黑龙江佳木斯市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二数学期中试卷，覆盖导数应用、概率统计、排列组合等核心模块，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数切线、两点分布、条件概率|基础概念辨析，如函数在某点切线方程（题1）| |多选|3/18|函数性质、二项式定理、排列问题|多维度能力考查，如函数单调性与极值判断（题9）| |填空|3/15|方差计算、相邻概率、导数极值点|简洁考查关键技能，如随机变量方差（题12）| |解答|5/77|分布列、导数应用、概率综合|情境化综合应用，如取球颜色概率与期望（题17）、产品不合格率分析（题19），体现数学语言表达现实世界|

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置 1．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 4．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 5．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 6．下列求导运算正确的是　　 A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个零点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．有极大值点，且 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数满足，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的极大值为0 D．在上单调递减 10．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为160 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知随机变量X的方差，则__________． 13．甲､乙､丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为______. 14．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本题13分）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 16．（本题15分）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 17．（本题15分）已知箱中装有2个白球， 2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球， (1)求取出的三个球的颜色互不相同的概率； (2)记随机变量为取出3 球中白球的个数，求的分布列及期望． 18．（本题17分）设函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围. 19．（本题17分）某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总产量的百分比及所生产产品的不合格率如下表所示： 车间 甲车间 乙车间 丙车间 产量占比 不合格率 设事件“从该厂产品中任取一件，恰好取到不合格品” (1)求事件的概率； (2)有一用户买了该厂一件产品，经检验是不合格品，但该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，判断该产品来自哪个车间的可能性最大，并说明理由． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度第二学期期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A D A B ABC BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程. 【详解】函数的导数为，则， 则函数在点处的切线方程为，即. 故函数在点处的切线方程为. 故选：B. 2．A 【分析】根据组合数计算公式计算即可. 【详解】，，，则（舍）或. 故选：A. 3．C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 4．A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 5．A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 6．D 【详解】试题分析：A. ， 错误. B. . 错误. C. 错误. D. 正确. 考点：导数的运算. 7．A 【分析】根据的导函数在区间上大于等于零恒成立，分离参数，即可求得参数的取值范围. 【详解】因为，故可得 ， 根据题意，在恒成立，即在恒成立， 又在的最大值为，故. 故选：A. 8．B 【分析】对求导，可得的极大值点，可得a的取值范围，可判断A选项，同时构造函数，其中，可得，可得的单调性，可判断B、C选项，利用C的结论，可得，， ，可判断D选项，可得答案. 【详解】解：由，可得， 当时，， 在上单调递增，与题意不符； 当时，可得当解得：， 可得当时，，当时，， 可得当时，取得极大值点，且由函数有两个零点， 可得，可得，综合可得：，故A正确； 由A可得得的极大值为，设， 设，其中，可得， 可得， 可得， 易得当时候，，当，， 故，， 故，， 由，易得，且， 且时，，单调递减，故由， 可得，即，即：有极大值点，且， 故C正确，B不正确； 由函数有两个零点，可得，， 可得，，可得， 由前面可得，，可得， 故D正确， 故选:C. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及极值的问题，也考查了极值点偏移的相关知识，属于难题. 9．ABC 【分析】求导后令即可求出，再令即可求出的单调区间与极值，则可得判断出答案. 【详解】由得， 则，故，故A正确； 则，由得或， 且当或时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减，又， 所以的极大值为0，故B、C正确，D错误． 故选：ABC. 10．BCD 【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答. 【详解】展开式的总项数是7，A不正确； 展开式的通项公式为， 令得，常数项为，B正确； 取得展开式的所有项的系数之和为，C正确； 由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 12．12 【分析】根据方差的性质即可求解． 【详解】， 故答案为：12． 13． 【分析】分别计算出甲､乙､丙三位同学站成一排照相的基本事件和甲丙相邻包含的基本事件，即可求出所求概率 【详解】甲､乙､丙三位同学站成一排照相，基本事件总数为：， 甲丙相邻包含的基本事件总数为： 则所求概率为： 故答案为： 14．或 【解析】计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行简单检验可得结果. 【详解】由题可知：， 因为函数在上存在极值点，所以有解 所以，则或 当或时，函数与轴只有一个交点，即 所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去 所以或，即或 故答案为：或 15．(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 16．(1)递增区间为，递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式计算即得； （2）确定随机变量X的所有可能取值，求出它们对应的概率，列出分布列并计算期望. 【详解】（1）设取出的三个球的颜色互不相同的事件为，则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2． 则，， ． 所以X的分布列为: 0 1 2 随机变量的数学期望：． 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数定义域，然后求出函数的导函数，分类讨论确定和的范围，得单调区间； （2）由（1）得函数的最小值为，由可得结论． 【详解】（1）定义域是， ， 或， 若，则，在上是增函数， 若，则在时，，时，， 的减区间是，增区间是； 若，则在时，，时，， 的减区间是，增区间是； （2）由（1）时，，时，， 因此由题意，即， 设， 时，， 恒成立，， 时，，， 所以的取值范围是． 19．(1) (2)该产品来自乙车间的概率最大，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式结合题意直接求解即可； （2）利用条件概率公式分别计算出不合格品来自三个车间的概率，然后进行比较即可. 【详解】（1）设事件“任取一件产品，生产于甲车间”， “任取一件产品，生产于乙车间”，“任取一件产品，生产于丙车间”， 那么， ． （2）该产品来自乙车间的可能性最大． 理由如下： 由（1）得，产品来自甲车间的概率为 ． 产品来自乙车间的概率为 产品来自丙车间的概率为 所以该产品来自乙车间的概率最大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $