暑假作业03 勾股定理及其应用（18题型82题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过18题型82题构建基础-中档-综合三层递进体系，覆盖公式应用、模型转化及实际问题解决，强化知识从单一到综合的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理公式、逆定理、网格计算|直接套用公式的选择填空，强化符号意识与运算能力| |中档层|折叠/梯子滑动等四大模型、不规则图形转化|结合方程思想的中档解答题，培养几何直观与推理能力| |综合层|立体图形展开、分类讨论、实际应用（航海/台风等）|跨情境综合题，发展应用意识与创新意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 勾股定理及其应用18题型82题 【知识点1 勾股定理公式及直接应用】 1.勾股定理内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，那么 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式常用变形（求边长直接套用） 3.基础应用：已知直角三角形两边求第三边 适用场景：题目明确直角、明确直角边与斜边，无歧义。 解题步骤： ① 找准直角边、斜边； ② 代入勾股定理公式列式； ③ 计算并将结果化为最简二次根式。 【知识点2 勾股定理的逆定理（判定直角三角形）】 1.逆定理内容 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长的边； ② 分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方； ③ 对比结果：若相等，则为直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 3.补充：勾股数 满足 的三个正整数称为勾股数，常见基础勾股数：；； 等，可快速辅助判定。 【知识点3 网格图形边长计算】 1.题型特征：方格纸、平面网格中，求任意两个格点之间斜线段的长度。 2.解题方法：构造直角三角形 以所求斜线段为斜边，沿网格横线、竖线作两条直角边；直角边长度直接数网格格数得到，再利用勾股定理计算斜边长。 3.要点：网格内水平、竖直线段长度可直接读取，无需复杂计算。 【知识点4 基础题型高频易错点】 1.定理滥用：对非直角三角形直接套用勾股定理； 2.边型混淆：分不清直角边与斜边，公式代入对应关系错误； 3.逆定理误用：判定直角三角形时，不找最长边，随意组合三边平方计算； 4.计算失误：平方运算、开方运算出错，最终结果未化为最简形式。 【知识点5 四大经典模型（必考核心模型）】 一、折叠模型 1.题型特征：直角三角形、矩形、正方形等图形沿直线折叠，利用重合关系求线段长、折痕长度。 2.核心性质：折叠前后图形全等，对应线段相等、对应角相等。 3.解题思路（方程思想）： ① 根据折叠性质标注图中相等线段； ② 设未知线段为 ，用含 的代数式表示直角三角形三边； ③ 在构造出的直角三角形中，列勾股定理方程求解。 二、折叠模型 1.题型特征：直线同侧有两个定点，在直线上找一动点，使动点到两定点的线段和最短，结合勾股定理求最短距离。 2.核心原理：轴对称性质 + 两点之间线段最短。 3.解题步骤： ① 作其中一个定点关于已知直线的对称点； ② 连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求动点； ③ 以该连线为斜边构造直角三角形，利用勾股定理算出最短路径长度。 三、梯子滑动模型 1.题型特征：梯子斜靠在竖直墙面，顶端下滑、底端向外滑动，已知部分线段长度，求滑动距离、剩余线段长。 2.核心隐含条件：梯子长度始终不变（斜边为定值），墙面与地面永久垂直。 3.解题思路： 区分滑动前、滑动后两个状态，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出对应直角边，再作差得到滑动距离。 四、赵爽弦图模型 1.图形结构：由四个全等的直角三角形拼接成大正方形，内部围成一个小正方形，是勾股定理经典证明图形。 2.边长与面积关系（设直角三角形直角边 ，斜边 ）： · 大正方形边长 = 斜边 ，面积： · 内部小正方形边长 = ，面积： · 单个直角三角形面积： 3.考法：结合面积公式、完全平方公式综合求边长、周长。 【知识点6 不规则图形线段长度求解】 1.题型特征：组合多边形、不规则图形中，求高、对角线、斜线段等长度。 2.核心思想：分割转化 通过作垂线、作高、分割图形等方式，把不规则图形拆分为若干个标准直角三角形，再逐一使用勾股定理计算。 【知识点7 立体图形线段长度求解（圆柱、长方体）】 1.核心方法：立体转平面（展开法） 将立体图形的表面/侧面沿棱剪开，展开为平面图形，把空间线段转化为平面内两点间线段，再用勾股定理求解。 2.分题型说明： 圆柱：侧面展开为矩形，圆柱的高为矩形竖直边，底面圆弧展开长度为矩形水平边，两点连线为直角三角形斜边； 长方体：表面求两点间线段，存在多种展开方式，需分类计算后对比长度。 【知识点8 分类讨论思想：直角边、斜边不确定的多解问题】 1. 题型特征：已知直角三角形两条边长，但未明确哪边是直角边、哪边是斜边，求第三边，存在多组解。 2. 分类讨论标准： ① 情况一：已知两条边均为直角边，第三边为斜边； ② 情况二：已知较长的边为斜边，较短边为直角边，第三边为另一条直角边。 3. 解题要求：完整分情况计算，结合三角形三边关系舍去不合理数值，严禁漏解。 【题型1 用勾股定理解三角形】 1．如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 2．如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 4．先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【题型3 勾股树（数）问题】 5．下列各组数中不是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．1，， C．5，12，13 D．33，44，55 6．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 7．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【题型4 勾股定理与折叠问题】 8．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 9．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【题型5 勾股定理的证明方法】 10．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 11．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 12．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 13．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 14．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【题型7 求梯子滑落高度】 15．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 16．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【题型8 求旗杆高度】 18．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 19．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 20．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【题型9 求小鸟飞行距离】 21．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 22．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【题型10 求大树折断前的高度】 23．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 24．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【题型11 解决航海问题】 25．如图，一艘轮船从A港出发，向东北方向行驶至B港，再从B港向东南方向行驶至C港，已知A港到B港的距离为，B港到C港的距离为，求A港到C港的距离． 26．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【题型12 求台阶上地毯长度】 27．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 28．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 29．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【题型13 判断汽车是否超速】 30．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 31．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【题型14 判断是否受台风影响】 32．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 33．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【题型15 求最短路径】 34．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 35．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 36．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【题型16 判断三边能否构成直角三角形】 37．在中，，，所对的边分别为，，，下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C． D． 38．以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 39．“一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量． (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【题型17 利用勾股定理的逆定理求解】 40．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 41．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【题型18 勾股定理逆定理的实际 应用】 42．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 43．如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？ 44．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 3．如图，在中，，，，平分，过点A作的垂线，交的延长线于E，交的延长线于F，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（  ） A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时 5．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯．如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点，为扶手的两端点．抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，则这一层圆形旋转楼梯的扶手长度是（     ）（取3） A．3 B．7 C． D． 6．如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（    ） A． B． C． D． 8.已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9.如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 10．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________． 11．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 12．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 13．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 14．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 15．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 16．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 17．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 18.如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 19．定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 20．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 21．天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 22．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 23．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1． (1)【运用知识】请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内 ①画出顶点在格点的，其，，； ②求出的面积． (2)【拓展探究】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点C，则______，______，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②如图4，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为______． ②， ， 的面积； ∵， ∴， ， ， 即的最小值为． 1．教材赏析：在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展．例如，《原本》第六卷命题31就曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和．”（备注：相似指的是图形形状相同）以下4个图形中符合的有（        ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（    ） A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 4．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 5.此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 6．《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______． 7．如图，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼接成了一个大正方形（如图2）． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）大正方形的边长为___________； （2）嘉嘉借助平面直角坐标系进一步探究大正方形的边长，如图3，以点为原点，以小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的坐标系，则点的坐标是___________． 8．在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为__________． 9．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是______． 10．在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是_________； （2）已知点，点，则线段的长度是_________； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当_______时，点在的直角边上． 11．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 12．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论的序号是________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若，，不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断以、、的长为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若，，不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 13．仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题： （Ⅰ），，，，…… （Ⅱ），，，…… （1）按以上规律，推算出______； （2）若其中一个三角形的面积是，则它是第______个三角形； （3）按以上规律，用含（是正整数）的等式表示：______，______； （4）试求出的值． 14．规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 15．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 16．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 勾股定理及其应用18题型82题 【知识点1 勾股定理公式及直接应用】 1.勾股定理内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，那么 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式常用变形（求边长直接套用） 3.基础应用：已知直角三角形两边求第三边 适用场景：题目明确直角、明确直角边与斜边，无歧义。 解题步骤： ① 找准直角边、斜边； ② 代入勾股定理公式列式； ③ 计算并将结果化为最简二次根式。 【知识点2 勾股定理的逆定理（判定直角三角形）】 1.逆定理内容 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长的边； ② 分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方； ③ 对比结果：若相等，则为直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 3.补充：勾股数 满足 的三个正整数称为勾股数，常见基础勾股数：；； 等，可快速辅助判定。 【知识点3 网格图形边长计算】 1.题型特征：方格纸、平面网格中，求任意两个格点之间斜线段的长度。 2.解题方法：构造直角三角形 以所求斜线段为斜边，沿网格横线、竖线作两条直角边；直角边长度直接数网格格数得到，再利用勾股定理计算斜边长。 3.要点：网格内水平、竖直线段长度可直接读取，无需复杂计算。 【知识点4 基础题型高频易错点】 1.定理滥用：对非直角三角形直接套用勾股定理； 2.边型混淆：分不清直角边与斜边，公式代入对应关系错误； 3.逆定理误用：判定直角三角形时，不找最长边，随意组合三边平方计算； 4.计算失误：平方运算、开方运算出错，最终结果未化为最简形式。 【知识点5 四大经典模型（必考核心模型）】 一、折叠模型 1.题型特征：直角三角形、矩形、正方形等图形沿直线折叠，利用重合关系求线段长、折痕长度。 2.核心性质：折叠前后图形全等，对应线段相等、对应角相等。 3.解题思路（方程思想）： ① 根据折叠性质标注图中相等线段； ② 设未知线段为 ，用含 的代数式表示直角三角形三边； ③ 在构造出的直角三角形中，列勾股定理方程求解。 二、折叠模型 1.题型特征：直线同侧有两个定点，在直线上找一动点，使动点到两定点的线段和最短，结合勾股定理求最短距离。 2.核心原理：轴对称性质 + 两点之间线段最短。 3.解题步骤： ① 作其中一个定点关于已知直线的对称点； ② 连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求动点； ③ 以该连线为斜边构造直角三角形，利用勾股定理算出最短路径长度。 三、梯子滑动模型 1.题型特征：梯子斜靠在竖直墙面，顶端下滑、底端向外滑动，已知部分线段长度，求滑动距离、剩余线段长。 2.核心隐含条件：梯子长度始终不变（斜边为定值），墙面与地面永久垂直。 3.解题思路： 区分滑动前、滑动后两个状态，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出对应直角边，再作差得到滑动距离。 四、赵爽弦图模型 1.图形结构：由四个全等的直角三角形拼接成大正方形，内部围成一个小正方形，是勾股定理经典证明图形。 2.边长与面积关系（设直角三角形直角边 ，斜边 ）： · 大正方形边长 = 斜边 ，面积： · 内部小正方形边长 = ，面积： · 单个直角三角形面积： 3.考法：结合面积公式、完全平方公式综合求边长、周长。 【知识点6 不规则图形线段长度求解】 1.题型特征：组合多边形、不规则图形中，求高、对角线、斜线段等长度。 2.核心思想：分割转化 通过作垂线、作高、分割图形等方式，把不规则图形拆分为若干个标准直角三角形，再逐一使用勾股定理计算。 【知识点7 立体图形线段长度求解（圆柱、长方体）】 1.核心方法：立体转平面（展开法） 将立体图形的表面/侧面沿棱剪开，展开为平面图形，把空间线段转化为平面内两点间线段，再用勾股定理求解。 2.分题型说明： 圆柱：侧面展开为矩形，圆柱的高为矩形竖直边，底面圆弧展开长度为矩形水平边，两点连线为直角三角形斜边； 长方体：表面求两点间线段，存在多种展开方式，需分类计算后对比长度。 【知识点8 分类讨论思想：直角边、斜边不确定的多解问题】 1. 题型特征：已知直角三角形两条边长，但未明确哪边是直角边、哪边是斜边，求第三边，存在多组解。 2. 分类讨论标准： ① 情况一：已知两条边均为直角边，第三边为斜边； ② 情况二：已知较长的边为斜边，较短边为直角边，第三边为另一条直角边。 3. 解题要求：完整分情况计算，结合三角形三边关系舍去不合理数值，严禁漏解。 【题型1 用勾股定理解三角形】 1．如图，为了测得湖两岸点和点之间的距离，小军在点设桩，使得，并测得的长为100米，的长为80米，则点和点之间的距离为（   ） A．60米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的长为100米，的长为80米， ∴米， ∴点和点之间的距离为60米． 2．如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 3．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，解题关键是掌握并正确运用该公式．将点与原点的坐标代入公式，即可求出点到原点的距离． 【详解】解：原点坐标为，根据两点间距离公式，点到原点的距离为． 故答案为：． 4．先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)；或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 【题型3 勾股树（数）问题】 5．下列各组数中不是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．1，， C．5，12，13 D．33，44，55 【答案】B 【分析】勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此判断即可． 【详解】解：选项A：，且三个数均为正整数，∴是勾股数； 选项B：和不是正整数，∴不是勾股数； 选项C：，且三个数均为正整数，∴是勾股数； 选项D：，且三个数均为正整数，∴是勾股数． 6．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 7．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 【题型4 勾股定理与折叠问题】 8．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 9．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 【题型5 勾股定理的证明方法】 10．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 11．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 12．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 13．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 14．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 【题型7 求梯子滑落高度】 15．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：梯子底端与地面的距离的长为； （2）解：由题意可知，梯子的顶端下滑了到达点，则， 在中，， ， 答：梯子的底端向后滑动了米． 16．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 【题型8 求旗杆高度】 18．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)米 (2)5米 【分析】（1）根据长方形的性质可得米，，在中，利用勾股定理求出的长，即可； （2）求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米， ∴米； （2）解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ∴再放出米的线． 