专题2.1 有理数的加法与减法（暑假预习讲义） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题2.1 有理数的加法与减法 【本节预习目标】 1.理解有理数加法、减法法则，能规范完成有理数的加减运算及混合运算，形成准确的运算能力。 2.掌握有理数加法的交换律与结合律，能灵活选用简便策略优化运算过程。 3.掌握“减法转化为加法”的转化思想，能运用有理数加减解决生活与简单跨学科情境问题。 4.结合数轴、绝对值理解加减运算的几何意义，发展数形结合与数学建模素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 有理数基础 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念与性质 有理数加减的核心是符号判断与绝对值运算，依赖相反数、绝对值的基础性质 算术运算 正数与0的加法、减法运算规则 有理数加减是算术加减的拓展，引入负数后需遵循“先定符号，再算绝对值”的逻辑 数量关系 生活中相反意义的量的表示 有理数加减可刻画升降、收支、位移等相反意义的量的变化过程 知识点1：有理数的加法法则 1.四类加法运算规则 有理数加法根据加数符号分为四类，具体法则如下表： 运算类型 法则要点 示例 同号两数相加 取相同符号，绝对值相加 绝对值不等的异号两数相加 取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 互为相反数的两数相加 和为0 一个数与0相加 仍得这个数 2.通用运算步骤 先判断加数的符号类型，再确定和的符号，最后计算和的绝对值，即“先定号，后定值”。 知识点2：有理数的加法运算律 1.基本运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变，即。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即。 2.简便运算常用策略 多个有理数相加时，可灵活运用运算律分组：相反数结合凑0、同号结合定号、同分母结合简化通分、凑整结合减少计算量。 知识点3：有理数的减法法则 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.转化注意事项 减法变加法需完成“两变”：减号变为加号，减数变为它的相反数；被减数保持不变。 知识点4：有理数的加减混合运算 1.运算思路 利用减法法则将所有减法统一为加法，将混合运算转化为若干个有理数的加法运算，即代数和形式。 2.省略书写形式 统一加法后，可省略加号和每个加数的括号，例如可简写为。 3.运算步骤 ①减法化加法；②省略加号与括号；③运用加法运算律优化计算顺序；④按加法法则得出结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数加法基础运算 1.核心知识点 有理数加法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①先区分同号、异号、含0三种类型，对应匹配加法法则； ②同号相加直接定号、加绝对值；异号相加先比较绝对值大小，再定号、算差值； ③互为相反数的两数直接得0，一个数加0直接得原数。 【例题1】.（2026·天津·中考真题）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【题型2】有理数减法基础运算 1.核心知识点 有理数减法法则；相反数的概念 2.解题方法技巧 ①严格执行“减号变加号，减数变相反数”的转化规则，两步变号缺一不可； ②转化为加法后，再按照加法法则完成计算； ③小数减大数结果为负，可直接用大数减小数后添加负号。 【例题2】.（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【变式题2-1】.（2026·陕西·一模）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型3】加减混合运算基础计算 1.核心知识点 减法化加法；加减混合运算基本步骤 2.解题方法技巧 ①第一步先将所有减法统一为加法，写成完整的代数和形式； ②可按从左到右的顺序依次计算，也可初步分组简化； ③每一步运算都先确定结果符号，再计算绝对值，避免符号疏漏。 【例题3】.（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【变式题3-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4】省略加号与括号的形式转化 1.核心知识点 代数和的省略形式；和式的两种读法 2.解题方法技巧 ①统一为加法后，直接去掉各加数前的加号与括号，保留数本身的性质符号； ②有两种读法：可读作几个有理数的和，也可按运算符号读作加减混合算式； ③还原运算时，每个数前的符号是自身性质符号，不可遗漏负号。 【例题4】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【培优提升题型】 【题型5】加法运算律的简便计算 1.核心知识点 加法交换律与结合律；常用简便运算技巧 2.解题方法技巧 ①相反数结合法：互为相反数的两个数优先结合，和为0可直接消去； ②同号结合法：所有正数、所有负数分别结合相加，再计算最终异号和； ③同分母结合法：分母相同或易通分的分数优先结合，减少通分次数； ④凑整法与拆项法：能凑成整数的数优先结合；带分数可拆为整数+分数分别计算。 【例题5】.（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 【题型6】三阶幻方与幻圆中的加减运算 1.核心知识点 有理数加法；幻方的等和性质；数学文化素养 2.解题方法技巧 ①三阶幻方中，九个数的总和等于中间数的9倍，每行/列/对角线的和等于中间数的3倍； ②先计算全部数的总和，推导出行和与中间数，再逐步推导空缺位置的数； ③幻圆问题先求全部数总和，根据“每组和相等”推出单组和，再求解未知量。 【例题6】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【变式题6-3】.（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【题型7】生活情境中的有理数加减应用 1.核心知识点 相反意义的量；有理数加减的实际含义 2.解题方法技巧 ①先明确正负数的实际约定（如向东为正、收入为正、上升为正）； ②求最终位置、最终结余、最终温度时，计算所有数据的代数和； ③求总路程、总耗油量、总工作量时，计算所有数据的绝对值之和，再乘单位量。 【例题7】.（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）邮递员骑车从邮局出发，沿着一条东西向的笔直公路骑行．他先向西骑行千米到达村，继续向西骑行千米到达村，然后向东骑行千米到达村，最后返回邮局． (1)以邮局所在位置为原点，规定向东为正方向，千米为个单位长度画数轴．请在数轴上标出村、村、村的位置； (2)求村与村的距离； (3)求邮递员一共骑行了多少千米？ 【变式题7-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【题型8】有理数加减与数轴、绝对值的综合 1.核心知识点 数轴上数的大小与符号；绝对值的非负性与几何意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断数的正负与绝对值大小，进而判断和、差的符号； ②若几个非负绝对值的和为0，则每个绝对值内的代数式均为0，可列方程求参数； ③数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，可借助减法表示距离。 【例题8】.（2026·广东江门·三模）． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【变式题8-1】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 【变式题8-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． （1）下列数轴画法正确的是（     ） A．   B． C． D． 【问题情境】如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中．设点所对应数的和是． 【综合运用】 （2）若点为原点，则点对应的数是_____，点对应的数是_____，的值________； （3）若以为原点，的值________； （4）若原点O在图中数轴上，且，求． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 【压轴素养题型】 【题型9】有理数加减中的规律探究 1.核心知识点 有理数加减运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①交替加减型数列：采用分组法，每两个数为一组，简化为多组相同结果的求和； ②程序运算型：按给定规则逐步代入计算，不满足输出条件则循环代入； ③先计算前3-4组结果，寻找周期或通项规律，再推广到一般项求解。 【例题9】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列各式： ；；；… (1)按照上述规律，第4个等式是：_________________； (2)运用你发现在规律计算： (3)计算： 【题型10】新定义加减运算 1.核心知识点 有理数加减运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题10】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义新运算：，则____________． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 易错点 1、异号两数相加运算错误：易误将绝对值直接相加，或取错和的符号，需牢记“取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值”。 2、减法转化加法变号不完整：只改变减号或只改变减数符号，必须同时完成“减号变加号、减数变相反数”两步变号。 3、运算律交换时遗漏数的符号：交换加数位置时，需连同数前的性质符号一起移动，不能只移动数字部分。 4、实际问题混淆代数和与绝对值和：求最终位置、最终结余用代数和，求总路程、总耗用量用各数绝对值之和。 重点 1、有理数加法、减法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用加法运算律进行简便计算，熟练完成有理数加减混合运算。 3、运用有理数加减建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、异号两数相加、减法转化加法中的符号精准处理。 2、规律探究、新定义、幻方等创新题型中的逻辑推理与分类讨论。 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 3．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 二、填空题 4．计算：________． 5．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 6．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 三、解答题 7．计算： (1) (2) 8．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 9．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“和谐数”．例如三位数143，因为，所以它是“和谐数”． (1)判断三位数375是否为“和谐数”，并说明理由； (2)设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为，直接写出与满足的数量关系； (3)求证：任意一个“和谐数”都能被11整除． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 有理数的加法与减法 【本节预习目标】 1.理解有理数加法、减法法则，能规范完成有理数的加减运算及混合运算，形成准确的运算能力。 2.掌握有理数加法的交换律与结合律，能灵活选用简便策略优化运算过程。 3.掌握“减法转化为加法”的转化思想，能运用有理数加减解决生活与简单跨学科情境问题。 4.