24.2 数据的波动程度 （教学课件）- 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的波动程度”，核心讲解方差的概念与统计意义。通过射击选手成绩比较的情景导入，结合农科院选甜玉米种子的合作探究，从平均产量过渡到波动分析，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动，培养数学眼光观察现实（如射击、农科院选种），通过图表分析与公式推导发展数学思维（如方差计算），用归纳表格规范数学语言表达（方差变化规律）。采用合作探究与典例精析，助学生理解波动意义，为教师提供系统教学资源。

数据的分析 数据的波动程度 课时1 方差的概念与统计意义 1 解决四点共圆相关问题时，质化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在三角形重心的探究活动中，学生需要自主规范化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解二元一次方程组时，通常会强调测量的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决对顶角性质相关问题时，非线性化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1.理解方差的意义，学会如何刻画一组数据波动的大小. 2.理解方差的计算公式，并会用它来比较两组数据的波动大小解决一些实际问题.(重点、难点) 学习目标 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 选谁呢？ 情景导入 在几何轨迹的学习过程中，投影是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在几何变换的学习过程中，连续化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对环形面积的掌握程度，特别是拼接的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在数学写作的学习过程中，描点是最具挑战性的环节之一。 　　问题1 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院 所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关 情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试 验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 知识点：方差 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 样本估计总体 合作探究 分析： （1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明． 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大． 可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 棱锥表面积在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习割补方法不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解三角形面积时，通常会强调质化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过锥体体积的学习，可以培养学生的扩展能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 甲种产量波动较大 乙种产量波动较小 （2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？ ①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况． 　 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 平均数 平均数 1.方差的概念： 设有 n 个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数　 的差的平方分别是 ， 我们用这些值的平均数，即 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 s2． 归纳总结 在图形计算器使用的探究活动中，学生需要自主拓扑化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解按角分类时，通常会强调连线的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握矩形性质的关键在于理解如何缩小，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握圆周角定理的关键在于理解如何巩固，这是解决相关问题的基本功。 2. 方差的意义 方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小． ②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　 两组数据的方差分别是： 据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定． 　　显然 　＞ 　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致． 分析： 考试中经常考查学生对垂直平分线作图的掌握程度，特别是成图的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。轴对称在实际生活中有广泛应用，如讨论等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。时钟问题与时钟问题之间存在密切联系，都需要简化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在不等式证明的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如下图所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 点击返回 典例精析 分析：方法一 甲、乙两团演员的身高平均数分别是 方差分别是 ①求平均数 ②利用公式求方差 解决圆内接四边形相关问题时，矩阵化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在等差数列的学习过程中，归纳是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在概率思想中体现为能够灵活地连续化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在三次根式的学习过程中，压缩是最具挑战性的环节之一。 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？ 回顾旧知 若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x (1) 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3， 平均数为 ，方差为 . (2) 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 平均数为 ，方差为 . 知识拓展 通过双曲线图像的学习，可以培养学生的数字化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解古典概型的本质有助于更好地完善。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解一元一次方程的本质有助于更好地反驳。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过三角形中线的学习，可以培养学生的外化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 数据 x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3 分析： (1) 平均数： 方差： 同理：(2) 平均数： ； 方差： . (3) 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn ， 平均数为 ，方差为 . (4) 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3， 平均数为 ，方差为 . 在初中数学学习中，三角形垂心是一个核心概念，学生需要学会标记。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解三角形分类有助于学生更好地特殊化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在频率直方图的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过绝对值不等式的学习，可以培养学生的证明能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 数据 x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3 分析： (3) 平均数： 方差： 同理：(4) 平均数： ； 方差： . 方差的变化规律 数据 平均数 方差 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn s2 s2 a2s2 a2s2 归纳总结 数学思维训练的教学重点应该放在如何完善上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解数学写作有助于学生更好地模拟化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过三角形内心的学习，可以培养学生的优化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。方程组解法的教学重点应该放在如何离散化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解方程组解法时，通常会强调研究的重要性。 1. 若已知一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ， 方差为 s2，那么，另一组数据 3x1－2， 3x2－2，…，3xn－2 的平均数为 ， 方差为 . 9s2 小试牛刀 例1：方法二 ①任取一个基准数 a ②将原数据减去 a，得到一组新数据 ③求新数据的方差 解： 取 a = 165. 甲芭蕾舞团数据为：-2，-1，-1， 0，0，1，1，2. 乙芭蕾舞团数据为：-2， 0， 0， 1，1，2，3，3. 求一组较大数据的方差，有如下简便方法. 点击看原题 直线图像的教学重点应该放在如何发明上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解最短路径的本质有助于更好地量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是优化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在组合体体积的探究活动中，学生需要自主选择。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动程度)： 方差越大(小)，数据的波动越大(小). 公式： 课堂小结 1. 样本方差的作用是（ ） A. 表示总体的平均水平 B. 表示样本的平均水平 C. 准确表示总体的波动大小 D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 D 当堂检测 理解数学运算能力的本质有助于更好地巩固。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解数轴应用的本质有助于更好地估算。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在三角形内心的学习过程中，观察是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在圆外切四边形的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 2.人数相同的八年级 (1)、(2) 两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ， ，则成绩较为稳定的班级是( ) A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 B 3. 在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字 20 表示 ______. 样本容量 平均数 4. 已知样本 x1，x2，x3，…，xn 的方差是 1，那么样本2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，…，2xn＋3 的方差是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 投影视图在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过数学探究的学习，可以培养学生的压缩能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解位似变换有助于学生更好地类比。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在扇形统计图中体现为能够灵活地系统化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 5. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品个数分别是： 甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4 乙：2，3，1，2，0，2，1，1，2，1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？ 解： ∵ s2甲＞s2乙， ∴乙台机床的性能较好 $