第03讲：空间向量基本定理（6大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲：空间向量基本定理 【考点归纳】 · 考点一、空间的基底 · 考点二：用空间基底表示向量 · 考点三、空间向量基本定理 · 考点四、求夹角、证明垂直问题 · 考点五、求距离(长度)问题 · 考点六、证明平行、共面问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 3．（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 题型二：用空间基底表示向量 4．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 题型三、空间向量基本定理 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 8．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型四、求夹角、证明垂直问题 10．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：． 11．（23-24高二上·广东茂名·期中）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点.    (1)求； (2)求直线GE，GF夹角的余弦值. 12．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 题型五、求距离(长度)问题 13．（23-24高二上·北京朝阳）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求；(2)求的长． 14．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. (1)以为基底表示； (2)若，求的值. 15．（22-23高二·全国·课堂例题）如图（1），在中，，CD为的平分线，，，过点B作于点N，延长后交于点E，把图形沿CD折起，使，如图（2）所示，求折起后所得线段的长度．    题型六、证明平行、共面问题 16．（23-24高二上·河北张家口）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 17．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．    (1)用表示； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面 18．（23-24高二上·贵州）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且.    (1)证明四点共面； (2)若与相交与点，求点到直线的距离. 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 20．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 22．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·福建福州·期末）已知三棱锥，点是棱的中点，点是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 25．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 26．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（    ）    A．2 B． C． D． 二、多选题 27．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 30．（23-24高二上·广东肇庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（    ） A．∥平面 B．三棱锥与三棱锥的体积之比为 C．∥ D．A，E，G，F四点共面 31．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，，以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 三、填空题 32．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    33．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 34．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 35．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 36．（23-24高二上·安徽·期末）在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，，均为单位向量，且，则 ． 四、解答题 37．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 38．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 39．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1) 求证：共面；(2)当为何值时，；(3)若，且，求的长. 40．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且． (1)以为基底，表示； (2)，，求． 41．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 42．（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.    (1)试用表示向量； (2)若，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：空间向量基本定理 【考点归纳】 · 考点一、空间的基底 · 考点二：用空间基底表示向量 · 考点三、空间向量基本定理 · 考点四、求夹角、证明垂直问题 · 考点五、求距离(长度)问题 · 考点六、证明平行、共面问题 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】空间的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判断选项中的三个向量是否共面，只需判断能否找到唯一的实数，使其中一个向量能用另外两个向量线性表出即可. 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 2．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 3．（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 题型二：用空间基底表示向量 4．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 5．（23-24高二上·广东·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 6．（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取的中点，连接，，    因为是的中点，， 所以. 故选：A 题型三、空间向量基本定理 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 8．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用表示，对比系数即可. 【详解】因为 ， 所以，故. 故选：A. 题型四、求夹角、证明垂直问题 10．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    11．（23-24高二上·广东茂名·期中）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点.    (1)求； (2)求直线GE，GF夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得； （2）利用向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1）. 因为四面体的所有棱长都等于1，所以， 所以. . ∴ （2）   ， ， 所以，GE，GF夹角的余弦值为. 12．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 题型五、求距离(长度)问题 13．（23-24高二上·北京朝阳）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量公式计算得到答案. （2）确定，，确定，计算得到答案. 【详解】（1） （2）， ， ， 则 ，故. 14．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若. (1)以为基底表示； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）（1） （2） ，所以. 15．（22-23高二·全国·课堂例题）如图（1），在中，，CD为的平分线，，，过点B作于点N，延长后交于点E，把图形沿CD折起，使，如图（2）所示，求折起后所得线段的长度．    【答案】 【分析】过点A作交CD的延长线于点M，解三角形求得相关线段的长，求出，利用空间向量运算得，平方后可求得答案. 【详解】如图，过点A作交CD的延长线于点M，    由题意可知， 则， ， ∴． ，，且， 由于，，且平面，故， ∴． ∵，∴．同理． ∵， ∴ ， ∴，即折起后所得线段AB的长度为. 题型六、证明平行、共面问题 16．（23-24高二上·河北张家口）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算即可求解. （2）待定系数并结合向量线性运算即可证明向量，，共面，从而得证. 【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， . （2）因为，所以， 因为，所以， 设，所以由（1）可知， 解得，，， 向量，，共面，又平面， 所以平面. 17．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．    (1)用表示； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面 【答案】(1)， (2)证明过程见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理进行求解即可； （2）根据空间向量共面定理进行证明即可. 【详解】（1）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 所以， ； （2）因为E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 所以，，所以， 所以E，F，G，H四点共面. 18．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且.    (1)证明四点共面； (2)若与相交与点，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间的一组基底表示，根据的关系分析判断； （2）根据空间向量的数量积运算，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设，以为空间的一组基底， 则，， 所以，即且∥，从而四边形是平行四边形， 所以四点共面. （2）由题意可知：， 由（1）可知，四边形是平行四边形，所以是的中点 则， 可得， 而， 则点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为. 【专项训练】 一、单选题 19．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】对于（1），A，B，C，D是空间任意四点， 则成立，（1）正确； 对于（2），若两个非零向量与满足，即， 则，（2）正确； 对于（3），因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，（3）错误； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， 若xyz（x，y，）， 当且仅当时成立，则P，A，B，C四点共面，（4）正确， 所以正确命题的个数是3个． 故选：A 20．（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为为与的交点， 则 故选：C. 21．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 22．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 23．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 24．（23-24高二上·福建福州·期末）已知三棱锥，点是棱的中点，点是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的性质及空间向量的线性运算计算即可. 【详解】   取的中点，连接, 因为点是的重心，所以, 所以 故选：A. 25．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出，计算即可. 【详解】底面为菱形，， , 为棱的中点, ， 解得. 故选: A. 26．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理，利用一组基底表示所求向量，结合垂直向量建立方程，可得答案. 【详解】因为为线段上的动点，所以可设， 所以 . 因为，且， 所以. 因为， 所以. 因为， 所以， 所以，即点与点重合，所以. 故选：A. 二、多选题 27．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到. 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 28．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量基底的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； B：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底； C：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； D：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底， 故选：AC 29．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A；对于B，将与的位置关系转化为与的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C；通过分析得到，即可判断D. 【详解】对于A，因为分别是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由A可得，，因为分别是的中点，所以. 由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误； 对于C， ,故C正确； 对于D，因为是的中点，所以. 又因为是的中点，所以， 所以, 所以为的中点，故D正确. 故选:ACD. 30．（23-24高二上·广东肇庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（    ） A．∥平面 B．三棱锥与三棱锥的体积之比为 C．∥ D．A，E，G，F四点共面 【答案】ABD 【分析】A项，通过证明∥即可得出结论；B项，求出的面积关系和点到底面的高之间的关系，即可求出体积之比；C项，通过证明两向量不平行，即可得出结论；D项，通过求解三向量之间的关系。即可得出结论. 【详解】由题意， A项，在中，，分别是，的中点, ∴∥, ∵面，面， ∴∥平面，A正确； B项，在三棱锥中，设点到的距离为， ， 在三棱锥中，设点到的距离为， ∵，，分别是，的中点, ∴,, ， ∴,故B正确， 对C项，, , ∴与不平行，与不平行，C错误； D项，由几何知识得，， , ∴即， ∴三向量共面，即A，E，G，F四点共面，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，等体积法，线线平行的判定，向量法证明四点共面，考查学生分析和处理问题的能力，具有很强的综合性. 31．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，，以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由中位线得，结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证；对于BC，直接由图形的性质分解向量即可；对于D由B中结论变形为，由四点共面的充要条件即可判断. 【详解】对于A，若，即分别为的中点，又点为的中点， 所以， 又面，面， 所以面，同理可证面， 又面， 所以平面∥平面，故A正确； 对于BCD，如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 因为， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 32．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 33．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 34．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 35．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 【答案】 【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解. 【详解】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 36．（23-24高二上·安徽·期末）在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，，均为单位向量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意将向量分解为已知向量的线性组合，结合模长、数量积的运算公式即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题 37．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 38．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 39．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 40．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且． (1)以为基底，表示； (2)，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，结合图形利用空间向量线性运算法则求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积的性质及定义求解. 【详解】（1） ， （2）由（1）得 41．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模和数量积的运算律即可得解； （2）先将用表示，根据，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）， 因为， 所以， 则 ， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 42．（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.    (1)试用表示向量； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示； （2）利用向量的数量积运算求解向量的模. 【详解】（1） ， 又，，， ∴． （2）因为，． ，．， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$