结合数轴、绝对值理解加减运算的几何意义，发展数形结合与数学建模素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 有理数基础 有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念与性质 有理数加减的核心是符号判断与绝对值运算，依赖相反数、绝对值的基础性质 算术运算 正数与0的加法、减法运算规则 有理数加减是算术加减的拓展，引入负数后需遵循“先定符号，再算绝对值”的逻辑 数量关系 生活中相反意义的量的表示 有理数加减可刻画升降、收支、位移等相反意义的量的变化过程 知识点1：有理数的加法法则 1.四类加法运算规则 有理数加法根据加数符号分为四类，具体法则如下表： 运算类型 法则要点 示例 同号两数相加 取相同符号，绝对值相加 绝对值不等的异号两数相加 取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 互为相反数的两数相加 和为0 一个数与0相加 仍得这个数 2.通用运算步骤 先判断加数的符号类型，再确定和的符号，最后计算和的绝对值，即“先定号，后定值”。 知识点2：有理数的加法运算律 1.基本运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变，即。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即。 2.简便运算常用策略 多个有理数相加时，可灵活运用运算律分组：相反数结合凑0、同号结合定号、同分母结合简化通分、凑整结合减少计算量。 知识点3：有理数的减法法则 1.法则内容 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.转化注意事项 减法变加法需完成“两变”：减号变为加号，减数变为它的相反数；被减数保持不变。 知识点4：有理数的加减混合运算 1.运算思路 利用减法法则将所有减法统一为加法，将混合运算转化为若干个有理数的加法运算，即代数和形式。 2.省略书写形式 统一加法后，可省略加号和每个加数的括号，例如可简写为。 3.运算步骤 ①减法化加法；②省略加号与括号；③运用加法运算律优化计算顺序；④按加法法则得出结果。 【基础巩固题型】 【题型1】有理数加法基础运算 1.核心知识点 有理数加法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①先区分同号、异号、含0三种类型，对应匹配加法法则； ②同号相加直接定号、加绝对值；异号相加先比较绝对值大小，再定号、算差值； ③互为相反数的两数直接得0，一个数加0直接得原数。 【例题1】.（2026·天津·中考真题）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式题1-1】.（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：∵ ，， ∴ 【变式题1-2】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 【变式题1-3】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【题型2】有理数减法基础运算 1.核心知识点 有理数减法法则；相反数的概念 2.解题方法技巧 ①严格执行“减号变加号，减数变相反数”的转化规则，两步变号缺一不可； ②转化为加法后，再按照加法法则完成计算； ③小数减大数结果为负，可直接用大数减小数后添加负号。 【例题2】.（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 【变式题2-1】.（2026·陕西·一模）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可．有理数减法法则为：减去一个数等于加上这个数的相反数． 【详解】解： ． 【变式题2-2】.（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式题2-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型3】加减混合运算基础计算 1.核心知识点 减法化加法；加减混合运算基本步骤 2.解题方法技巧 ①第一步先将所有减法统一为加法，写成完整的代数和形式； ②可按从左到右的顺序依次计算，也可初步分组简化； ③每一步运算都先确定结果符号，再计算绝对值，避免符号疏漏。 【例题3】.（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式题3-1】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【变式题3-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4】省略加号与括号的形式转化 1.核心知识点 代数和的省略形式；和式的两种读法 2.解题方法技巧 ①统一为加法后，直接去掉各加数前的加号与括号，保留数本身的性质符号； ②有两种读法：可读作几个有理数的和，也可按运算符号读作加减混合算式； ③还原运算时，每个数前的符号是自身性质符号，不可遗漏负号。 【例题4】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【培优提升题型】 【题型5】加法运算律的简便计算 1.核心知识点 加法交换律与结合律；常用简便运算技巧 2.解题方法技巧 ①相反数结合法：互为相反数的两个数优先结合，和为0可直接消去； ②同号结合法：所有正数、所有负数分别结合相加，再计算最终异号和； ③同分母结合法：分母相同或易通分的分数优先结合，减少通分次数； ④凑整法与拆项法：能凑成整数的数优先结合；带分数可拆为整数+分数分别计算。 【例题5】.（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型6】三阶幻方与幻圆中的加减运算 1.核心知识点 有理数加法；幻方的等和性质；数学文化素养 2.解题方法技巧 ①三阶幻方中，九个数的总和等于中间数的9倍，每行/列/对角线的和等于中间数的3倍； ②先计算全部数的总和，推导出行和与中间数，再逐步推导空缺位置的数； ③幻圆问题先求全部数总和，根据“每组和相等”推出单组和，再求解未知量。 【例题6】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键． 求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 【题型7】生活情境中的有理数加减应用 1.核心知识点 相反意义的量；有理数加减的实际含义 2.解题方法技巧 ①先明确正负数的实际约定（如向东为正、收入为正、上升为正）； ②求最终位置、最终结余、最终温度时，计算所有数据的代数和； ③求总路程、总耗油量、总工作量时，计算所有数据的绝对值之和，再乘单位量。 【例题7】.（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）邮递员骑车从邮局出发，沿着一条东西向的笔直公路骑行．他先向西骑行千米到达村，继续向西骑行千米到达村，然后向东骑行千米到达村，最后返回邮局． (1)以邮局所在位置为原点，规定向东为正方向，千米为个单位长度画数轴．请在数轴上标出村、村、村的位置； (2)求村与村的距离； (3)求邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)数轴见解析； (2)6千米； (3)千米． 【分析】本题考查数轴的实际应用、有理数的运算，关键是将邮递员的骑行运动转化为数轴上的坐标变化，通过正负数表示相反方向的移动，结合有理数运算解决位置、距离与总路程的问题． （1）根据骑行方向计算各村庄所表示的数——向西骑行2千米到达村，数为；从村继续向西3千米到村，数为；从村向东9千米到村，数为，最后在数轴上标出这三个坐标对应的点即可； （2）先明确村所表示的数为、村所表示的数为，再利用两点间距离为差的绝对值这一公式，计算，化简后得到距离为6千米； （3）先梳理所有骑行路段的长度，包括邮局到村的2千米、村到村的3千米、村到村的9千米，以及村返回邮局的4千米，将这些长度累加，即千米，即可得到总骑行路程． 【详解】（1）解：在数轴上标出村、村、村的位置如图所示： （2）解：∵村表示的数为，村表示的数为， ∴村与村的距离为(千米)； （3）解：邮递员骑行的各段路程为：2千米(到村)、3千米(到村)、9千米(到村)、4千米(返回邮局)， ∴总骑行路程为(千米)． 【变式题7-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·湖北恩施·期中）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 【题型8】有理数加减与数轴、绝对值的综合 1.核心知识点 数轴上数的大小与符号；绝对值的非负性与几何意义 2.解题方法技巧 ①根据数轴上点的位置，判断数的正负与绝对值大小，进而判断和、差的符号； ②若几个非负绝对值的和为0，则每个绝对值内的代数式均为0，可列方程求参数； ③数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值，可借助减法表示距离。 【例题8】.（2026·广东江门·三模）． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)解：原式 ． 【详解】（1）解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． （2）解：第三步两个负数相加计算错误． （3）略 【变式题8-1】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）按要求解答下列各题： (1)比较大小（用“ ”“ ”或“＝”填空） ①_________ ②_________ ③__________ (2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整 ①当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ②当 ， ________（填“同号”或“异号”）时，有_______ ③当 ， 中至少有一个为0时，_______ (3)根据上述结论，请你直接写出当时， 的取值范围 【答案】(1)① ，②，③ (2)①异号， ；②同号， ；③ (3) 【详解】（1）解：①，， ； ②，， ； ③ ， ， ． （2）解：根据小问（1）的结果可得出： ①当 ， 异号时，有， ②当 ， 同号时，有， ③当 ， 中至少有一个为0时，； （3）解：可整理成， 由小问2结论可得到，等式成立时，与同号或者， 即． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·河北保定·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． （1）下列数轴画法正确的是（     ） A．   B． C． D． 【问题情境】如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中．设点所对应数的和是． 【综合运用】 （2）若点为原点，则点对应的数是_____，点对应的数是_____，的值________； （3）若以为原点，的值________； （4）若原点O在图中数轴上，且，求． 【答案】（1）C；（2）2，3，5；（3）；（4）或 【分析】本题考查了数轴的基本画法，由数轴表示有理数，数轴上两点间距离，解决本题的关键分类讨论原点O的位置． （1）根据数轴的3个核心要素，即原点，正方向以及单位长度判断选项即可． （2）根据点为原点，且即可求解点与点对应的数，再由加法运算即可求解的值； （3）以为原点，再由表示出点与点对应的数，由此求解即可； （4）分类讨论原点O在点的左侧和右侧两种情况，分别表示出点所对应数，由此求解即可． 【详解】解：（1）A选项没有正方向； B选项没有单位长度； C选项满足数轴的基本画法； D选项没有原点． 故选：C． （2）∵点为原点，且， ∴点对应的数为2，点对应的数为3， ∴点所对应数的和； 故答案为：2，3，5； （3）∵点为原点，且， ∴点对应的数为，点对应的数为1， ∴点所对应数的和； （4）当原点O在点的左侧时， 由，可得， ∴点对应的数为5，点对应的数为7，点对应的数为8， ∴点所对应数的和； 当原点O在点的右侧时， 由，可得， ∴点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴点所对应数的和； 综上，的值为或． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 【答案】任务一：；任务二：或；任务三： 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 任务一：数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，据此求解即可； 任务二：根据题意可得数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，那么可分x在3的左侧和x在3的右侧两种情况，结合数轴上两点间的距离计算公式求解即可； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和，那么当位于和4之间时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得两点的距离是， 故答案为：； 任务二：∵“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度， ∴由数轴可得或， 故答案为：或； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和， 故当位于和4之间时，有最小值，最小值为， 故答案为：5 ． 【压轴素养题型】 【题型9】有理数加减中的规律探究 1.核心知识点 有理数加减运算；数列规律归纳与分组计算 2.解题方法技巧 ①交替加减型数列：采用分组法，每两个数为一组，简化为多组相同结果的求和； ②程序运算型：按给定规则逐步代入计算，不满足输出条件则循环代入； ③先计算前3-4组结果，寻找周期或通项规律，再推广到一般项求解。 【例题9】.（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 【详解】解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. 【变式题9-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列各式： ；；；… (1)按照上述规律，第4个等式是：_________________； (2)运用你发现在规律计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，抽象概括出规律并能准备计算是解题的关键． （1）按照上面规律写出第四个等式即可； （2）根据题目规律可发现，，再利用有理数的加减法计算即可； （3）由规律将式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）解：按照上述规律，第4个等式是， 故答案为：； （2）解：按照上述规律，，， 那么 （3）解： ． 【题型10】新定义加减运算 1.核心知识点 有理数加减运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题10】.（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义新运算：，则____________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 易错点 1、异号两数相加运算错误：易误将绝对值直接相加，或取错和的符号，需牢记“取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值”。 2、减法转化加法变号不完整：只改变减号或只改变减数符号，必须同时完成“减号变加号、减数变相反数”两步变号。 3、运算律交换时遗漏数的符号：交换加数位置时，需连同数前的性质符号一起移动，不能只移动数字部分。 4、实际问题混淆代数和与绝对值和：求最终位置、最终结余用代数和，求总路程、总耗用量用各数绝对值之和。 重点 1、有理数加法、减法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用加法运算律进行简便计算，熟练完成有理数加减混合运算。 3、运用有理数加减建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、异号两数相加、减法转化加法中的符号精准处理。 2、规律探究、新定义、幻方等创新题型中的逻辑推理与分类讨论。 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 根据法则进行计算即可． 【详解】解：， . 2．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 3．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据加法交换律和结合律判断即可求解． 【详解】解：根据计算过程，第①步使用了加法交换律，第②步使用了加法结合律， 故选：A． 二、填空题 4．计算：________． 【答案】13 【详解】解：． 5．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 6．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 三、解答题 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 9．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“和谐数”．例如三位数143，因为，所以它是“和谐数”． (1)判断三位数375是否为“和谐数”，并说明理由； (2)设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为，直接写出与满足的数量关系； (3)求证：任意一个“和谐数”都能被11整除． 【答案】(1)不是，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义作答即可； （3）设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为，将“和谐数”化为，可知任意一个“和谐数”都能被11整除． 【详解】（1）解：， 不是“和谐数”； （2）解：∵若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“和谐数”， 一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为， ∴； （3）证明：设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为， 、、为整数， 为整数， 能被11整除， 即任意一个“和谐数”都能被11整除． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $