17.2 运用平方差公式分解因式第1课时培优课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“运用平方差公式分解因式”，通过回顾整式乘法平方差公式逆向引出因式分解，构建互逆运算关系，以公式结构特征、解题四步法及通用原则为支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于例题由浅入深覆盖基础到拔高类型，高频易错点精准总结，融入整体换元思想，体现抽象能力、运算能力与推理意识。学生能掌握分解方法，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 17.2 第1课时 运用平方差公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2 第1课时 运用平方差公式分解因式 总结与练习 一、课时核心知识点 1. 公式由来（互逆运算） 整式乘法：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$（展开、积变和差） 因式分解（逆用公式）：$$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$$（化简、和差变积） 本节课核心：利用平方差公式，将二项式平方差形式的多项式分解因式。 2. 平方差公式因式分解结构特征（必考判断） 能使用平方差公式分解的多项式，必须同时满足三个条件： ① 项数：只有两项（二项式）； ② 符号：两项符号一正一负； ③ 形式：两项都可以写成平方形式（数、单项式、多项式平方）。 口诀：两项、异号、皆平方。 3. 公式中a、b的广泛含义 公式中的 $$a$$、$$b$$ 不局限于单个字母，可以是： ① 单独数字；② 单项式；③ 整体多项式（整体思想） 例：$$(x+y)^2-9=(x+y)^2-3^2$$，此处 $$a=x+y，b=3$$。 4. 满分解题四步法 ① 判结构：判断是否为“两项、异号、皆平方”； ② 定ab：准确找出平方项对应的 $$a$$（正平方项）和 $$b$$（负平方项）； ③ 套公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$； ④ 查彻底：化简括号内式子，检查能否继续分解，分解务必彻底。 5. 因式分解通用原则（考试硬性要求） 1. 先提后套：有公因式先提取公因式，再套用公式分解； 2. 分解彻底：直到每个因式都不能再分解为止； 3. 结果最简：括号内合并同类项、首项为正，无多余括号。 二、高频易错重难考点 1. 结构判断错误：两项同号（$$a^2+b^2$$）不能用平方差公式，无法分解； 2. 平方识别失误：漏掉系数平方，如 $$4x^2=(2x)^2$$，误当作 $$4x^2=x^2$$； 3. 顺序符号错误：必须正平方项减负平方项，公式顺序不可颠倒乱套； 4. 忘记先提公因式：含公因式的式子直接套公式，分解不彻底； 5. 整体因式漏括号：a、b为多项式时，未整体套公式，导致展开错误。 三、经典例题精讲（由浅入深） 例1 基础简单型：分解$$x^2-25$$ 解：原式$$=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$$ 例2 带系数平方型：分解 $$4a^2-9b^2$$ 解：原式$$=(2a)^2-(3b)^2=(2a+3b)(2a-3b)$$ 例3 先提公因式再套公式：分解 $$2x^2-32$$ 解：原式$$=2(x^2-16)=2(x+4)(x-4)$$ 例4 整体换元型（拔高）：分解 $$(m-n)^2-4$$ 解：原式$$=(m-n)^2-2^2=(m-n+2)(m-n-2)$$ 例5 连续分解型：分解 $$x^4-16$$ 解：原式$$=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$ 注：$$x^2-4$$可继续分解，必须分解彻底。 四、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式能使用平方差公式分解因式的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-2x$$ D. $$x^2+2x+1$$ 2. 分解 $$9-x^2$$ 的结果是（） A. $$(3-x)^2$$ B. $$(3+x)(3-x)$$ C. $$(x+9)(x-9)$$ D. $$(x-3)^2$$ 3. 多项式 $$4a^2-25b^2$$ 分解因式正确的是（） A. $$(4a+25b)(4a-25b)$$ B. $$(2a+5b)(2a-5b)$$ C. $$(2a-5b)^2$$ D. $$(2a+5b)^2$$ 4. 分解 $$2x^2-8$$ 第一步需要（） A. 直接套公式 B. 提取公因式2 C. 配方变形 D. 合并同类项 5. $$x^2+y^2$$ 能否用平方差公式分解（） A. 能 B. 不能 C. 部分能 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 平方差公式因式分解：$$a^2-b^2=$$________。 7. $$x^2-36=$$________。 8. $$25x^2-16y^2=$$________。 9. 因式分解原则：有公因式先________，再套用公式分解。 10. $$(x+1)^2-9=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）基础公式分解： （1）$$16x^2-49y^2$$    （2）$$0.25a^2-b^2$$ 12.（20分）先提后套综合分解： （1）$$3x^2-27$$   （2）$$5a^2-125b^2$$ 13.（20分）整体型+彻底分解：$$(2x-1)^2-(x+2)^2$$ 五、参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：满足两项、异号、皆平方，其余选项不符合平方差结构。 2. B 解析：原式$$=3^2-x^2=(3+x)(3-x)$$。 3. B 解析：原式$$=(2a)^2-(5b)^2=(2a+5b)(2a-5b)$$。 4. B 解析：式子含公因式2，必须先提公因式，再套平方差公式。 5. B 解析：两项同号，不满足平方差异号要求，无法分解。 二、填空题 6. $$(a+b)(a-b)$$ 7. $$(x+6)(x-6)$$ 8. $$(5x+4y)(5x-4y)$$ 9. 提取公因式 10. $$(x+4)(x-2)$$ 解析：原式$$=(x+1)^2-3^2=(x+1+3)(x+1-3)$$ 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=(4x)^2-(7y)^2=(4x+7y)(4x-7y)$$ （2）原式$$=(0.5a)^2-b^2=(0.5a+b)(0.5a-b)$$ 12. 解： （1）原式$$=3(x^2-9)=3(x+3)(x-3)$$ （2）原式$$=5(a^2-25b^2)=5(a+5b)(a-5b)$$ 13. 解： 原式$$=[(2x-1)+(x+2)][(2x-1)-(x+2)]$$ $$=(3x+1)(x-3)$$ 1. 理解平方差公式进行因式分解的过程.(重点) 2. 能用平方差公式进行因式分解，发展运算能力和推理能力. (难点) 3. 经历探索利用平方差公式进行因式分解的推导过程，发展逆向思维，感受数学知识的完整性. 学习目标 1. 平方差公式用字母如何来表示？ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式有何特点？ 左边是两个数的和与两个数的差的乘积，右边是两个数的平方的差. 问题1：计算下列各式： (1) (x＋5)(x－5)； (2) (3x＋y)(3x－y). 探究点：用平方差公式分解因式 思考：这个计算的依据是什么？ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 解：(1) (x＋5)(x－5) ＝x2－52 ＝x2－25； (2) (3x＋y)(3x－y) ＝ (3x)2－y2 ＝ 9x2－y2. 问题2：根据上面两道题，试着分解因式. (1) x2－25； (2) 9x2－y2. 把平方差公式等号两边互换就可以得到因式分解的结果. 解：(1) x2－25 ＝(x＋5)(x－5)； (2) 9x2－y2 ＝(3x＋y)(3x－y). 思考：观察这个变化过程有什么规律？ 探究点：用平方差公式分解因式 问题3：我们把这些式子推广到一般式 a2－b2，你能将它分解因式吗？ 将公式等号两边互换位置，就得到： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形， 探究点：用平方差公式分解因式 例1 分解因式： (1) 4x2－9；　　 (2) a2 －25b2.　　 (2) 原式＝ a2－(5b)2＝ (a＋5b)(a－5b). 解：(1) 原式＝(2x)2－32 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(2x＋3) (2x－3). 探究点：用平方差公式分解因式 √ √ × × 【针对训练】 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？ √ √ (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2 - y2 (4) -x2 + y2 (5) x2 - 25y2 (6) 9m2 - 1 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 总结 -(x2 + y2) y2 - x2 x2 - (5y)2 (3m)2 - 12 探究点：用平方差公式分解因式 b a 例2 分解因式：(1) x2－y4； (2) (x＋p)2－(x＋q)2. (2) 原式＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q). 解：(1) 原式＝ x2－( y2 )2 ＝( x＋y2 )( x－y2). 探究点：用平方差公式分解因式 ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 【针对训练】 2.分解因式：(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 先提公因式， 再套用公式分解 探究点：用平方差公式分解因式 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 探究点：用平方差公式分解因式 【针对训练】 3.分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(4m＋2n)(2m＋4n) 解：(1) 原式＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a). (2) 原式＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝4(2m＋n)(m＋2n). 结果中还有公因式， 一定要再用提公因 式法继续分解 探究点：用平方差公式分解因式 例4 计算下列各题： (1) 1012－992； (2) 53.52×4－46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)×(101－99)＝400. (2) 原式＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7＝2800. 探究点：用平方差公式分解因式 1. 母题教材P128例1 分解因式： ( ) A A. B. C. D. 2. 将“ ？”因式分解得到 ，则“？”是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 14 3. 课堂上老师在黑板上布置了以下题目： 用平方差公式分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4） . 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( ) B A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 返回 中考考法 15 4. 下列分解因式错误的是( ) D A. B. C. D. 5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形 的长为_______. 6.若，，则 的值为___. 4 返回 中考考法 16 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 - b2 =____________. (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的积. 和 差 课堂小结 $