2.3 练习2 两点间的距离公式 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕两点间距离公式，通过基础应用、综合拓展到证明探究的三层设计，实现从单一知识点到综合能力的递进，适配新授课知识巩固与推理能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一距离公式直接应用|选择题考查公式直接运算（如第1题求轨迹方程）| |综合应用|结合斜率/对称/几何图形的计算|填空与多选融合几何性质（如第9题等腰直角三角形顶点坐标）| |探究提升|坐标法证明与多步反射问题|解答题强化逻辑推理（如第14题坐标法证明直角三角形性质）|

2.3 练习2　两点间的距离公式 1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　B　) A. 4x＋2y＝5 B. 4x－2y＝5 C. x＋2y＝5 D. x－2y＝5 【解析】 设所求点为P(x，y)，则|AP|＝|BP|，即，化简得4x－2y＝5. 2. 已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|等于(　D　) A. 10 B. 180 C. 6 D. 6 【解析】 ∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率k＝，解得a＝10， ∴|MN|＝＝6.　 3. 过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则线段AB的长为 (　C　) A. 6 B. 2 C. D. 不能确定 【解析】 由题意知kAB＝1，即＝1，则b－a＝1，故|AB|＝. 4. 已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是(　B　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 【解析】 S＝ 可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，易知最小值是2. 5. 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝. 6. 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　B　) A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 【解析】 ∵l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，∴|OQ|＝，当m＝0时，|OQ|max＝2，∴|OQ|的最大值是2. 7. 若一束光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从点A经反射后到点B所经过的路程为(　B　) A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 【解析】 设A(－3，5)关于直线l：3x－4y＋4＝0的对称点为A'(x'，y')，连接A'B，则根据题意有解得易知所求的路程即为|A'B|，∴由两点间的距离公式得所求路程为|A'B|＝＝5. 8. (多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　BC　) A. (－4，5) B. (－1，2) C. (－3，4) D. (1，－5) 【解析】 设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且，两式联立解得或 9. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　AC　) A. (2，0) B. (0，2) C. (4，6) D. (6，4) 【解析】 设B(x，y)，根据题意可得 即 解得或∴B(2，0)或B(4，6). 10. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 　.  【解析】 设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，∵|a－b|＝，∴|AB|＝|a－b|＝. 11. 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(2，－1)，则线段AB的长是　2　.  【解析】 设A(x，0)，B(0，y)，∵线段AB的中点M(2，－1)，∴∴x＝4，y＝－2，∴A(4，0)，B(0，－2).∴|AB|＝＝2. 12. (2024·绍兴一中检测)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为 　.  【解析】 ∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，|AB|取得最小值. 13. 已知等腰梯形ABCD.证明：AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等. 证明： 以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(－a，0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a，0)，C(－b，c)，则|AC|＝，|BD|＝， ∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形的对角线相等. 14. 用坐标法证明： (1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等； (2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 证明： (1)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝，D为斜边BC的中点， ∴以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a，0)，C(0，b)，则D， ∴|DA|＝，|DC|＝， |DB|＝， ∴|DA|＝|DC|＝|DB|，即在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等. (2)如图所示，在△ABC中，D为边BC的中点，∴以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B(a，0)，a≠0，C(b，c)，则D， ∵|CD|＝|DB|＝|DA|，∴，即ab＝0.∵a≠0，∴b＝0，∴C(0，c)，∴AC⊥AB，∴若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 15. 如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)两点，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则图中光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|等于(　A　) A. 2 B. 6 C. 3 D. 2 【解析】 作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，得|PM|＋|NM|＋|NP|＝|CD|，易得C(－2，0)，P(2，0)，直线AB的方程是x＋y－4＝0，设D(m，n)，则得即D(4，2)，∴|CD|＝＝2. 16. 对任意实数a，b，c，d，证明：≥. 证明： 在平面直角坐标系中，设点A(a，c)，B(b，d)，则有|AB|＝，|OA|＝，|OB|＝，若O，A，B三点不共线，则构成△AOB，有|OA|＋|OB|＞|AB|；若O，A，B三点共线，且O在线段AB之间，有 |OA|＋|OB|＝|AB|.综上所述，|OA|＋|OB|≥|AB|， 即≥，∴原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 练习2　两点间的距离公式 1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( 　) A. 4x＋2y＝5 B. 4x－2y＝5 C. x＋2y＝5 D. x－2y＝5 2. 已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|等于( 　) A. 10 B. 180 C. 6 D. 6 3. 过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则线段AB的长为 ( 　) A. 6 B. 2 C. D. 不能确定 4. 已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是( 　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 5. 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( 　) A. B. C. D. 6. 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是( 　) A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 7. 若一束光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从点A经反射后到点B所经过的路程为( 　) A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 8. (多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( 　) A. (－4，5) B. (－1，2) C. (－3，4) D. (1，－5) 9. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是( 　) A. (2，0) B. (0，2) C. (4，6) D. (6，4) 10. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 .  11. 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(2，－1)，则线段AB的长是 .  12. (2024·绍兴一中检测)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为 .  13. 已知等腰梯形ABCD.证明：AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等. 14. 用坐标法证明： (1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等； (2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 15. 如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)两点，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则图中光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|等于( 　) A. 2 B. 6 C. 3 D. 2 16. 对任意实数a，b，c，d，证明：≥. 学科网（北京）股份有限公司 $