暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 暑假预习空间向量基本定理专项训练，聚焦基底概念、向量表示及定理应用三大考点，通过分层例题与变式题构建从概念到应用的逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基底概念|2例2变式|判断基底/共面（选择）|概念辨析→共面判定| |基底表示向量|4例4变式|几何关系下向量分解（选择/填空/解答）|基底表示→几何分解| |定理应用|6例6变式|长度计算与交点问题（综合解答）|定理应用→综合运算|

暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点专项训练 暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点专项训练 考点目录 空间向量基底概念 用空间基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 考点一 空间向量基底概念 例1．（2026·广东广州·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 例2．（25-26高二上·广东惠州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】以长方体为例，令，数形结合判断各项对应向量是否共面即可. 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，，    A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 故选：D 变式2．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 考点二 用空间基底表示向量 例1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 例2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 例3．（25-26高二上·河北·期中）在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为__________.    【答案】 【分析】设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解. 【详解】设， 因为，，， 点P是平面FAB内一点，则，且， 点P是平面DBC内一点，则，且， 点P是平面EAC内一点，则，且， 联立，解得，所以. 故答案为: . 例4．（25-26高二上·山西·期中）在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是，，的中点，用向量，，可表示为_____. 【答案】 【分析】以为基底，根据题意结合空间向量的线性运算求，进而可得. 【详解】由题意可知：， 且，    所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】如图，连接，    ∵N是的中点，， ，， ． 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 变式3．（25-26高二上·江西·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 【答案】1 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点， 所以， 则. 故答案为：1 变式4．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理和图形的几何关系求解即可. 【详解】由题意，由于平行六面体中，， 所以. 故答案为：. 考点三 空间向量基本定理及其应用 例1．（25-26高二下·湖南·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 例2．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 例3．（25-26高二下·上海·期末）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量基本定理得到和，根据数量积运算法则进行求解， 【详解】为的中点，故， 又， 所以 . 故答案为：1. 例5．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 例6．（25-26高二上·河北唐山·月考）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)，. (2)2 【分析】（1）根据三角形法则与平行四边形法则分别表示出向量即可； （2）结合（1）的结论利用向量数量积以及向量运算律计算即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， . （2）由题意易知， 所以， ， 则 . 变式1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 变式2．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算求解即可. 【详解】易知，设中点为， 则， 所以， 故选：D. 变式3．（25-26高二上·福建福州·月考）在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 变式4．（25-26高二上·广西柳州·月考）在平行六面体中，．若，则___________． 【答案】3 【分析】利用空间向量的运算表示出，根据长度和角求出，再利用向量模长公式可求答案. 【详解】在平行六面体中， 因为， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 整理可得，解得或（舍）. . 所以. 故答案为：3    变式5．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 变式6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为. 由（1）知 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点专项训练 暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点专项训练 考点目录 空间向量基底概念 用空间基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 考点一 空间向量基底概念 例1．（2026·广东广州·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（25-26高二上·广东惠州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 考点二 用空间基底表示向量 例1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 例3．（25-26高二上·河北·期中）在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为__________.    例4．（25-26高二上·山西·期中）在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是，，的中点，用向量，，可表示为_____. 变式1．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江西·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 变式4．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 考点三 空间向量基本定理及其应用 例1．（25-26高二下·湖南·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 例2．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·上海·期末）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 例4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 例5．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 例6．（25-26高二上·河北唐山·月考）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 变式1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·福建福州·月考）在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 变式4．（25-26高二上·广西柳州·月考）在平行六面体中，．若，则___________． 变式5．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 变式6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $