几何法求点到平面距离 几何法求直线到平面距离 ABCD-ABC D .BB 例1.(2425高一下广东深圳期末)如图，正方体 的棱长为2，点E为88的中点 考点一 几何法求点到平面距离 A B C E C ADD A ADE (1)求平面 与平面 的夹角的余弦值； (2)求点B到平面 ADE 的距离 例2.(2425高一下辽宁辽阳·期末)如图，在正三棱柱 BC-ABC中，D,E分别为18，B 分别为 的中点， AB=2,A4=22 A B D B CD⊥AE (1)证明： 1 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 ACE⊥ CDE (2)证明：平面 平面； CDE (3)求点到平面的距离 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 例3.(2425高一下贵州铜仁期末)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形 ADEF 均为等腰梯形， BC1AD,EF1/HDAD=4AB=BC=EF=2,ED=V万，FB=3,M为4D的中点. B (I)证明：平面BMF/1平面CDE; (2)求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值： (3)求点M到平面ABF的距离. 变式1.(2425高一下甘肃天水·期末)一副三角板如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A-BC-D BC=2/3 为直二面角， B (I)求证：CD⊥平面ABC: (2)求点B到平面ACD的距离. 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 变式2.(25-26高一下·江苏期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2AB=4,G 为PD中点，点E,F在线段BC上，BE=CF=1 B E C (1)证明：FG/1平面PAE: (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=2,AE⊥BC,求点A到平面EFG的距离. ABC-ABC中，侧面 BCC B ABBA 变式3.(25-26高一下·天津武清·阶段检测)如图，在直三棱 均为正方 形.B=BC=,∠ABC=90,点D是楼4G中点. A B AB,D⊥ACCA (1)求证：平面 平面 BC//ABD (2)求证： 平面 ABD (3)求点到平面 的距离. 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 考点二 几何法求直线到平面距离 BC-4B,C中，点D是8C的中点， AB=AA=4 例1.(25-26高三下·江西赣州阶段检测)如图，在正三棱柱 A B B AB∥ADC (1)求证： 平面 ADC⊥BCCB, (2)求证：平面 平面 (⑧倒求直线48到平面0C ADC 的距离. 例2.(25-26高一下·重庆荣昌阶段检测)在棱长为2的正方体 BCD-AB,CD中，B,R,M,N分别为BD, ABDD.AD中点 B D N A D (1)求证： EF∥平面 ADD 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 MNC 2)求直线EF到平面MC 的距离. 暑假培优：几何法求点到平面距离、几何法求直线到平面距离专项训练 ABCD-ABCD ABCD 变式1.(25-26高一下·新疆鸟鲁木齐阶段检测)如图，直四棱柱 中，底面 为矩形，且 AD=AA=AB=1 2 D A B ①求直线BC与平面 CCD 所成的角的大小： B-DC-A (2)求二面角 的余弦值： ACD 求直线8C到平面 的距离。 变式2.(25-26高一下·重庆巫山~阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平 面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,PA=AB=2,PD的中点为F (I)求证：PB/平面ACF； (2)求直线PB到面ACF的距离 个