湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末测试高一数学试卷

高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.复数年的虚部为z,则2的值为 （) A.-i B.i C.-1 D.1 2.已知向量a=(2,0),b=(-1,3,则a与夹角为 () Ag B c D 3.一个水平放置的平面图形OABC按斜二测画法得到的直观图OABC为平行四边 形，如图所示，已知0A=20C=4,则平面图形OABC的面积为 A.4 B.8 C.16 D.4V2 米丽 C1习 B A 时元调川成 第3题图 第4题图 4.某A1数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用 量的众数为a,平均数为b,中位数为c,则a,b,c的大小关系是 () A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 5.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取5次，每次 取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则 () A.可能取到数字3 B.中位数可能是5 C.极差可能是4 D.众数可能是3 高一数学试卷第1页共4页 6.e,e2是不共线的单位向量，若向量0丽=1+y2,则把有序数对(x,y)叫作向量 0丽以e1,e2为基底的坐标，记作0p=(x,y).若（尼1,2）=60°，0M=(1,2),0N= (4,5),则MN= A.3V2 B.3 C.3V3 D.6 7.△ABC的三边边长分别为4,5,6，分别以三边AB,BC,CA所在直线为轴，将三角 形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为() A B. c器 D.1 8.已知e为单位向量，d-e)·(d-5)=G-)·G-5)=0,a≠五，则有() A.的取值范围是[1,6] B.存在向量d,b,使a.b=0 C.a-3)·a-7e的最大值为10 D.a+引的最大值为6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9。设e,22是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（) A.e1-e2,1 B.21+221+2 C.3e1-e2,e1-3e2D.e1-2e2,-e1+2e2 10.已知21,22为复数，下列说法正确的是 () A.lz1·z2l=lz1·lz2 B.Z1 Z2 Z1+Z2 C.若21z2=0,则z1=0或22=0 D,若|z1-22l=l21+z2l,则2122=0 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，CE=ED,DF=1FD1,过 点B,E,F的平面截该正方体所得的截面记为S,则 A.1=2时，截面为五边形 B1=2时，截面面积为39 C.1=1时，三棱锥D1一ADB的外接球球心0∈S D.1=1时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为7：17 高一数学试卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点0(0,0)，向量0A=(2,3),0E=(6,-3),点P是线段AB上靠近点A的一 个三等分点，则点P的坐标为 13.己知随机事件A、B、C满足P(A)=,P(B)=五，P(AB)=最，则P(A)= 14.在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的 距离为1，若CD的长度的最小值为V3,则锐二面角C-AB-D的大小为 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用x表示红色 骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，(x,y)表示一次试验的结果，设A=“两个点数 之和等于6”，B=“至少有一颗骰子的点数为4” (1)求事件A,B的概率： (2)求事件A∩B,AUB的概率， 16.(本小题15分) 已知三棱锥P一ABC,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. (1)求证：BC⊥平面PAB: (2)已知PA=1,AB=2,BC=3,求PB与平面PAC所成角 的正切值. 17.(本小题15分) 如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=3, AD=4,CQ=AAP. (1)是否存在实数1，使得平面PBQ⊥平面PAD, 若存在，求出实数入的值，若不存在，说明理由： (2)当IBQI+PQ1取最小值时，求1的值： 高一数学试卷第3页共4页 (3)若入=，直线PQ与平面ABCD所成角为0，直线PQ与AB所成角为a,二 面角Q-AB-C的平面角为B.证明：sin6=sina·sinB 18.(本小题17分) 已知a,b,c分别为非钝角△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+V√3 asinC-b- c=0,a=V3 (1)求角A: (2)若E为BC的中点，求中线AE的取值范围 (3)D为AC延长线上一点，∠CBD=30°，求△BCD面积的最小值。 19.(本小题17分) 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分 100分，最低分50分)中，随机调查了100位同学的测试成续，按 [50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分组，并绘制出了如图所示的频率 分布直方图. 频单 T组距 0 0.030… 0.015… 0.010… 0.00s 5060708090100成绒/分 (1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不 低于多少分？ (2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样 本方差分别为：m,元，s:n,,s经.记总的样本平均数为m,方差为s2. 证明：s2=n[s好+反-w]+m本[s号+-m]. (3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在[70,80)内的平均成绩是77分，方 差是4分，落在[80,90)内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均 数为2，方差为s2.求s2 湖北省部分省级示范高中 2025~2026 学年下学期高一期末测试 数学答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B B C B D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD ABC ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 四、解答题 15. ,样本点总数 “两个点数之和等于 6 ”,即 则 ,所以 - 2 分 所以 - 3 分 “至少有一颗骰子的点数为 4 ” 则 , 所以 ，所以 - 6 分 (2) ，所以 - 8 分 所以 - 10 分 所以 - 13 分 16.【答案】(1) 见详解; (2) 【详解】(1) 证明: 如图,过点 作 ,垂足为 . - 1 分 平面 平面 ,平面 平面 , 平面 . 平面 , . 4 分 平面 平面 , . - 5 分 又 , 平面 . - 7 分 (2)过点 作 于 ,连接 - 8 分 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 是 与平面 所成角 11分 由 (1) 得 平面 在 中, - 13 分 - 15 分 17.【答案】(1)不存在,理由见详解; (2) ; (3) 证明见详解 【详解】(1)不存在，理由如下: 若平面 平面 ，过 作两平面交线的垂线 ，则 平面 - 2 分 易证 平面 ,又 平面 ,所以过点 存在两条直线与同一个平面垂直, 显然矛盾。 3 分 所以平面 与平面 不垂直,即不存在 使平面 平面 - 5 分 (2)由已知， ，故 四点共面，以 为对称轴，将 旋转到平面 内,且 , 在直线 异侧 (如图),则 - 7 分 当且仅当 三点共线时取等号, 此时, 即 10 分 (3) 取 中点 ,连接 由 ,知 平行且等于 ,所以四边形 为平行四边形 ，又 ， , 13 分 可证 平面 ,所以二面角 的平面角即 又， 14 分 ,即 - 15 分 18.【答案】(1) ; (2) ; (3) 【详解】(1) , 由正弦定理可得 , - 1 分 , 即 , - 2 分 因为 ,所以 ,所以 , - 3 分 即 ,即 , - 4 分 又 ,则 . - 5 分 (2)因为 为 的中点，所以 ， 两边平方得 , 在 中,由余弦定理得 ,即 , 所以 , - 7 分 在 中,由正弦定理得 , 所以 , 所以 , - 9 分 因为 为非钝角三角形,所以 , 则 ,解得 , 所以 ，所以 ，则 ， 所以 ，所以中线 的取值范围是 . - 11 分 (3)设 ，则 在 中, ① 在 中, ② 得: - 14 分 15 分 即 面积的最小值为 . - 17 分 19.【答案】(1)87.5; (2) 证明见详解; (3) 【详解】(1)由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第 75 百分位数， 设样本数据的第 75 百分位数为 , 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 1 可得 , 解得 , - 2 分 前三个矩形的面积之和为 , - 3 分 前四个矩形的面积之和为 ,所以 , 由百分位数的定义可得 ,解得 , 故进入决赛的同学成绩应不低于 87.5 分. - 5 分 (2)证明: - 6 分 又 7 分 又 9 分 又 , 所以 , 同理 , - 11 分 所以 所以 - 12 分 (3)由题意可知，成绩落在 的频率为 ， 成绩落在 的频率为 ， 所以, , - 15 分 - 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $