2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册课时分组练习：3.2.1.2函数的单调性

**基本信息** 本同步练习通过A、B组分层设计，以“基础巩固—综合应用”为路径，覆盖函数单调性的定义辨析、区间求解、证明及综合应用，培养数学抽象、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|单调性定义判断、简单函数单调区间、定义法证明单调性|第5题要求用定义证明增函数，强化逻辑推理；多选第3题结合函数类型辨析单调性，巩固概念理解| |B组拔高提升|复合函数单调性、含参函数单调区间、新定义函数、抽象函数单调性应用|第5题新定义max函数单调区间，培养数学抽象与创新意识；第6题抽象函数单调性证明及不等式求解，提升综合应用能力|

3.2.1.2函数的单调性 A组 基础训练 1．若函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5) 2．函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 3．(多选)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有＞0的是(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝－3x＋1 C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－1 4．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是　　　. 5．已知函数f(x)＝，且f(1)＝2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)用定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． B组 拔高提升 1．已知函数f(x)是R上的增函数，则f(x2－2x)与f(－1)的大小关系为(　　) A．f(x2－2x)≥f(－1) B．f(x2－2x)≤f(－1) C．f(x2－2x)＝f(－1) D．不能确定 2．已知f(x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f(2a－3)＜f(a－2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2]　 B．(1，3]　 C．(1，4]　 D．(1，＋∞) 3．已知函数f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调，则实数k的取值范围为(　　) A．[2，8] B．[－8，－2] C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞) D．(－∞，2]∪[8，＋∞) 4．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．(新定义)定义max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x2－x，1－x2}的单调递增区间为　　　　　　　　. 6．函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3. 3.2.1.2函数的单调性 A组 基础训练 1．C　解析：因为f(x)在R上是减函数，且3<5，所以f(3)>f(5)． 2．C　解析：函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数y＝的图象(图略)可知，其在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减． 3．ACD　解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．对于A，根据反比例函数的性质可知，f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，根据一次函数的性质可知，f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于C，根据二次函数的性质可知，f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，根据一次函数的性质可知，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 4． ，　解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示． 由图可知，f(x)的单调递减区间为，. 5．(1)解：因为f(1)＝＝2，所以a＝1，所以f(x)＝. (2)证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为1<x1<x2，x1x2>1，所以x1－x2<0，x1x2－1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． B组 拔高提升 1．A　解析：因为x2－2x－(－1)＝(x－1)2≥0，所以x2－2x≥－1.因为函数f(x)是R上的增函数，所以f(x2－2x)≥f(－1)． 2．A　解析：因为f(x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f(2a－3)＜f(a－2)， 所以解得1＜a≤2. 3．D　解析：函数f(x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调，图象的对称轴为直线x＝－＝，所以作出函数图象(图略)． 结合图象得≤1或≥4，解得k≤2或k≥8. 所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)． 4． B　解析：由于函数f(x)＝是定义在R上的减函数， 所以函数y＝(2a－3)x＋2在区间(－∞，1]上为减函数， 函数y＝在区间(1，＋∞)上为减函数，且有(2a－3)×1＋2≥，即解得1≤a<. 因此，实数a的取值范围是.故选B． 5． ，[1，＋∞)　解析：由x2－x＝1－x2，得2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－.当x≥1或x≤－时，f(x)＝max{x2－x，1－x2}＝x2－x；当－<x<1时，f(x)＝max{x2－x，1－x2}＝1－x2.结合图象(图略)知此函数的单调递增区间为，[1，＋∞)． 6． (1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1. 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以f(x2)>f(x1)． 故f(x)在R上是增函数． (2)解：因为f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3. 所以原不等式可化为f(3m－2)<f(2)． 由(1)可知f(x)在R上是增函数，所以3m－2<2， 解得m＜. 故原不等式的解集为. 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $