18.5.2 分式方程的应用课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的应用，从已学分式方程解法过渡到实际问题解决，通过复习一元一次方程解应用题步骤搭建支架，帮助学生实现知识迁移，系统呈现工程、行程等问题的等量关系分析与方程构建过程。 其亮点在于采用列表法解析工程问题抽象数量关系，行程问题用字母表示已知量培养符号意识，结合参观纪念馆、零件制作等实际情境练习，落实模型意识与应用意识。归纳流程清晰，“大美数学”链接生活，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学资源。

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 我们已经掌握分式方程的解法，生活里的行程、工程问题该如何用它解决？今天就让我们走进分式方程的应用，用数学模型破解现实难题 18.5.2 分式方程的应用 学习目标 1.理解数量关系正确列出分式方程. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 用一元一次方程解实际问题的步骤： 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？ 找等量关系 复习引入 　　问题1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 　　分析：本题是一道工程问题，可将总工程量记为 1． 　　数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间． 例题解析 设乙单独完成这项工程需要 x 月. 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 工作时间(月) 工作效率之和 工作总量 甲单独 两队合作 1 解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的，可知乙队的施工速度快. 解题反思 解决工程问题“两手都要抓” 　　解决工程问题时， 一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系； 二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解． 知识归纳 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系； （2）设：设出未知数； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：解方程； （5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解； ②检验求得的解是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案． 例题解析 　　问题 3　某次列车平均提速 v km/h．在相同的时间内，列车提速前行 驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少? 想一想 　　如何理解问题中的字母 v 和s？ 已知量 　　提速前列车的平均速度为 x km/h 想一想 　　如果设提速前列车的平均速度为 x km/h，那么列车提速后的平均速度为多少？ 　　提速后列车的平均速度 　为(x+v) km/h +平均提速 v km/h 　？ 　　表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（或未知量），也可以表示已知数（或已知量）． 想一想 　　问题中用来列方程的相等关系是什么？ 提速前列车行驶 s km 所用时间＝提速后列车运行(s＋50) km 所用时间 想一想 　　根据相等关系列出的方程是什么？ 行程问题：路程 = 速度×时间 　　解：设提速前列车的平均速度为x km/h． 　　根据题意，得 ． 　　两边同乘 x(x＋v)，得 s(x＋v)＝x(s＋50)． 　　解得 x＝ ． 　　检验：由 v，s 都是正数，得x＝ 时x(x＋v)≠0． 　　所以原分式方程的解为 x＝ ． 　　答：提速前列车的平均速度为km/h． 解题反思 　　上面题目中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．列出的方程=是以 x为未知数的分式方程，其中v，s 是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数． 　　根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题． 解应用题时，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程． 巩固练习 　　1. 八年级学生去距学校 30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一 部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同 时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度． 大巴行驶 30 km 所用时间－中巴行驶 30 km 所用时间＝ 5 min 平均速度为 x km/h 平均速度为 1.2x km/h 　　1. 八年级学生去距学校 30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一 部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同 时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度． 　　解：设大巴的平均速度是 x km/h，则中巴的平均速度为1.2x km/h． 根据行驶时间的相等关系，得 ． 　　解得 x＝60． 　　检验：当x＝60时，x≠0，1.2x≠0 ． 　　所以，原分式方程的解为 x＝60． 　　答：大巴的平均速度为 60 km/h． 　　2. 甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零 件多少个． 甲做 90 个零件所用时间＝乙做 60 个零件所用时间 x 个/小时 (x－6)个/小时 　　2. 甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零 件多少个． 解：设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做(x－6)个零件，根据两人做零件所用时间的相等关系，得 　　　　　　　　　　　　 　　　　　 ． 　　解得 x＝18． 　　检验：当x＝18时，x(x－6)≠0． 所以，原分式方程的解为 x＝18 ．因此，x－6＝12． 　　答：甲每小时做 18 个零件，则乙每小时做 12 个零件． 拓展延伸 3. “四书五经”是一部被中国人读了几千年的教科书，是我们了解中国古代社会的一把钥匙. 某学校计划分阶段引导学生读这些书，决定先购买《论语》和《孟子》供学生阅读，已知用 1000 元购买《孟子》的数量是用 800 元购买《论语》的数量的 2 倍，《孟子》的单价比《论语》的单价少 15 元.则《论语》和《孟子》的单价各是多少元? 解：设《孟子》的单价为 x 元，则《论语》的单价为 ( x + 15 ) 元. 解得 x = 25. 经检验 x = 25 是原方程的解，且符合题意， ∴ x + 15 = 25 + 15 = 40 . 答：《论语》和《孟子》的单价分别是 40 元和 25 元. 根据题意，得 归纳小结 　　回顾本节课所学的主要内容，思考并回答以下问题：　 　　（1）列分式方程解决实际问题的一般过程是什么？ 　　（2）在运用分式方程解决实际问题的过程中，需要注意什么问题？ 分式方程 整式方程 整式方程的解 分式方程的解 实际问题的解 实际问题 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 课外作业 必做题：教科书习题 18.5 第 3，4，5 题． 选做题：配套练习册 大美数学 分式方程的应用，是从杂乱的现实情境里提炼等量关系，把实际问题转化为数学模型，求解后再还原回生活 —— 这像极了我们面对人生难题的思路：先拨开表象的迷雾，抓住问题的核心本质，再用已知的方法拆解、求解，最后落地到实际行动中。就像解工程问题时先设未知数、找等量关系，我们规划人生目标时也该先明确方向、梳理条件，一步步推进。 在生活中，你有没有过把生活中的具体问题 “梳理成模型” 再解决的经历？比如规划零花钱分配，或是计算出行时间？分式方程的应用，正是数学融入生活的缩影。 $