暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念5大高频考点，以题载知，构建“定义-解-一般式-参数求解”递进逻辑链，适配暑假预习的基础巩固需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的定义|3例+3变式|概念辨析、系数识别|从定义本质出发，强化二次项系数非零等核心要素| |一元二次方程的解|3例+3变式|根的判断、代数式求值|通过根的代入特性，建立方程与代数式的关联| |化方程为一般式|3例+3变式|形式转化、系数确定|体现数学语言规范性，为后续解法奠基| |由定义求参数|3例+3变式|参数取值范围讨论|深化定义约束条件，培养推理意识| |由解求参数|4例+4变式|根的代入计算、整体代换|综合应用方程解的性质，发展运算能力与抽象思维|

暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点专项训练 暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点专项训练 考点目录 一元二次方程的定义 一元二次方程的解 化方程为一元二次方程的一般式 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 例1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 例2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 变式3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 一元二次方程的解 例1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若，则一元二次方程的一个根为 _____． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 考点三 化方程为一元二次方程的一般式 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 例3．（25-26九年级下·湖南永州·月考）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 变式1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 例1．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·月考）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 考点五 由一元二次方程的解求参数 例1．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 例2．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 例4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 变式1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 变式2．（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 变式3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 变式4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点专项训练 暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点专项训练 考点目录 一元二次方程的定义 一元二次方程的解 化方程为一元二次方程的一般式 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 例1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 例2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 变式2．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 变式3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 考点二 一元二次方程的解 例1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 例2．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 例3．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 变式2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 考点三 化方程为一元二次方程的一般式 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 例3．（25-26九年级下·湖南永州·月考）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 变式1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 变式2．（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 变式3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 例1．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 例2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 例3．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·月考）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 考点五 由一元二次方程的解求参数 例1．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 解得． 例2．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 例4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 变式1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 变式2．（2026·河北邯郸·一模）设是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】C 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 变式3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 变式4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $