第06讲 曲线运动（关联速度、平抛运动、斜抛运动、临界问题、与斜面结合、与曲面结合）（暑假·培优讲义）新高三物理高考复习

第06讲 曲线运动（培优讲义） （关联速度、平抛运动、斜抛运动、临界问题、与斜面结合、与曲面结合） 课标要点 1.知道曲线运动的速度方向沿切线方向，理解物体做曲线运动的条件——合外力方向与速度方向不在同一直线上，能结合生产生活实例说明曲线运动的特征。 2.掌握运动的合成与分解方法，能运用合运动与分运动的等时性、独立性、等效性分析具体问题，理解“化曲为直”的思想方法。 3.掌握平抛运动的规律，能用运动的合成与分解方法分析抛体运动（平抛、斜抛），能处理平抛运动与斜面、竖直面等结合的综合问题。 1.理解曲线运动的条件和特征；通过实例分析（如砂轮打磨、链球运动），理解曲线运动速度方向沿切线方向、合外力指向轨迹凹侧的物理意义。 2.通过小船过河、关联速度等经典模型，掌握运动的合成与分解的基本操作。 3.通过平抛运动规律的理论推导和实验验证，掌握“水平匀速、竖直自由落体”的分解方法；通过平抛与斜面、圆弧等结合的问题，培养“化曲为直”和“几何约束”的综合分析能力。 方法指导 考点01 小船渡河模型 小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度 v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度 v水） 2. 运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【针对训练】某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 【答案】B 【详解】A．最短渡河时间 ，故A错误； B．垂直河岸方向满足，因此离河岸距离与时间成正比，水流速度随的变化等价于随的变化； 沿河岸位移等于图像的面积，为三角形，面积，故B正确； C．前50s随线性增大，后50s随线性减小，加速度，大小始终恒定，故C错误； D．船速是水流速度和船静水速度的合速度，两个方向垂直，最大合速度出现在最大时：，故D错误。 故选B。 考点02 关联速度模型 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【针对训练】（多选）图为简化后的纤夫拉船俯视图，甲、乙两人在河岸上，以恒定的速度平行河岸向右行走，通过不可伸长的轻绳拖船，船沿平行河岸方向行进。、、绳始终在同一水平面，、绳的夹角为且张力大小均为，则有（     ） A．船的速率为 B．船的速率为 C．绳对船的拉力大小为 D．绳对船的拉力大小为 【答案】AD 【详解】AB．甲、乙均以恒定速度沿河岸向右运动，绳子不可伸长，结点O随甲乙一起以向右运动，拉船的OP绳方向不变，船沿平行河岸方向行进，因此船的速率等于结点O的速率，大小为，故A正确，B错误； CD．AO、BO绳的张力大小均为，夹角为，根据力的平行四边形定则，两个大小相等、夹角为的力的合力为 该合力就是绳对船的总拉力大小，故C错误，D正确。 故选AD。 考点03 平抛运动的规律和应用 1. 核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 【深化点拨】 1．冲量的理解 （1）冲量是过程量，它描述的是力作用在物体上的时间累积效应，求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）冲量是矢量，冲量的方向与力的方向相同。 【针对训练】如图所示，两把手枪在同一位置先后沿水平方向射出一颗子弹两子弹质量不同，打在远处的同一个靶上。A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　 ） A．两颗子弹在空中运动时动量变化率相等 B．甲枪射出的子弹初速度较大 C．两颗子弹从射出至打到靶上的时间一样长 D．两颗子弹均在空中做变加速曲线运动 【答案】B 【详解】AD．子弹在空中只受重力作用，速度逐渐增大，做匀变速曲线运动，根据动量定理有 因子弹的质量不相等，两颗子弹在空中运动时动量变化率不相等，故AD错误； BC．由于甲枪子弹下降高度小，时间短，又因水平位移相等，所以甲枪子弹的初速度大，故B正确，C错误。 故选B。 考点04 斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度 v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3. 关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程 y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 【针对训练】如图所示，质量为的足球从水平地面的位置1被踢出，经过高度为的最高位置2，最后落在水平地面的位置3。足球被踢出时速度大小为，方向与水平地面成角，到达位置3时速度方向与水平地面成角。已知足球在空中运动时所受空气阻力的大小与速度成正比，方向与速度方向相反，即，且，则足球（     ） A．在位置2处的动能为 B．在位置2处的机械能为 C．整个运动过程中的位移大小为 D．在2到3过程中克服空气阻力做功为 【答案】B 【详解】AB．足球受重力和空气阻力。将运动分解为水平方向（x）和竖直方向（y）。水平方向 解得 竖直方向：取向上为正方向。上升阶段 下降阶段 此时，阻力向上，重力向下，方程形式一致。故竖直方向统一方程为 由题设 即 竖直速度通解为 已知， 所以， 在位置2，竖直分速度 即 解得 此时水平速度即为合速度 此时的动能为 机械能为，故A错误，B正确； C．在位置3，速度方向与水平成，且向下，故 即 可得 水平位移（即总位移大小，因为起止点在同一水平面） 联立，可得，故C错误； D．从位置2到位置3，根据动能定理 在位置3时速度大小为 其中，， 则足球在位置3的动能为 联立，解得，故D错误。 故选B。 考点05 平抛运动与斜面的结合分析 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【针对训练】在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设炸弹的初速度为，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，则有 可得 设炸弹在空中运动时间为，则有， 可得炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为 故选A。 考点06 平抛运动与曲面的结合分析 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 【针对训练】（多选）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 【答案】AC 【详解】A．前后两次小球下落的高度相同，则时间相同，根据，可知下落过程中小球的速度变化量相等，A正确； BC．根据平抛运动的规律，末速度的反向延长线经过水平位移的中点，可知从C点弹出的小球在点的速度沿方向，若设D点在OB上的投影点为E点，则由几何关系可知CO=OE=0.5R，则AC=0.5R，B错误，C正确； D．水平方向根据可知小球两次落在点的水平位移之比为3:2，则水平速度大小之比为，竖直速度相等，根据可知小球两次落在点的速度大小之比不等于，D错误。 故选AC。 逆向、对称、极限等物理思维在抛体运动中的应用 在高中物理曲线运动中，逆向、对称、极限三大物理思维是破解复杂问题的关键： 1. 逆向思维 将末状态视为初状态反向推理。 应用：竖直上抛运动可视为自由落体的逆过程（时间、速度对称），平抛运动中从落点反推初速度。 例：物体从斜面抛回原点问题，逆转为平抛计算时间。 2. 对称性分析 利用轨迹或过程的几何/时间对称性简化问题。 斜抛运动：轨迹关于最高点轴对称，上升与下降时间相等，水平位移对称。 圆周运动：匀速圆周中速度、加速度大小周期性对称；非匀速圆周中常找特殊对称点（如最高点、最低点）分析受力。 3. 极限思想 通过极端假设（如速度极大/小、角度趋近0°或90°）分析临界状态。 斜面抛体：倾角θ→90°时射程趋近于0，验证结论 R=（2v02tanθ）/g​。 考查核心： 逆向：转换视角，化难为易； 对称：减少计算，直击本质； 极限：界定范围，突破临界。 掌握三者可高效解决轨迹分析、临界条件、极值求解等难题 角度01 小船渡河模型 【拓展训练】如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 【答案】D 【详解】AB．把、分别沿着河岸和垂直河岸分解，则在垂直河岸方向有 沿着河岸方向有 联立解得，，故AB错误； CD．小船渡河位移大小为 渡河时间为，故C错误，D正确。 故选D。 角度02 关联速度模型 【拓展训练】如图所示为拍电影时吊威亚的情景简化图。工作人员A向左运动，用绕过定滑轮的轻绳（不可伸长）将演员B竖直向上吊起。不计轻绳和定滑轮之间的摩擦，演员B沿竖直方向匀速上升的过程中，下列说法正确的是（     ） A．演员B的机械能不变 B．轻绳对定滑轮的作用力减小 C．工作人员A对地面的压力减小 D．工作人员A向左做加速运动 【答案】B 【详解】A．演员B匀速上升，其动能不变，但重力势能增加，所以演员B的机械能增大，故A错误； B．由分析可知，由于演员B匀速上升，受力平衡，所以轻绳的拉力大小始终等于演员B的重力，即 设两段轻绳间的夹角为，则有轻绳对定滑轮的作用力为 当工作人员A向左运动时，逐渐增大，则逐渐减小，所以轻绳对定滑轮的作用力会减小，故B正确； C．设轻绳与地面的夹角为，地面对工作人员A的支持力为，则对工作人员A进行受力分析，在竖直方向上有 解得 当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐减小，由于和不变，所以地面对工作人员A的支持力增大。根据牛顿第三定律可知，工作人员A对地面的压力增大，故C错误； D．将工作人员A的速度沿绳方向和垂直绳方向进行正交分解，则沿绳方向的分速度等于B的速度，即 解得工作人员A的速度为 演员B匀速上升，其速度保持不变，当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐增大，所以逐渐减小，即工作人员A向左做减速运动，故D错误。 故选B。 角度03 平抛运动的规律 【拓展训练】（多选）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由点削出，从到与从到的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该面片从到的速度变化率比到的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从到P与从到过程，重力做功的平均功率之比为4：13 【答案】CD 【详解】A．面片做平抛运动，只受重力作用，加速度恒为重力加速度，根据加速度定义可知，速度变化率保持不变，故A错误； B．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，运动时间由高度决定，即 落到锅里的面片，若下落高度相同，则在空中运动时间相同，飞得远说明水平初速度较大，故B错误； C．设从到的时间为，则从到的时间为，从到的总时间为。面片在竖直方向做自由落体运动，点竖直分速度 点竖直分速度 重力做功的瞬时功率 则该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为，故C正确； D．从到过程，竖直方向平均速度 重力做功的平均功率 从到过程，竖直方向平均速度 重力做功的平均功率 则从到与从到过程，重力做功的平均功率之比为，故D正确。 故选CD。 角度04 斜抛运动 【拓展训练】如图所示，一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以与水平方向成夹角的初速度v从离地处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接从篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为，篮球抛出点到篮筐中心的水平距离。重力加速度g取，忽略空气阻力及篮球大小，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设上升时间为，则下降时间为，由几何关系得 求得 水平方向为匀速直线运动 投出时竖直方向的初速度为 求得， 故， 故选A。 角度05 平抛运动与斜面相结合 【拓展训练】一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因OP的连线与斜面垂直，由几何关系得位移的偏转角为，设运动时间为t，水平方向 竖直方向 由 解得 故选B。 角度06 平抛运动与曲面相结合 【拓展训练】如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 【答案】D 【详解】AC．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，由此可知甲球不可能垂直打在圆弧BC上的某点，所以乙球落点处速度方向与圆弧垂直，因为速度的反向延长线过圆心，所以乙球的水平位移为R，根据几何关系可知乙球下落的高度为 解得，故AC错误； B．根据动量定理，有 因为质量相等，下落时间相等，所以甲、乙两球在运动过程中动量变化量相同，故B错误； D．对甲球在水平方向，有 乙球在水平方向上，有 联立可得甲、乙两球初速度大小之比为，故D正确。 故选D。 角度05 平抛运动中的临界问题 【拓展训练】如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】飞镖做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向为匀速直线运动。设飞镖从射出到落地总时间为，总下落高度为，由 可得总时间 总水平位移为 设射出点到障碍板的水平距离为，落点到障碍板的水平距离为，则满足 要使最大，需要使最小。矩形孔下沿距地面高，孔高，因此孔上沿距地面高。飞镖到达障碍板时，位置高度满足 对应下落高度满足 飞镖到达障碍板的时间 下落高度 代入得 可得的最小值 将代入的表达式得 故选D。 1．如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 【答案】C 【详解】AB．竖直方向上，根据自由落体运动公式，可得飞行时间 因为排球从同一高度抛出，且落在同一水平面上，所以下落高度h相同，故三次飞行的时间相等，即ta = tb = tc，故A错误，B错误； CD．水平方向上，根据匀速直线运动公式，可得初速度 由图可知，排球的水平位移关系为，且已知飞行时间t相等，所以初速度满足，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为）：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半圆形轨道半径为，小物块质量为，到达轨道上端的速度为。轨道光滑，机械能守恒，有 整理得 小物块从上端水平飞出后做平抛运动，竖直方向下落高度为，在竖直方向，做自由落体运动，得 解得运动时间 水平落地点距离 代入和，得 x最大时，根号内的二次函数取最大值。对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处，代入得 因此距离最大时对应轨道半径为。 故选B。 3．在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 4．在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设水从出水口射出的初速度为，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为 根据平抛运动规律 解得 根据功能关系得 联立解得水泵的输出功率为 故选B。 【点睛】 5．某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，两点的间距每秒均匀缩短，当时，下列说法正确的是（     ） A．与两点速度大小相等，方向相反 B．点速度方向竖直向上，大小为 C．点速度方向沿向上，大小为 D．点相对点的速度沿水平方向，大小为 【答案】BD 【详解】ABC．由题意可知，四边形ABCD是菱形，摇动手柄竖直抬升重物过程中，B点的速度方向竖直向上，A、C两点的速度方向分别垂直AD、CD方向，大小相等，A、C两点的间距每秒均匀缩短2mm，可知A、C两点速度的水平分量大小相等为 当时，B点和C点沿BC方向的分速度大小相等，即 又 可得， A、C两点的速度大小相等，方向相互垂直，故AC错误，B正确； D．A、C两点竖直方向的速度大小相等，方向相同，水平方向速度大小相等，方向相反，所以A点相对C点的速度沿水平方向，大小为，故D正确。 故选BD。 6．如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 【答案】AC 【详解】方法一 根据题意可知，运动员某次以击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 可得 A．保持v、x、h不变，减小θ，则球竖直向下的初速度大于零，水平方向的分速度小于，竖直方向根据 可知 水平方向 可知排球一定下网，故A正确； B．设球抛出时与水平方向的夹角为（），落地时速度为，画出速度的矢量三角形，如图所示 在矢量三角形ABC中，面积 水平位移 联立可得 即三角形面积最大时，水平位移最大，又 根据动能定理可知落地时速度为定值，也为定值，当即时，有最大值，即末速度方向与初速度方向垂直时，水平位移有最大值，显然当球水平抛出时，末速度方向与初速度方向夹角为小于90°，根据数学知识可知，保持v、x、h不变，增大θ，排球的水平射程先增大后减小，可知排球可能会出界，故B错误； C．保持θ不变，增大x同时减小h，根据可知球抛出到网顶点的时间变小，要能过网，则需要增大初速度，设恰好能过网的初速度为，设网高为，球到网顶点竖直方向的速度变小，过网后，竖直方向根据可知球运动的时间比增大x同时减小h前长，水平方向的位移比增大x同时减小h前大，故一定会出界，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则球竖直向上向的初速度不为零，根据可知时间变大，故D错误。 故选AC。 方法二 根据题意可知，运动员某次以θ = 90°击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 以击球点a为原点建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向则排球轨迹方程为 排球贴近网顶飞过，则 解得 设对方底线位于（L，－H）处排球恰好落在对方底线上，则 解得 A．保持v、x、h不变，减小θ，即θ<90°，此时初速度有向下的分量。将速度分解有vx=vsinθ，vy=－vcosθ 在网顶x = x处，排球的高度为 利用，可得 θ = 90°击球时网顶高度为－h。有 因此y <－h排球在网顶处的高度低于网顶，一定下网，故A正确； B．保持v、x、h不变，增大θ，即θ>90°此时，初速度有向上的分量。令α = θ－90°（0° < α < 90°），则vx = vcosα，vy = vsinα 落地时间t满足 解得 水平射程 θ = 90°击球时射程 对S在α = 0°处求导 说明从θ = 90°开始增大，射程最初会增加，落点将超出底线。因此增大θ并非“一定不会出界”，而是可能出界，故B错误； C．保持θ不变（即仍为90°平抛），增大x同时减小h，平抛轨迹仍为 改变后的网的水平距离为x′ > x，竖直高度差为h′ < h，若排球不下网，需满足在x′处y′ ≥－h′即 解得 根据，且x′ > x，则有 因此不可能成立。即在增大x、减小h′的条件下，排球必定下网，“不下网”的情况根本不会发生，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则θ>90°，初速度有竖直向上的分量 设增大后的速度为，竖直初速度。落地时间为t，由 解得 基准平抛时 因为，显然有 解得t > t0 故飞行时间一定增大，不可能与基准时间相同，故D错误。 故选AC。 7．某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 【答案】AD 【详解】ACD．设落点与O点的竖直高度为h，水平位移为，初速度与水平方向的夹角为，将初速度沿水平和竖直方向分解，可得， 同时有 联立可得 设落到圆弧上的速度为，根据机械能守恒 解得 故可知越小，v越小，故当时，h取最小值，落到圆弧上的速度最小； 解得，，，故AD正确，C错误； B．根据前面分析，当，时， 代入解得，，故B错误。 故选AD。 8．一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．根据图像可得，，故两力的合力为 物块在y轴方向受到的力不变为，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； B．在y轴方向的加速度为 故时，物块的y坐标值为 故B正确； C．时，，故此时加速度大小为 故C错误； D．对x轴正方向，对物块根据动量定理 由于F与时间t成线性关系故可得 解得 此时y轴方向速度为 故此时物块的速度大小为 故D正确。 故选BD。 9．如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 1．将两小球A、B从水平地面同一地点斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角，不同，两球再落到水平地面时与抛出点相距均为，已知重力加速度为，不计阻力，则以下说法正确的是（　　） A．两小球在空中运动时单位时间速度的变化量不相同 B．两小球在空中运动时间相同 C．A球落地时的速度大小满足 D．，两角互余 【答案】D 【详解】A．两球均为斜抛运动，在水平方向速度保持不变，仅在竖直方向受到重力作用，加速度均为，故单位时间速度变化量等于加速度，故单位时间速度变化量相同，故A错误； B．两球运动时间均由竖直方向运动决定，从抛出到落回，有， 联立解得 两球初速度大小相等但不同，故运动时间不同，故B错误； C．两球在水平方向移动距离即为射程，有 将代入有 不计空气阻力，机械能守恒，A球落地速度大小等于抛出速度大小，结合射程公式整理得，故C错误； D．两球射程、初速度大小均相等，故，已知且均为锐角，因此，即，两角互余，故D正确。 故选D。 2．某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（     ） A．质点的运动轨迹是直线 B．时，质点的合速度方向与水平方向成 C．时，质点的合速度大小为 D．时，质点的合位移大小为 【答案】C 【详解】由图可知，质点在水平方向的速度大小不变，为；在竖直方向，质点的加速度大小不变，为，质点在竖直方向做匀加速直线运动，竖直方向初速度为0，则 A．由上述分析可知，质点的合初速度方向沿水平方向，合加速度方向沿竖直方向，初速度与加速度不共线，质点运动轨迹为曲线，故A错误； B．时，质点的竖直速度 设合速度与水平方向夹角为，则 可知 故质点的合速度方向与水平方向成，故B错误； C．时，质点的竖直速度 则合速度大小，故C正确； D．时间内，质点沿水平方向的位移为 质点沿竖直方向的位移为 故质点的合位移大小为，故D错误。 故选C。 3．一刚性杆AB，初始时紧靠在竖直墙面上静止放置，杆长为l，在其中点C处固定一个质量为m、大小不计的小球。在保证A端不脱离墙面的情况下，控制B端沿着水平地面以速度v向右匀速运动，A、B和O三点始终在同一竖直平面内。则（     ） A．当杆与地面成角时，小球的速度大小为 B．小球的竖直分速度为定值 C．当杆与地面成30°时，杆对小球的作用力大小为 D．从开始到杆与地面成30°的过程中，杆对小球做的功为 【答案】C 【详解】AB．将B端速度v沿杆方向和垂直于杆方向分解，根据刚性杆上各点沿杆方向分速度相等的特点，有 解得A端竖直向下的速度 小球C的速度等于A、B两端速度的矢量和的一半。建立直角坐标系，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则， 则小球C的合速度大小为，竖直分速度非定值，故AB错误； CD．当杆与地面成30°时，小球的速度 小球竖直方向的位移为 根据几何关系可知小球的水平速度等于，那么小球水平速度不变，说明小球水平不受力，那么杆对小球的力一定是竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即 解得 对小球，根据动能定理，可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 4．如图所示，人形机器人做抛球游戏，若抛出的球做平抛运动，下列说法中正确的是（　　 ） A．球在空中运动的速度方向一定是变化的 B．球落地时的水平位移与初速度无关 C．球在空中运动的加速度大小一定是变化的 D．球在空中运动时处于超重状态 【答案】A 【详解】A．平抛运动是曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，时刻改变，因此速度方向一定变化，故A正确； B．平抛运动竖直方向满足 解得运动时间 水平位移，当下落高度固定时，水平位移和初速度正相关，故B错误； C．平抛运动只受重力，加速度恒为重力加速度，大小不变，故C错误； D．平抛运动加速度竖直向下，大小为，属于完全失重状态，不是超重，故D错误。 故选A。 5．2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】模块做斜抛运动，要求恰好越过储存舱，即轨迹经过储存舱的左上角和右上角两个等高点（高度均为，水平间距为）。斜抛运动水平方向匀速，竖直方向加速度为月球重力加速度。 设水平分速度为，模块到达左上角时竖直分速度为。从左上角到右上角，竖直位移为，由运动学公式 得运动时间 这段时间水平位移为，因此 整理得： 对模块从出发点到左上角过程，由机械能守恒： 整理得 由基本不等式 （等号成立条件） 代入得： 因此初速度最小值，故D正确。 故选D 。 6．如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 【答案】AD 【详解】A．整个装置平衡时，对a球受力分析，如图所示 则有， 解得，故A正确； B．连接a球的杆为活杆，对a球作用力方向始终沿杆，与a球速度垂直，对a球不做功，所以对于a、b组成的系统机械能守恒。 b球上升重力势能增加量为 a球下降，重力势能减小量为 b球上升的高度即连接a端绳子的伸长量，如图则有 杆向下转动60°的过程中，减小， 由，系统重力势能一直在减小，则a、b动能之和一直在增大，故B错误； C．图示位置时，a球的速度与细杆垂直，b球的速度大小等于细绳斜向下拉的速度，由速度的分解可得 解得，故C错误； D．图示位置时，a球重力的功率 b球重力的功率 可得，故D正确。 故选AD。 7．如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 【答案】AC 【详解】假设小球的速度v0与斜面的夹角为，垂直斜面向上，则 当vy=0时，小球上升到最高点，上升的时间 当时，上升的时间最长，上升的最长时间 所以小球在空中运动的最长时间 小球在垂直于斜面向上运动的距离 解得 当时，小球离斜面的距离最大，最大值为hm=6.25m 故选AC。 8．菱形ABCD边长为L，∠A=60o，四位同学站在四个顶点上踢毽子，按照A→D→C→B→A的顺序传递，毽子不落地，它的运动轨迹所在平面始终都与地面垂直，每次触地前瞬间被救起，每次落地瞬间和离地前瞬间速度的大小为v0，方向与水平方向成60o，不考虑空气阻力，g=10m/s2。则（     ） A．毽子离地最大高度H为 B．菱形的边长L为 C．在点C处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了mv0 D．在点D处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了 【答案】AD 【详解】AB．毽子作斜抛物体运动，竖直方向 解得 根据速度－位移公式有 水平方向有 菱形的边长为，故A正确，B错误； C．在点C处，毽子在被踢前后瞬间，水平方向的速度变化为 竖直方向速度变化为 在点C处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了，故C错误； D．同理在点D处，毽子在被踢前后瞬间，水平方向的速度变化为 竖直方向速度变化为 在点D处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了，故D正确； 故选AD。 9．飞镖扎气球是一种娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法正确的是（     ） A．射中O点的飞镖射出时的速度最小 B．射中P点的飞镖射出时的速度最大 C．射中Q点的飞镖在空中飞行的时间最长 D．射中O、P两点的飞镖在空中飞行的时间相等 【答案】BCD 【详解】AB．飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点知， 解得飞镖初速度 水平方向位移 竖直方向位移 可得飞镖射出时的速度 即射中点的飞镖射出时的速度最小，射中点的飞镖射出时的速度最大，故A错误，B正确； CD．解得飞镖飞行时间 竖直方向位移 可得飞镖在空中飞行的时间 即飞镖射中两点的飞镖在空中飞行的时间相等，射中点的飞镖在空中飞行的时间最长，故CD正确。 故选BCD。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 曲线运动（培优讲义） （关联速度、平抛运动、斜抛运动、临界问题、与斜面结合、与曲面结合） 课标要点 1.知道曲线运动的速度方向沿切线方向，理解物体做曲线运动的条件——合外力方向与速度方向不在同一直线上，能结合生产生活实例说明曲线运动的特征。 2.掌握运动的合成与分解方法，能运用合运动与分运动的等时性、独立性、等效性分析具体问题，理解“化曲为直”的思想方法。 3.掌握平抛运动的规律，能用运动的合成与分解方法分析抛体运动（平抛、斜抛），能处理平抛运动与斜面、竖直面等结合的综合问题。 1.理解曲线运动的条件和特征；通过实例分析（如砂轮打磨、链球运动），理解曲线运动速度方向沿切线方向、合外力指向轨迹凹侧的物理意义。 2.通过小船过河、关联速度等经典模型，掌握运动的合成与分解的基本操作。 3.通过平抛运动规律的理论推导和实验验证，掌握“水平匀速、竖直自由落体”的分解方法；通过平抛与斜面、圆弧等结合的问题，培养“化曲为直”和“几何约束”的综合分析能力。 方法指导 考点01 小船渡河模型 小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度 v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度 v水） 2. 运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【针对训练】某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 考点02 关联速度模型 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【针对训练】（多选）图为简化后的纤夫拉船俯视图，甲、乙两人在河岸上，以恒定的速度平行河岸向右行走，通过不可伸长的轻绳拖船，船沿平行河岸方向行进。、、绳始终在同一水平面，、绳的夹角为且张力大小均为，则有（     ） A．船的速率为 B．船的速率为 C．绳对船的拉力大小为 D．绳对船的拉力大小为 考点03 平抛运动的规律和应用 1. 核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 【深化点拨】 1．冲量的理解 （1）冲量是过程量，它描述的是力作用在物体上的时间累积效应，求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）冲量是矢量，冲量的方向与力的方向相同。 【针对训练】如图所示，两把手枪在同一位置先后沿水平方向射出一颗子弹两子弹质量不同，打在远处的同一个靶上。A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，不计空气阻力。下列判断正确的是（　　 ） A．两颗子弹在空中运动时动量变化率相等 B．甲枪射出的子弹初速度较大 C．两颗子弹从射出至打到靶上的时间一样长 D．两颗子弹均在空中做变加速曲线运动 考点04 斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度 v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3. 关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程 y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 【针对训练】如图所示，质量为的足球从水平地面的位置1被踢出，经过高度为的最高位置2，最后落在水平地面的位置3。足球被踢出时速度大小为，方向与水平地面成角，到达位置3时速度方向与水平地面成角。已知足球在空中运动时所受空气阻力的大小与速度成正比，方向与速度方向相反，即，且，则足球（     ） A．在位置2处的动能为 B．在位置2处的机械能为 C．整个运动过程中的位移大小为 D．在2到3过程中克服空气阻力做功为 考点05 平抛运动与斜面的结合分析 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【针对训练】在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 考点06 平抛运动与曲面的结合分析 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 【针对训练】（多选）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 逆向、对称、极限等物理思维在抛体运动中的应用 在高中物理曲线运动中，逆向、对称、极限三大物理思维是破解复杂问题的关键： 1. 逆向思维 将末状态视为初状态反向推理。 应用：竖直上抛运动可视为自由落体的逆过程（时间、速度对称），平抛运动中从落点反推初速度。 例：物体从斜面抛回原点问题，逆转为平抛计算时间。 2. 对称性分析 利用轨迹或过程的几何/时间对称性简化问题。 斜抛运动：轨迹关于最高点轴对称，上升与下降时间相等，水平位移对称。 圆周运动：匀速圆周中速度、加速度大小周期性对称；非匀速圆周中常找特殊对称点（如最高点、最低点）分析受力。 3. 极限思想 通过极端假设（如速度极大/小、角度趋近0°或90°）分析临界状态。 斜面抛体：倾角θ→90°时射程趋近于0，验证结论 R=（2v02tanθ）/g​。 考查核心： 逆向：转换视角，化难为易； 对称：减少计算，直击本质； 极限：界定范围，突破临界。 掌握三者可高效解决轨迹分析、临界条件、极值求解等难题 角度01 小船渡河模型 【拓展训练】如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 角度02 关联速度模型 【拓展训练】如图所示为拍电影时吊威亚的情景简化图。工作人员A向左运动，用绕过定滑轮的轻绳（不可伸长）将演员B竖直向上吊起。不计轻绳和定滑轮之间的摩擦，演员B沿竖直方向匀速上升的过程中，下列说法正确的是（     ） A．演员B的机械能不变 B．轻绳对定滑轮的作用力减小 C．工作人员A对地面的压力减小 D．工作人员A向左做加速运动 角度03 平抛运动的规律 【拓展训练】（多选）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由点削出，从到与从到的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该面片从到的速度变化率比到的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到点与点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从到P与从到过程，重力做功的平均功率之比为4：13 角度04 斜抛运动 【拓展训练】如图所示，一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以与水平方向成夹角的初速度v从离地处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接从篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为，篮球抛出点到篮筐中心的水平距离。重力加速度g取，忽略空气阻力及篮球大小，则（     ） A．， B．， C．， D．， 角度05 平抛运动与斜面相结合 【拓展训练】一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 角度06 平抛运动与曲面相结合 【拓展训练】如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为 角度05 平抛运动中的临界问题 【拓展训练】如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 1．如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 2．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为）：（　　） A． B． C． D． 3．在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨过河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 4．在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． 5．某千斤顶的结构如图所示，四根等长杆由铰链相连。摇动手柄竖直抬升重物过程中，两点的间距每秒均匀缩短，当时，下列说法正确的是（     ） A．与两点速度大小相等，方向相反 B．点速度方向竖直向上，大小为 C．点速度方向沿向上，大小为 D．点相对点的速度沿水平方向，大小为 6．如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 7．某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 8．一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 9．如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 1．将两小球A、B从水平地面同一地点斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角，不同，两球再落到水平地面时与抛出点相距均为，已知重力加速度为，不计阻力，则以下说法正确的是（　　） A．两小球在空中运动时单位时间速度的变化量不相同 B．两小球在空中运动时间相同 C．A球落地时的速度大小满足 D．，两角互余 2．某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（     ） A．质点的运动轨迹是直线 B．时，质点的合速度方向与水平方向成 C．时，质点的合速度大小为 D．时，质点的合位移大小为 3．一刚性杆AB，初始时紧靠在竖直墙面上静止放置，杆长为l，在其中点C处固定一个质量为m、大小不计的小球。在保证A端不脱离墙面的情况下，控制B端沿着水平地面以速度v向右匀速运动，A、B和O三点始终在同一竖直平面内。则（     ） A．当杆与地面成角时，小球的速度大小为 B．小球的竖直分速度为定值 C．当杆与地面成30°时，杆对小球的作用力大小为 D．从开始到杆与地面成30°的过程中，杆对小球做的功为 4．如图所示，人形机器人做抛球游戏，若抛出的球做平抛运动，下列说法中正确的是（　　 ） A．球在空中运动的速度方向一定是变化的 B．球落地时的水平位移与初速度无关 C．球在空中运动的加速度大小一定是变化的 D．球在空中运动时处于超重状态 5．2126年，人类计划在月球南极建立“广寒”科研基地，基地外的能源区中，有一个高、宽的紧凑型聚变燃料储存舱，其表面光滑，可视为“障碍结构”。为保障基地供电，需用无人投递器从储存舱正前方的某投放点（投递器与储存舱之间的距离可调），从地面以初速度（方向未知）投递小型能源模块。要求模块恰好越过储存舱顶部，精准抵达储存舱后方的接收区。已知月球表面可视为无大气阻力的真空环境，月球表面重力加速度按计算。若要使模块成功投递，其初速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 7．如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 8．菱形ABCD边长为L，∠A=60o，四位同学站在四个顶点上踢毽子，按照A→D→C→B→A的顺序传递，毽子不落地，它的运动轨迹所在平面始终都与地面垂直，每次触地前瞬间被救起，每次落地瞬间和离地前瞬间速度的大小为v0，方向与水平方向成60o，不考虑空气阻力，g=10m/s2。则（     ） A．毽子离地最大高度H为 B．菱形的边长L为 C．在点C处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了mv0 D．在点D处，毽子在被踢前后瞬间动量变化了 9．飞镖扎气球是一种娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法正确的是（     ） A．射中O点的飞镖射出时的速度最小 B．射中P点的飞镖射出时的速度最大 C．射中Q点的飞镖在空中飞行的时间最长 D．射中O、P两点的飞镖在空中飞行的时间相等 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $