2027届高考数学一轮复习讲义第5讲 基本不等式的综合应用

该高中数学讲义聚焦基本不等式综合应用，涵盖恒成立问题、实际应用及与向量几何等交汇的最值问题，按考点分模块系统梳理知识内在联系。通过例题探究、跟踪训练、课时精练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以真题为载体，融入亚运会纪念品销售等实际情境，引导学生用数学眼光抽象数量关系，培养模型意识。设置分层练习与即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2027年高考一轮复习讲义 第5讲 基本不等式的综合应用 探究核心题型 考点一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1 (2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 答案　B 解析　a>0，b>0，则a+b>0， 不等式≤恒成立，即m≤·(a+b)恒成立， ·(a+b)=(a+b)=13++≥13+2=25， 当且仅当=，即b=a时，等号成立， 所以m≤25，即实数m的最大值为25. 例2 若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  答案　(-∞，-3)∪ 解析　因为x+y=1，所以+=1，所以+==2+++≥+2=，当且仅当=时，等号成立，因为x+y=1，所以此时x=，y=，所以+的最小值为，由题可得m2+m>，解得m<-3或m>. 例3 已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9,1] 答案　A 解析　因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 例4 若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 答案　C 解析　令f(x)＝， 由题意可得a≤f(x)min， f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5]． 跟踪训练 1 (2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a=9时，对于任意正实数x，y， (x+y)=10++≥10+2=16，当且仅当y=3x时取等号， 即此时不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立，充分性成立； 当不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立时， (x+y)=1+a++≥1+a+2=1+a+2， 当且仅当y=x时取等号， 此时需满足1+a+2≥8(a>0)，解得a≥，此时a不一定等于9，必要性不成立， 故“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 2. 对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|－2<m<2} B．{m|m>2} C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2} 答案　C 解析　因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立， 即mx<x2＋1对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 即m>＝x＋对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 所以x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号， 所以m>－2. 3. 若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) 答案　C 解析　由x>0，y>0，x+2y=xy得+=1， 2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9， 当且仅当x=y=3时，等号成立， 则要使不等式2x+y<m2+8m有解，只需满足m2+8m>9即可， 解得m<-9或m>1，即m的取值范围为(-∞，-9)∪(1，+∞). 4. (2023·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 答案　C 解析　∵a2＋b2＝k， ∴a2＋(b2＋1)＝k＋1， ∴(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋＋13≥2＋13＝25， 当且仅当＝， 即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立， 即＋≥， 由题意可得≥1， 又k>0，解得0<k≤24， 故k的最大值为24. 考点二 基本不等式的实际应用 例1. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元)． 所以能获得的总利润为240万元． (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元， 单套利润为x－50－＝x－50－， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150， 所以单套利润为 y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号． 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 例2. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解　(1)由该产品的年固定成本为300万元， 另投入成本G(x)万元， 且G(x)=x∈N*， 当0<x≤40时，W(x)=200x-300-G(x) =-2x2+120x-300， 当40<x≤80时，W(x)=200x-300-G(x)=-x-+1 720， 所以利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式为 W(x)=x∈N*. (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+120x-300=-2(x-30)2+1 500， 故当x=30时，W(x)最大，最大值为1 500； 当40<x≤80时，W(x)=-+1 720≤1 720-2=1 600， 当且仅当x=，即x=60时等号成立， 综上可得，当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1 600万元. 例3. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 解　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得 t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元． (2)依题意知，当x>25时， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x>25时，a≥＋＋有解， ∵＋≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)， ∴a≥10.2. ∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 例4. 某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 答案　B 解析　由题意可得8x≤(180-x)·8·(1+5x%)，化简可得a≤++8， 因为++8≥2+8=14， 当且仅当=，即x=60时等号成立， 所以a≤14，即a的最大值为14. 考点三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例1. 若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 答案　B 解析　由题意，得“∀x∈，3x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 故当x∈时，3x＋≥λ恒成立， 由基本不等式，得3x＋≥2＝2， 当且仅当3x＝， 即x＝∈时，等号成立， 故λ≤2. 例2. (2025·菏泽模拟)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，=+x+y(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　B 解析　因为A，B，C，D四点共面，所以x+y+=1，则x+y=，又x>0，y>0， 所以xy≤=，当且仅当x=y=时取等号. 例3. 在△ABC中，点D在线段BC上，且满足||＝||，点E为线段AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 答案　D 解析　因为||＝||， 所以＝x＋y＝x＋4y， 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0， 所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4， 当且仅当＝， 即时取等号． 跟踪训练 1. (2026·苏州模拟)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 答案　B 解析　因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则=1，可得a=2， 因为0<x<a，则a-x>0， 所以+=+ =[x+(2-x)] = ≥=， 当且仅当=，即x=时，等号成立， 所以+(0<x<a)的最小值为. 2. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　) A. B. C．2 D. 答案　A 解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan＝， 所以b＝a，c＝＝2a. 所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时等号成立． 3. (2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得 d===， 显然当λ<0时，有最大值， 此时-=， 因为(-λ)+≥2=2，当且仅当λ=-1时等号成立， 所以≤=1，所以dmax=. 方法二　直线l恒过定点(1，-1)，故原点到直线l距离的最大值为. 4. (2025·海南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　.  答案　3 解析　因为Sn=n2+n， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 又当n=1时，a1=S1=2，满足an=2n，故an=2n， 则==+ ≥×2+=， 当且仅当n=，即n=3时，等号成立， 所以当n=3时，取得最小值. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 答案　C 解析　由椭圆C：+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6，则|MF1|·|MF2|≤=32=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立. 2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．4 答案　C 解析　因为|MF1|＋|MF2|＝6， 所以|MF1|·|MF2|≤＝＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立， 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 3．(2025·福州模拟)当x>0，y>0时，+≥，则实数m的最大值为(　　) A.9 B.8 C.4 D.1 答案　A 解析　因为当x>0，y>0时，+≥，可得(x+y)≥m， 又因为(x+y)=++5≥2+5=9， 当且仅当=，即y=2x时，等号成立， 可得m≤9，所以实数m的最大值为9. 4．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 答案　B 解析　设底面圆半径为r，则圆柱的高为2， 圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π， 当且仅当r＝，即r＝时等号成立． 5．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 6．已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) 答案　A 解析　由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0， 得＋＝1， 则3x＋2y＝(3x＋2y) ＝＋9＋4＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，即x＝y＝5时，等号成立，则t≤25. 故实数t的取值范围是(－∞，25]． 二、多项选择题 7．(2026·常州模拟)已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且=x+y，则下列说法正确的是(　　) A.x+2y=1 B.2x+y=1 C.2x+4y≥2 D.+的最小值是9 答案　ACD 解析　由题意可设=λ(0<λ<1)， 则=+=+λ =+λ(-)=(1-λ)+， 因为=x+y， 所以则x+2y=1，且x>0，y>0，A正确，B不正确； 2x+4y=2x+22y≥2=2， 当且仅当x=2y=时，等号成立，C正确； 又+=(x+2y) =1+4++≥5+2=9， 当且仅当=，即x=y=时，等号成立，D正确. 8．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 答案　ABC 解析　由于ex＋ey≥2＝2＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时取等号，故A正确； 由基本不等式得xy≤2＝4， 故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确； x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确； 由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)， 故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误． 9. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 答案　ABC 解析　由x>0，y>0，得xy>0， ≤x+2y恒成立， 即≤=+恒成立， 又+=(2x+y)=5++ ≥5+2=9， 当且仅当x=y=时，等号成立， 故≤9，即-9=≤0， 即 解得m<1或m≥. 10. 若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2－1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e 答案　ABD 解析　由a>1，b＝>1，得1<a<e2， 因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A正确； 因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确； ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1， 设t＝ln a∈(0,2)，所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增， 所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C错误； 设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确． 三、填空题 11．若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________． 答案　4 解析　由两直线平行可得ab＝2， 因为a，b均为正数， 所以利用基本不等式可得a＋2b≥2＝4， 当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立． 故a＋2b的最小值为4. 12. 若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.  答案　1 解析　∵正实数x，y满足x+y=2， ∴xy≤==1，当且仅当x=y=1时，等号成立，∴≥1， 又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1. 13．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为，， 若,则由对勾函数的性质可得在R上单调递增，不合题意； 当时，， 因为函数最小值为， 所以，解得. 四、解答题(共28分) 14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 15．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝4x－2x， 所以f(x)<m·2x－3可化为m>2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]， 使得m>2x＋3·2－x－1成立． 则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min， 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0,8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0,8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故m的取值范围是(2－1，＋∞)． 16. (2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且+=1. (1)求2x+y的最小值；(6分) (2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分) 解　(1)由题意知x>0，y>0， 则2x+y=(2x+y) =4+++1≥5+2=9， 当且仅当即x=y=3时取等号， 此时2x+y的最小值为9. (2)方法一　由题意知λ≤. 因为y=，x-2>0， 所以== ==9(x-2)++12 ≥2+12=24， 当且仅当9(x-2)=，即x=，y=4时，等号成立. 所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24]. 方法二　由+=1，得x+2y=xy>0，又λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立， 所以λ≤， 因为== =++12≥2+12=24， 当且仅当x+2y=xy>0，且=， 即x=，y=4时等号成立.所以λ≤24，即λ的取值范围为(-∞，24]. 17. (2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16 m，AD=12 m，设DF=x m，矩形AEGF的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分) (2)要使矩形AEGF的面积大于1 024 m2，则DF的长应在什么范围内？(7分) 解　(1)由题图知CD∥AE， 所以=，即=， 解得AE=， 所以y=·(x+12)=(x>0). 因为y==16 ≥16=768，当且仅当x=12时，等号成立， 所以当x=12时，y取得最小值768. (2)因为矩形AEGF的面积大于1 024 m2， 所以>1 024， 化简得x2-40x+144>0， 即(x-4)(x-36)>0， 解得0<x<4或x>36，即DF(单位：m)的取值范围为(0，4)∪(36，+∞). 18. 受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 解　(1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元， 则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)， 整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450， 又因为x∈N*， 所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50. (2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax得≥m－， 整理得m≤＋＋9； 由a≥a， 解得m≥＋1， 故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N*)恒成立， ＋＋9≥2＋9＝19， 当且仅当＝， 即x＝100时等号成立，所以m≤19， 因为100≤x≤200，x∈N*， 所以当x＝200时，＋1取得最大值15， 所以m≥15， 所以15≤m≤19， 即实数m的取值范围为[15,19]． 19. 已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP=　　　　　　　(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x=　　　　　　　.  答案　(6<x<12)　6 解析　如图2是图1沿着AC折叠后的图形，因为AB=x，则AD=12-x， 因为矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，则6<x<12，对折后AD=B'C=12-x，易得△ADP≌△CB'P， 设DP=B'P=y，则CP=x-y，在Rt△CB'P中，由勾股定理得(x-y)2=y2+(12-x)2， 整理得y=，即DP=(6<x<12)， △ADP的面积为S=·(12-x)·=-6+108， 因为6<x<12，则x+≥2=12，当且仅当x=，即x=6时，等号成立， 所以当x=6时，△ADP的面积最大. 20. 已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f+f=f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　.  答案　2 解析　因为f(x)=2 026x-2 026-x，x∈R， 所以f(-x)=2 026-x-2 026x =-(2 026x-2 026-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，f(0)=0， 若m>0，n>1，则f+f =f(sin 2 026π)=f(0)=0， 所以f=-f=f， 又f(x)在R上单调递增， 所以-2=-，即+=2，n+2m=2mn， 则2m=， 所以+= =3n+2m-4=3n+-4 =3(n-1)+≥2=2， 当且仅当3(n-1)=，即n=1+时，等号成立， 所以+的最小值为2. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第5讲 基本不等式的综合应用 探究核心题型 考点一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1 (2025·达州模拟)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.64 B.25 C.13 D.12 例2 若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+<m2+m有解，则实数m的取值范围为　　　　　　.  例3 已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9,1] 例4 若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 跟踪训练 1 (2026·遵义模拟)“a=9”是“不等式(x+y)≥8(a>0)对于任意正实数x，y恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|－2<m<2} B．{m|m>2} C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2} 3. 若两个正实数x，y满足x+2y=xy，且存在这样的x，y使不等式2x+y<m2+8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.(-1，9) B.(-9，1) C.(-∞，-9)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(9，+∞) 4. (2023·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 考点二 基本不等式的实际应用 例1. 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 例2. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x∈N*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=x∈N*，由市场调研知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 例3. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 例4. 某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 考点三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例1. 若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 例2. (2025·菏泽模拟)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，=+x+y(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 例3. 在△ABC中，点D在线段BC上，且满足||＝||，点E为线段AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 跟踪训练 1. (2026·苏州模拟)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 2. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　) A. B. C．2 D. 3. (2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 4. (2025·海南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，当取得最小值时，n=　　　　.  课时对点精练 一、单项选择题 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．4 3．(2025·福州模拟)当x>0，y>0时，+≥，则实数m的最大值为(　　) A.9 B.8 C.4 D.1 4．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 5．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，25] B．(－∞，25) C．(－∞，24] D．[24，＋∞) 二、多项选择题 7．(2026·常州模拟)已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且=x+y，则下列说法正确的是(　　) A.x+2y=1 B.2x+y=1 C.2x+4y≥2 D.+的最小值是9 8．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 9. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 10. 若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2－1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e 三、填空题 11．若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________． 12. 若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.  13．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 四、解答题(共28分) 14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 15．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 16. (2025·武汉模拟)已知x，y都是正数，且+=1. (1)求2x+y的最小值；(6分) (2)已知不等式λ(x+2y)≤(3x+2y)2恒成立，求实数λ的取值范围.(7分) 17. (2025·曲靖模拟)某村原有一块矩形ABCD场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF经过点C，如图所示.已知AB=16 m，AD=12 m，设DF=x m，矩形AEGF的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；(8分) (2)要使矩形AEGF的面积大于1 024 m2，则DF的长应在什么范围内？(7分) 18. 受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 19. 已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP=　　　　　　　(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x=　　　　　　　.  20. 已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f+f=f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $