18.2.1分式的乘除-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式乘除运算，通过长方体容器水深、拖拉机工作效率等实际问题导入，联系分数乘除法则构建学习支架，帮助学生从具体实例抽象出分式乘除法则，形成“实际问题—分数运算—分式法则—应用”的知识脉络。 其亮点在于结合试验田产量比较等实际情境培养数学眼光，通过分步解题（因式分解、提前约分）发展运算能力与推理意识，用公式符号规范数学语言。例题分层、易错点总结及分式运算框架图，助力学生规范解题提升能力，教师可直接用于教学提高效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 18.2.1分式的乘除 第十八章 分式 18.2.1 分式的乘除 总结与练习 一、学习目标 1. 掌握分式乘法、除法的运算法则，理解法则与分数乘除的关联； 2. 熟练完成单项式、多项式型分式的乘除运算，规范解题步骤； 3. 掌握分式乘除混合运算顺序，做到运算规范、结果最简。 二、核心运算法则（必背） 1. 分式乘法法则 文字描述：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 公式表示：$$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd} \ \ (b e0,d e0)$$ 2. 分式除法法则 文字描述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式表示：$$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc} \ \ (b e0,c e0,d e0)$$ 口诀：除法变乘法，除式上下翻 3. 整式与分式乘除规则 整式可以看成分母为1的分式，再参与运算。 例：$$x\cdot \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{1}\cdot \dfrac{1}{x-1}$$ 三、分式乘除满分解题步骤（重中之重） 第一步：统一形式：除法全部变乘法，颠倒除式分子分母； 第二步：因式分解：分子、分母中的多项式，全部因式分解（提公因式、平方差、完全平方）； 第三步：提前约分：相乘之前先交叉约分，只约整体公因式，简化计算； 第四步：相乘整理：剩余分子、分母分别相乘； 第五步：检查最简：结果必须为最简分式或整式，首项为正。 核心原则：先分解、先约分，后相乘（避免大数、复杂式子运算） 四、经典例题精讲（由浅入深） 例1 单项式分式乘法 计算：$$\dfrac{2x^2}{3y}\cdot \dfrac{6y}{5x}$$ 解：原式$$=\dfrac{2x^2\cdot 6y}{3y\cdot 5x}=\dfrac{12x^2y}{15xy}=\dfrac{4x}{5}$$ （先交叉约分：约去3、x、y，再相乘） 例2 单项式分式除法 计算：$$\dfrac{4a^2}{b}\div \dfrac{2a}{b^2}$$ 解：原式$$=\dfrac{4a^2}{b}\cdot \dfrac{b^2}{2a}=\dfrac{4a^2b^2}{2ab}=2ab$$ 例3 多项式分式乘法（必考） 计算：$$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\cdot \dfrac{x}{x-2}$$ 解：先因式分解 原式$$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\cdot \dfrac{x}{x-2}$$ 全部约分后，结果为 $$1$$ 例4 多项式分式除法（拔高） 计算：$$\dfrac{x^2-6x+9}{x+1}\div \dfrac{x-3}{x^2-1}$$ 解：原式$$=\dfrac{(x-3)^2}{x+1}\cdot \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-3}$$ 约分后：$$(x-3)(x-1)=x^2-4x+3$$ 五、高频易错重难考点 1. 除法不变形：忘记将除法变乘法、颠倒除式分子分母，直接计算； 2. 多项式不分解直接算：未因式分解就相乘，无法约分，式子复杂易错； 3. 乱约分：只能约整体因式，严禁约多项式中的单项（如 $$\dfrac{x+1}{x}$$ 不能约分）； 4. 符号出错：遇到互为相反数因式，未变号统一，约分出错； 5. 运算顺序错误：乘除混合运算，从左到右依次计算，不能随意调换顺序。 六、课时同步练习题 一、选择题 1. 计算$$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a^2}$$的结果是（） A. $$a$$   B. $$\dfrac{1}{a}$$   C. $$b$$   D. $$\dfrac{1}{b}$$ 2. $$\dfrac{2x}{y}\div \dfrac{4x^2}{y^2}$$的结果是（） A. $$\dfrac{y}{2x}$$   B. $$\dfrac{2x}{y}$$   C. $$\dfrac{y^2}{2x}$$   D. $$2xy$$ 3. 下列分式运算正确的是（） A. $$\dfrac{x^2}{y^2}\cdot \dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{y}$$   B. $$\dfrac{1}{x}\div \dfrac{1}{y}=\dfrac{x}{y}$$ 二、填空题 4. 分式除法法则：除以一个分式，等于乘以这个分式的________。 5. $$\dfrac{3x}{y^2}\cdot \dfrac{2y}{9x^2}=$$________。 6. $$\dfrac{x^2-1}{x}\div (x-1)=$$________。 三、解答题 7. 计算下列各题： （1）$$\dfrac{5a^2b}{2c}\cdot \dfrac{4c^2}{10ab}$$ （2）$$\dfrac{x^2-9}{x^2-4x}\div \dfrac{x+3}{x-4}$$ 8. 混合运算：$$\dfrac{a^2-2a}{a+1}\cdot \dfrac{a^2-1}{a^2-4a+4}$$ 七、参考答案与详细解析 一、选择题 1. B  解析：原式$$=\dfrac{ab}{a^2b}=\dfrac{1}{a}$$。 2. A  解析：原式$$=\dfrac{2x}{y}\cdot \dfrac{y^2}{4x^2}=\dfrac{y}{2x}$$。 3. A  解析：B选项应为$$\dfrac{y}{x}$$，A运算正确。 二、填空题 4. 倒数 5. $$\dfrac{2}{3xy}$$ 解析：约分后相乘即可。 6. $$\dfrac{x+1}{x}$$ 解析：原式$$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\cdot \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x}$$。 三、解答题 7. 解： （1）原式$$=\dfrac{20a^2bc^2}{20abc}=\boldsymbol{ac}$$ （2）原式$$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x(x-4)}\cdot \dfrac{x-4}{x+3}=\boldsymbol{\dfrac{x-3}{x}}$$ 8. 解： 原式$$=\dfrac{a(a-2)}{a+1}\cdot \dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-2)^2}$$ 约分后得：$$\boldsymbol{\dfrac{a(a-1)}{a-2}}$$ 变式1：一个水平放置的长方体容器的容积为 V，底面面积为 S，当容器内的水深占容积高的 时，水面的高度为多少? 问题1：一个水平放置的长方体容器的容积为 250，底面面积为 50，当容器内的水深占容积高的 时，水面的高度为多少? 分式的乘法 问题2：大拖拉机 3 天耕地 10 hm2，小拖拉机 4 天耕地 9 hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 变式2：大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 分式的除法 【合作探究】观察分数的乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？ 探究点一： 分式的乘除 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式的乘法法则： 分式的除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 探究点一： 分式的乘除 算一算 上述法则用式子表示为： 探究点一： 分式的乘除 例1 (教材P146例1)计算： 类型一：分子分母是单项式 结果约分为最简形式 探究点一： 分式的乘除 类型二：分子分母是多项式 例2 (教材P147例2) 计算： 解：原式 = ①分子、分母是多项式时，先分解因式 ②约分 结果约分为最简形式 ； 探究点一： 分式的乘除 = 解：原式 = ①先把除法转化为乘法. 负号怎么得来的？ 注：整式与分式运算时，可以把整式看成分母是 1 ② 分解因式 ③约分 结果约分为最简分式 探究点一： 分式的乘除 思考：本题中 x 的取值不能为哪些数？ 总结 根据分式乘除法则将式子先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分式有意义！ 【练一练】 1. 先化简，再求值 探究点一： 分式的乘除 例3 (教材P147例3)“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m 的正方形减去一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 (a - 1) m 的正方形，两块试验田都收获了 500 kg小麦. (1) 哪种小麦的单位面积产量高？ (2) 高的单位面积产量是低的单 位面积产量的多少倍？ 1 m a m (a-1) m 探究点二： 分式的乘除的实际应用 a m 1 m (a－1) m 解：(1)“丰收 1 号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，单位面积产量是 kg/m2； “丰收 2 号”小麦的试验田面积是 (a－1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2. 探究点二： 分式的乘除的实际应用 因为 a＞1， 所以 (a－1)2＞0，a2－1＞0， 由图，可得 (a－1)2＜ a2－1， 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 所以 a m 1 m (a－1) m 探究点二： 分式的乘除的实际应用 (2) 所以，“丰收 2 号”小麦的单位面积产量是“丰收 1 号”小麦的单位面积产量的 倍. (2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 探究点二： 分式的乘除的实际应用 【练一练】 2.一条船往返于水路相距 100 km 的 A，B 两地之间，已知水流的速度是每小时 2 km，船在静水中的速度是每小时 x km (x＞2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______. 【解析】顺流速度为 (x + 2) km/h，逆流速度为 (x - 2) km/h，由题意得 探究点二： 分式的乘除的实际应用 1. 教材P146例1 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. 化简 的结果是( ) A A. B. C. D. 3. 若“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是( ) B A. 1 B. 2 C. 4 D. 返回 中考考法 16 4. 下面是某同学化简式子 的过程，则横线上依次填入的序号为( ) . C ；；； . A. ③②① B. ③①② C. ④②① D. ④①② 返回 中考考法 17 5.已知，则式子 的值是___. 6. 八年级的三名同学在一起讨论一个分式乘 法题目： 4 甲：它是一个整式与一个分式相乘. 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解. 丙：计算结果是 . 请写出一个符合上述条件的题目:________________________ ____. （答案不唯一） 返回 中考考法 18 7.请从，， 中选取两个式子相乘并化 简，再从 ，1，2中选择合适的数代入求值. 【解】选取， 两个式子相乘， .当 时， .（答案不唯一） 返回 中考考法 19 分式的运算 分式的基本性质 约分 乘法法则 除法法则 结果化为 完成下列框架图 最简分式或整式 课堂小结 $