第05讲 空间向量基本定理 （四大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第05讲 空间向量基本定理 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【典例例题】 题型一：基底的判断 【典例1-1】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【典例1-2】（2024·高二·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 【典例2-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 【典例3-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例4-1】（2024·高三·甘肃武威·单元测试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式4-1】（2024·高二·江苏·课后作业）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 【变式4-3】（2024·高二·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式4-4】（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥 的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【变式4-5】（2024·高一·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【过关测试】 1．（2024·高二·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（2024·高二·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 4．（2024·高二·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·高二·江苏·开学考试）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（　　） A．++ B．+ C．++ D．+ 6．（2024·高二·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·河南·阶段练习）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·高二·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·广东广州·期中）在四面体OABC中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 13．（2024·高二·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2024·高二·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 15．（多选题）（2024·高二·江苏南京·期末）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 16．（多选题）（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）（2024·高二·浙江·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 18．（多选题）（2024·高二·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 19．（2024·高二·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 20．（2024·高二·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 21．（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 22．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 23．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 24．（2024·高二·江苏·专题练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，求的值. 25．（2024·高二·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 26．（2024·高二·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 27．（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 28．（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 29．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 30．（2024·高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 31．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示平行六面体中，设，试用基底表示向量． 32．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在正四面体中，点是面的中心．    (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点； (2)把也分别表示为这两组向量的线性组合． 33．（2024·高二·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 34．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 35．（2024·高二·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 36．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 37．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1， ∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求： (1)的值. (2)线段AC1 的长 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间向量基本定理 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【典例例题】 题型一：基底的判断 【典例1-1】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 【典例1-2】（2024·高二·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 又， 显然A，B，C三个选项中的向量都与共面， 而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的． 故选：D． 【变式1-2】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误. 故选：A 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知， 由向量共面定理，知共面，同时及共面，易得选项A、B、D错误； 因为不共面，结合上面的结论，所以不共面，故可作为空间的一个基底. 故选：C． 题型二：基底的运用 【典例2-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得 . 故选：C 【典例2-2】（2024·高一·天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：D 【变式2-1】（2024·高二·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连，， 可得 . 故选：A. 【变式2-2】（2024·高一·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，重心为点，棱的中点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，，由底面为正三角形， 知过点，且. 于是， 故选：D. 【变式2-3】（2024·高二·安徽淮北·开学考试）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 题型三：正交分解 【典例3-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 【变式3-1】（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式3-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 【变式3-3】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例4-1】（2024·高三·甘肃武威·单元测试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【解析】（1） （2） ，所以，则BM的长为. 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）； （2）因为点E，F分别为AB，AD的中点， 所以，且，所以， 所以； （3） ； （4）因为点F，G分别为AD，DC的中点， 所以，且，所以， 所以； （5）因为，， 所以 . 【变式4-1】（2024·高二·江苏·课后作业）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 【解析】（1） ． ． （2），． 又，． 从而有． ，． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 【解析】（1） （2） ， 、、. 【变式4-3】（2024·高二·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 【变式4-4】（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥 的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【解析】（1）. （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以， 又因为，所以 【变式4-5】（2024·高一·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 【过关测试】 1．（2024·高二·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是； 假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得， 即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面， 所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错. 故选：C 2．（2024·高二·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 3．（2024·高二·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B 4．（2024·高二·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】， 所以，故． 故选：C. 5．（2024·高二·江苏·开学考试）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（　　） A．++ B．+ C．++ D．+ 【答案】B 【解析】如图所示， ∵＝+， 又＝，＝－，＝， ∴＝+， 故选：B． 6．（2024·高二·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，因为分别是的中点，，又， 所以， 得到， 故选：A. 7．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意 . 故选：A. 8．（2024·高二·河南·阶段练习）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 9．（2024·高二·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 10．（2024·高二·广东广州·期中）在四面体OABC中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C 11．（2024·高二·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．不妨设向量，，； 则向量，，． 设， 即， ∴解得 即在，，下的坐标为． 故选：C． 12．（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】A 【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：， 则， 所以向量在下的坐标为：， 所以模长为，故A项正确. 故选：A. 13．（2024·高二·湖北襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 14．（多选题）（2024·高二·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【解析】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 15．（多选题）（2024·高二·江苏南京·期末）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 【答案】ABD 【解析】对于A，根据射影概念，知道，，若，， 则面，面，则成立，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误． 对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底， 则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确． 故选：ABD. 16．（多选题）（2024·高二·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 17．（多选题）（2024·高二·浙江·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 18．（多选题）（2024·高二·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 【答案】ACD 【解析】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 19．（2024·高二·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【答案】 【解析】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 20．（2024·高二·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 21．（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 22．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【解析】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 23．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 24．（2024·高二·江苏·专题练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，求的值. 【解析】若，，，四点共面，则存在实数，，使得， 即， 又，，是三个不共面的向量， 所以，解得， 所以. 25．（2024·高二·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 26．（2024·高二·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【解析】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 27．（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【解析】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 28．（2024·高二·北京朝阳·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．      (1)求； (2)求的长． 【解析】（1） （2）， ， ， 则 ，故. 29．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 30．（2024·高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【解析】如图所示： 不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 31．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示平行六面体中，设，试用基底表示向量． 【解析】因为多面体是平行六面体， 所以， ， ， . 32．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在正四面体中，点是面的中心．    (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点； (2)把也分别表示为这两组向量的线性组合． 【解析】（1）第一组向量可选，与，则， ，． 第二组向量可选，与，则，，． （2） 如图取点为的中点， 由三角形的性质可知：点在上，且， 所以， 分别代入（1）的结果，化简得 与． 33．（2024·高二·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【解析】（1）由，， 而，则， 所以，，，四点共面； （2）若共面，则，即， 所以，则，可得， 所以，故不能作为基底. 34．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【解析】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 35．（2024·高二·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. (1)求证EG⊥AB； (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接DE， 因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点， 所以， 故， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）由题意得：均为等边三角形且边长为1， 所以 ，， 所以 ， 设异面直线AG和CE所成角为， 则 36．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 【解析】（1）∵是平行六面体， ∴ （2）∵ ， 又， ∴，，. 37．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1， ∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求： (1)的值. (2)线段AC1 的长 【解析】（1） = =. （2）选取作为一组基底， 则， 则 = = = = = =. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$