19．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设旗杆的长为，则旗绳的长为，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）由题意可知：，，，过点作，垂足为，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的长为，则旗绳的长为． ， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度为； （2）解：由题意可知：，，， 过点作，垂足为， 则，， ， ， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 20．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 【题型9 求小鸟飞行距离】 21．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 22．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【题型10 求大树折断前的高度】 23．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 24．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【题型11 解决航海问题】 25．如图，一艘轮船从A港出发，向东北方向行驶至B港，再从B港向东南方向行驶至C港，已知A港到B港的距离为，B港到C港的距离为，求A港到C港的距离． 【答案】A港到C港的距离为 【分析】由为直角三角形，，进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：由题意得，东北方向与东南方向夹角为， ∴为直角三角形，， ∵，， 根据勾股定理： ， ∴（负值舍去） 答：A港到C港的距离为. 26．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【题型12 求台阶上地毯长度】 27．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 28．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 29．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【题型13 判断汽车是否超速】 30．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】解：由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 31．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【题型14 判断是否受台风影响】 32．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 33．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【题型15 求最短路径】 34．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 35．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 【答案】13 【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：，， 由勾股定理得：． 36．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 【题型16 判断三边能否构成直角三角形】 37．在中，，，所对的边分别为，，，下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、C，根据勾股定理的逆定理可判断B、D． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴可设， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 38．以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，分别计算每组中两短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； B ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； C ， ，能构成直角三角形，符合题意； D ， ，不能构成直角三角形，不符合题意． 39．“一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量． (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到，进而可得为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2），， ， 是直角三角形，且， ， 为直角三角形． 【题型17 利用勾股定理的逆定理求解】 40．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 41．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【题型18 勾股定理逆定理的实际 应用】 42．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 43．如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？ 【答案】“远航”号沿北偏东方向航行 【分析】根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“海天”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（海里），（海里）， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“海天”号沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴“远航”号沿北偏东方向航行， 答：“远航”号沿北偏东方向航行． 44．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C选项，最长边为，，，，能构成直角三角形，故C符合题意； D选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 3．如图，在中，，，，平分，过点A作的垂线，交的延长线于E，交的延长线于F，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得，再利用角平分线和垂线的性质证明与全等，得到，进而求得，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，． 4．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（  ） A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及路程、速度、时间之间的关系．解题的关键在于通过构造直角三角形，利用角度关系求出线段与的数量关系． 【详解】解：设与轴交于点 轴， 由图可知，， 在中， ， 在中， 骑行速度保持不变， 时间与路程成正比 从地到地用时1小时， 从地到地所需时间为2小时． 5．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯．如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点，为扶手的两端点．抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，则这一层圆形旋转楼梯的扶手长度是（     ）（取3） A．3 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，扶手即为展开矩形的对角线，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，扶手在展开图中为直角三角形的斜边， 根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 即这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 6．如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据垂直平分线的性质得出，可得，根据可得的最小值为，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点，，三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为的长， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 7．如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得，计算即可求的长． 【详解】解：在中，， 以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为， ， （负值舍去）， 故选：B． 8.已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的勾股定理有，结合完全平方公式化简，即可得到结果． 【详解】解：∵直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∵，， ∴ 9.如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 10．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________． 【答案】 【分析】由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作交于点， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 11．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 将沿方向平移得到，点是的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 12．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 13．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，得，结合图形得点表示的数． 【详解】解：由题意得，在中，，， ， 以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点， ， 点表示的数是． 14．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 15．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】首先根据尺规作图的步骤，判断是的角平分线，得到角相等的条件，过点G作的垂线，利用角平分线的性质，得到该垂线段的长度等于的长度，用勾股定理计算AB的长度，再通过三角形面积的不同表示方法，或者利用角平分线分对边成比例的性质，建立关于或的方程，结合的长度求解． 【详解】解：过G作于H， 由作图得：平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 设． 则，即：， 解得：， ∴ ． 16．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)54 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ∴． 17．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接根据勾股定理即可求解； （）先证明是直角三角形，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ， ∴四边形的面积为． 18.如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 19．定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 【答案】(1) (2)如图，（答案不唯一） 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解； （2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是对直四边形， ∴， ∴； （2）略 20．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 21．天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析； (2)千米． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可判断； （2）设千米，则千米，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）可知， 设千米，则千米， 在中，， ， 解得千米， 千米． 22．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 23．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1． (1)【运用知识】请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内 ①画出顶点在格点的，其，，； ②求出的面积． (2)【拓展探究】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点C，则______，______，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②如图4，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为______． 【答案】(1)①见解析；②． (2)①，；② 【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论； ②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②， ， 的面积； （2）①轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ∵， ∴， ， ， 即的最小值为． 1．教材赏析：在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展．例如，《原本》第六卷命题31就曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和．”（备注：相似指的是图形形状相同）以下4个图形中符合的有（        ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，第1幅图利用正方形面积公式以及勾股定理即可证明；第2幅图利用等边三角形的面积以及勾股定理即可证明；第3幅图利用圆面积公式以及勾股定理即可证明；第4幅图根据计算即可． 【详解】解：如图，设，，， 第1幅图，由勾股定理可得， ． 第2幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 第3幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 故答案为． 第4幅图，由勾股定理可得， ． 故选：D． 2．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 3．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（    ） A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 【答案】A 【分析】本题考查了探究勾股定理的思路，掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． ∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选：A． 4．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 5.此八边形可按图的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分也是个正方形．记正方形的边长为，则大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，整式的加减，先在网格中求出八边形的斜边长与面积，进而得到正方形的面积为，从而得到四个全等的五边形的面积，由正方形的面积为，可得到四个全等的五边形的面积，进而得到大正方形的面积，解题的关键是求出四个全等的五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得八边形的斜边长为，八边形的面积为， ∴ 正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∴四个全等的五边形的面积为， ∴大正方形的面积为， 故选：． 6．《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______． 【答案】 10 【分析】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点E作 ， ， 、、是等边三角形， ∴ 则 ， 同理得，，， 即； 设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，如图②所示： ， ， ， ∵，，， ； 故答案为：；10． 7．如图，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼接成了一个大正方形（如图2）． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）大正方形的边长为___________； （2）嘉嘉借助平面直角坐标系进一步探究大正方形的边长，如图3，以点为原点，以小正方形的边长为单位长度，建立如图所示的坐标系，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理及利用坐标系写出点的坐标，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）根据题意得出点A在第二象限，结合图形求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得，大正方形的边长为：， 故答案为：； （2）∵以点为原点，以小正方形的边长为单位长度， ∴由图得点A在第二象限，且边长为， ∴点的坐标是， 故答案为：（1）；（2）． 8．在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 证明，则，由勾股定理得，，根据纸片1的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴纸片1的周长为， 故答案为：． 9．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，优秀同学在观察探究时发现：①的形状是等腰三角形；②的周长是；③点C到边的距离是．你认为优秀同学观察的结论正确的序号是______． 【答案】①③/③① 【分析】①结合图形及等腰三角形的判定进行分析即可； ②利用勾股定理求得各边的长度，从而可判断； ③求得的面积，再求点C到边的距离即可判断． 本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 【详解】 解：方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， ∴， ， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； ∵， ∴的周长为：， 故②的结论错误； ∵ ， ∴点C到边的距离为：， 故③结论正确． 故答案为：①③． 10．在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是_________； （2）已知点，点，则线段的长度是_________； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当_______时，点在的直角边上． 【答案】 2 5 【分析】本题考查的是新定义，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）由点，点，利用两点间距离公式可得答案． （2）由点，点，根据勾股定理即可求出线段的长度． （3）由点的坐标为， 假设点在边上时求出m，检验是否在边上，若点在边上，检验是否在边上即可求解． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （2）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （3）∵，，，， ∴，， ∴点的坐标为， 当点在边上，则， 解得，此时点的坐标为． ∵， ∴当时，点在边上． 当点在边上，则，此时点的坐标为，在第四象限， ∴当时，点不在边上． 综上：当时，点在的直角边上． 故答案为： 11．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 12．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论的序号是________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若，，不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断以、、的长为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若，，不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①②③；（3）等边三角形，见解析；（4）的值是定值，且，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，再证明，进而利用证明，由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可证明，则，据此可判断①；可求出，证明，得到，得到是等边三角形，则，据此可判断②③；根据现有条件不能得到，据此可判断④； （3）证明得到；证明，得到，则以的长为边的三角形是等边三角形． （4）连接相交于点O，设与相交于点；证明，得到，则可证明，由勾股定理可得， ，，据此可得结论． 【详解】解：（1），证明如下： 和都是等边三角形， ，，， ， ∴，   ； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∴，故②正确； 根据现有条件不能得到，故④错误； ∴正确的有①②③； （3）以 的长为边的三角形是等边三角形，理由如下： 和都是等边三角形， ，，． ， ，， ． ． ， ． 又∵， ， ， ， ∴以的长为边的三角形是等边三角形． （4）的值是定值，且，理由如下： 如图，连接相交于点O，设与相交于点． 和是以和为直角的等腰直角三角形， ，，， ， ． ， ． ∵， ，即， ，，，，都是直角三角形． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． 在中，，， ∴由勾股定理得． 在中，，， ∴由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 13．仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题： （Ⅰ），，，，…… （Ⅱ），，，…… （1）按以上规律，推算出______； （2）若其中一个三角形的面积是，则它是第______个三角形； （3）按以上规律，用含（是正整数）的等式表示：______，______； （4）试求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4） 【分析】（1）根据已知的OA1，OA2，OA3，OA4，发现规律即可求解； （2）根据S1、S2、S3的特点，找出规律得到Sn，代入Sn=即可求解； （3）根据已知的规律即可写出，； （4）把S1、S2、S3、…代入化简即可求解． 【详解】解：（1），，，，… ∴ ∴； （2）∵，，，…… ∴ 当=时， 解得n=20，说明它是第20个三角形． 故答案为：20； （3）由，，，，… ∴ 由，，， ∴ 故答案为：，； （4） ． 【点睛】本题主要考查勾股定理与二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大． 14．规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3)88 【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； （3）解： ． 15．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 16．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形． (1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ； (2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长； (3)网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ； 如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)；见解析 【分析】（1）根据正方形的面积求解它的边长即可； （2）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可； （3）根据正方形的面积求解它的边长，根据边长寻找恰当的剪裁方法即可. 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为； 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示； （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 裁剪方法及拼接后的正方形如图所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $