1.1 定义与命题 教案 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该教案聚焦“定义与命题”核心知识点，以父子趣味对话情境导入，揭示定义在交流中的必要性，衔接数学概念严谨性，通过平行线等旧知归纳定义特征，再过渡到命题概念，构建从定义到命题结构、真假判断的知识支架。 此教案突出情境化与问题驱动，用生活实例培养数学眼光，通过实例观察归纳定义与命题特征发展数学思维，以“a=-2，b=1”反例教学及命题改写训练数学语言，助力学生掌握核心方法，提升教师教学效率与学生学习兴趣。

第1章 推理与证明 1.1 定义与命题 教学设计（教案） 课题 1.1 定义与命题 课型 新授课 年级 八年级上册 教材 青岛版 学科 数学 课时 1课时（45分钟） 章节 第1章 推理与证明 教师 一、教学目标 1. 理解定义的概念 2. 理解命题的概念，能区分命题的条件和结论 3. 会举反例判断命题的真假 二、教学重点与难点 ▒ 教学重点： ▶ 命题的概念 ▶ 区分命题的条件和结论 ▶ 判断命题的真假 ▒ 教学难点： ▶ 将命题改写成如果那么的形式 ▶ 举反例判断假命题 三、教学过程 环节1：情境导入——一对父子的谈话（3分钟） 【课件内容】 爸爸，什么叫法律？→法律就是法国的律师。那么什么是法盲？→法盲就是法国的盲人。 核心观点：交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 【教师活动】 ▶ 展示父子对话的情境图，请一位同学有感情地朗读这段对话 ▶ 提问：同学们想一想，为什么会发生上述的笑话呢？ ▶ 引导学生认识到：因为父子二人对法律和法盲这两个词语的含义没有共同的认识，父亲在望文生义 ▶ 追问：生活中，如果大家对同一个词语的理解不一样，会出现什么问题？能举例说明吗？ ▶ 总结并板书课题：交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此，就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定。在数学学习中更是如此——每一个数学概念都有它严格的定义。今天我们就来学习1.1 定义与命题。 【学生活动】 ▶ 认真倾听同学朗读，理解情境内容 ▶ 思考后回答：因为父亲对法律一词的理解与标准含义不同，他按照字面意思去解释 ▶ 讨论并举例：如对公平一词的不同理解会导致争议 ▶ 认同明确概念定义的必要性，产生学习期待 【设计意图】从生活中一对父子的趣味对话引入，激发学生兴趣，让学生在笑声中体会到定义的重要性——没有统一的定义，交流就会产生误解。自然过渡到数学中概念定义的必要性。 【过渡语】生活交流需要共同的理解，数学学习更是如此。每一个数学概念都有其严格的定义。今天我们就来学习什么是定义，以及另一个重要的数学概念——命题。 环节2：任务一：理解定义的概念（10分钟） 【课件内容】 同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线。 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 求几个相同因数的积的运算叫作乘方。 问题：（1）它们的叙述形式有什么共同特点？（2）对应的语句有什么作用？ 【教师活动】 ▶ 展示三个概念语句（平行线、锐角三角形、乘方），请学生齐读一遍 ▶ 提问：观察这三个语句，它们在叙述形式上有什么共同特点？ ▶ 引导学生发现：三个语句都采用了……叫作……的形式 ▶ 追问：叫作前面的部分描述了什么？叫作后面的部分又是什么？ ▶ 板书归纳定义的概念：用来说明一个概念含义的语句叫做这个概念的定义 ▶ 讲解定义的叙述形式：……叫做……，其中叫做前面的部分是被定义项，后面的部分是定义项 ▶ 讲解定义的作用：①帮助我们理解并记忆这个概念区别于其他概念的本质特征；②一方面可以作为性质使用，另一方面又可以作为判定的方法 ▶ 出示例题：下列属于定义的是（ ）——A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.等角的补角相等 D.线段是直线上两点和两点间的部分 ▶ 逐项引导学生分析：A是基本事实（公理），不是定义；B是平行线的性质定理，不是定义；C是补角的性质，不是定义；D说明了线段这个概念的含义，属于定义。确认答案为D。 ▶ 补充辨析：对顶角相等是对顶角的性质，不是定义；由等号连接的式子叫做等式是等式的定义。 【学生活动】 ▶ 齐读三个概念语句，感知内容 ▶ 观察并比较三个语句，发现都用了……叫作……的共同形式 ▶ 回答：叫作前面描述的是特征或条件，叫作后面是概念名称 ▶ 记录定义的概念、形式和作用的笔记 ▶ 独立思考并完成判断练习 ▶ 逐项分析四个选项并给出判断理由 ▶ 确认答案为D，理解定义与性质的区别 【设计意图】从学生已有知识（平行线、锐角三角形、乘方）出发，通过观察、比较、归纳，让学生自主发现定义的形式特征和本质作用，体现从特殊到一般的数学思想方法。即时练习帮助学生辨析定义与其他数学语句的区别。 【知识点归纳】 ✔ 定义：用来说明一个概念含义的语句 ✔ 定义的叙述形式：……叫做……，前面是被定义项，后面是定义项 ✔ 定义的作用：理解概念本质特征；作为性质使用；作为判定方法 【注意】定义与性质定理的区别——定义说明是什么，性质定理说明有什么特征。定义可以被双向使用：既是性质，也是判定依据。 【注意】一个概念的严格定义必须揭示该概念区别于其他概念的本质特征。 【过渡语】定义告诉我们一个概念是什么。在数学中，还有一类语句不是说明是什么，而是对某件事情做出判断——这类语句就是我们接下来要学习的命题。 环节3：任务二：理解命题的概念（10分钟） 【课件内容】 ①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 ②如果两个角不相等，那么它们不是对顶角。 ③如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0。 观察：都是如果……那么……的形式，其中①③表示肯定，②表示否定。这些语句都是对某件事情作出判断。 【教师活动】 ▶ 展示三个如果……那么……语句，请学生齐读 ▶ 提问：这三个语句在形式上有什么相同点和不同点？ ▶ 引导学生发现：三个语句都采用了如果……那么……的形式；①和③表示肯定判断，②表示否定判断 ▶ 追问：这三个语句有一个相同的作用，是什么？ ▶ 引导学生归纳：它们都是对某件事情作出判断 ▶ 给出命题的定义：表示判断的语句叫做命题 ▶ 讲解命题的结构：命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成 ▶ 讲解命题的叙述形式：如果……那么……，如果后面接的是条件，那么后面接的是结论 ▶ 举例说明：以两直线平行为条件，同位角相等为结论，组成命题如果两直线平行，那么同位角相等 ▶ 出示例题：判断下列语句哪些是命题——（1）请关上窗户；（2）你明天骑车来上学吗？（3）天真冷啊！（4）今天晚上不会下雨 ▶ 逐项引导分析：祈使句、疑问句、感叹句都没有对事情作出判断，因此不是命题；（4）是对天气状况作出的判断，是命题 ▶ 总结：如果一个语句没有对某一事件作出任何判断，那么它就不是命题。感叹句、疑问句、祈使句等都不是命题。 【学生活动】 ▶ 齐读三个数学语句，感知内容 ▶ 观察三个语句，比较它们的异同 ▶ 发现形式相同点：都用如果……那么…… ▶ 发现内容不同点：①③是肯定判断，②是否定判断 ▶ 归纳共同作用：都是对某件事情作出判断 ▶ 记录命题的定义和结构笔记 ▶ 理解条件和结论的含义，能指出示例中的条件和结论 ▶ 独立判断四个语句是否为命题 ▶ 分析并说明判断理由：请关上窗户是祈使句——无判断→不是命题；你明天骑车来上学吗是疑问句——无判断→不是命题；天真冷啊是感叹句——无判断→不是命题；今天晚上不会下雨——对天气作出判断→是命题 ▶ 总结：命题必须对某件事情作出判断 【设计意图】通过让学生自己观察、比较三个命题的异同，培养观察能力和归纳能力。从具体实例出发，让学生在发现中自主建构命题的概念。即时练习让学生在实践中巩固对命题判断标准的理解。 【知识点归纳】 ✔ 命题：表示判断的语句 ✔ 命题的结构：条件（题设）+ 结论（题断） ✔ 命题的叙述形式：如果……那么…… ✔ 不是命题的语句类型：感叹句、疑问句、祈使句 【注意】判断一个语句是否为命题的关键是——看它是否对某件事情作出了判断。只要作出了判断（无论判断正确与否），就是命题。 【注意】如果……那么……是命题的标准形式，但不是所有命题都一定以这种形式出现。有些命题可以简写，但本质上都包含条件和结论。 【过渡语】命题由条件和结论两部分组成。那么，如何准确地从一个命题中找出它的条件和结论呢？特别是当命题不是以如果……那么……的标准形式出现时，该怎么办？ 环节4：区分命题的条件和结论（8分钟） 【课件内容】 ①如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行； ③若a²>b²，则a>b； ④同一平面内两条不相交的直线叫做平行线。→改写为：如果在同一平面内两条直线不相交，那么这两条直线平行。 【教师活动】 ▶ 出示四个命题，要求学生独立在练习本上写出每个命题的条件和结论 ▶ 巡视指导，关注学生处理第④题的方法——是否有学生能自主想到先改写 ▶ 请学生逐一汇报答案，重点请不同做法的同学板演 ▶ 重点讲解第④题：同一平面内两条不相交的直线叫做平行线是定义的形式，不是如果……那么……形式。要先将它改写为如果在同一平面内两条直线不相交，那么这两条直线平行，再找条件和结论 ▶ 总结方法：当命题的条件和结论不易分辨时，先将命题改写成如果……那么……的形式，再去找其条件和结论 ▶ 强调：能够推出结论的内容，都是条件。如果后面接条件，那么后面接结论 ▶ 总结找条件和结论的步骤口诀：一看命题形式，二改写为标准形式，三找出条件和结论 【学生活动】 ▶ 在练习本上独立写出四个命题的条件和结论 ▶ 同桌互相交流，核对答案，讨论差异 ▶ 上台板演并讲解自己的解题思路 ▶ 针对第④题：发现无法直接找到条件和结论，尝试改写成标准形式 ▶ 学习将定义形式改写为如果……那么……形式的方法 ▶ 掌握改写步骤：先找出命题中描述事物特征的部分（条件），再找出由此推出的结果（结论），用如果连接条件，那么连接结论 【设计意图】通过四个不同形式的命题，让学生经历从易到难的梯度训练。第④题的设计意在制造认知冲突——定义形式的命题怎么找条件和结论？促使学生自主发现先改写再分析的策略，培养转化思想。 【知识点归纳】 ✔ 找条件和结论的方法：先将命题改写成如果……那么……的形式 ✔ 如果后面是条件，那么后面是结论 ✔ 不是标准形式的命题需要先改写，改写时不能改变原命题的意思 【注意】当命题不是如果……那么……形式时，先改写为标准形式，再找条件和结论。改写时注意不能改变原命题的意思。 【注意】能够推出结论的内容都是条件。条件可能包含多个信息点，要把所有能推出结论的内容都找出来。 【过渡语】掌握了命题的定义、结构和条件与结论的区分方法后，我们还需要对命题的质量做出评价——一个命题正确不正确？接下来我们学习如何判断命题的真假。 环节5：命题的真假——真命题与假命题（7分钟） 【课件内容】 ①如果两条直线相交，那么它们只有一个交点——真命题 ②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行——真命题 ③若a²>b²，则a>b——假命题（反例：a=-2，b=1） ④同一平面内两条不相交的直线叫做平行线——真命题 命题的分类：真命题（正确的）、假命题（不正确的） 反例：举例，使它具备命题条件，而不符合命题结论 【教师活动】 ▶ 出示四个命题（与环节四相同），请学生逐一判断：条件成立时，结论是否一定成立？ ▶ 引导学生分析①②④：条件成立时，结论一定成立——都是真命题 ▶ 重点分析③若a²>b²，则a>b：设a=-2，b=1，则a²=4，b²=1，条件a²>b²成立，但a=-2<b=1，结论不成立。当条件成立时，结论不一定成立——假命题 ▶ 给出命题的分类：正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题 ▶ 讲解假命题的验证方法——反例：举例，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论，这种例子称为反例 ▶ 强调：要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。一个反例就够了！ ▶ 提问：你发现定义与命题有什么关系？引导学生思考并讨论 【学生活动】 ▶ 逐一判断四个命题的真假 ▶ 对于①：两条直线相交只有一个交点——认可为真命题 ▶ 对于②：同旁内角互补，两直线平行——根据平行线判定定理，认可为真命题 ▶ 对于③：尝试寻找反例——发现a=-2，b=1时条件成立但结论不成立，判定为假命题 ▶ 对于④：平行线的定义——认可为真命题 ▶ 理解真命题和假命题的定义，记录笔记 ▶ 理解反例的含义：同时满足两个条件——具备命题的条件，但不具备命题的结论 ▶ 思考定义与命题的关系：定义是说明概念含义的语句，本质上也是一种命题，而且定义一定是真命题 【设计意图】从四个学生熟悉的几何和代数命题入手，让学生自主判断真伪。通过第③题自然生成反例，引出反例的概念和举反例的方法。最后通过定义与命题的关系这一问题，将新知（命题）与旧知（定义）建立联系，形成知识网络。 【知识点归纳】 ✔ 真命题：正确的命题，条件成立时结论一定成立 ✔ 假命题：不正确的命题，条件成立时结论不一定成立 ✔ 反例：具备命题条件但不符合命题结论的例子 ✔ 验证假命题的方法：举出一个反例即可 ✔ 定义与命题的关系：定义也是命题的一种，且一定是真命题 【注意】要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。举反例是判断假命题的最有效方法，一个反例即可否定整个命题。 【注意】举反例时，必须同时满足两个条件：（1）符合命题的条件；（2）不符合命题的结论。两个条件缺一不可。 【过渡语】通过前面的学习，我们已经掌握了命题的定义、结构、条件结论的区分以及真假的判断方法。接下来通过一道完整的例题，把今天所学的方法连贯地运用一遍。 环节6：例题精讲（5分钟） 【课件内容】 已知命题绝对值相等的两个数互为相反数 解：（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数 （2）题设：两个数的绝对值相等；结论：这两个数互为相反数 （3）假命题。反例：2和2的绝对值相等，但它们不互为相反数 【教师活动】 ▶ 出示例题：已知命题绝对值相等的两个数互为相反数。（1）将这命题改写成如果……那么……的形式；（2）写出这命题的题设和结论；（3）判断该命题的真假，如果是假命题，举一个反例 ▶ 请学生独立思考后在练习本上完成三个小问 ▶ 请一位学生上台板演完整的解题过程 ▶ 引导全班讲评：改写是否正确？题设和结论是否与改写后的形式对应？反例是否恰当？ ▶ 规范板书解题格式，强调数学表达的规范性 ▶ 强调反例的选取技巧：2和2绝对值相等但不互为相反数——反例要简洁、明确、无可争议。选取反例时尽量取整数、取简单数字 【学生活动】 ▶ 认真审题，明确三个小问的要求 ▶ 独立完成例题：改写→如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数 ▶ 找出题设：两个数的绝对值相等；结论：这两个数互为相反数 ▶ 判断真假：假命题。举反例：2和2的绝对值相等，但它们不互为相反数（互为相反数的两个数绝对值相等但符号相反） ▶ 对照板演修正自己的答案，学习规范格式 【设计意图】通过一道综合例题，让学生完整经历改写→分析→判断→举反例的解题全过程，将分散的知识点串联为系统的解题方法链。板演环节培养规范书写的习惯，反例选取强调简洁性和确定性。 【注意】举反例验证假命题的规范步骤：①改写成如果……那么……形式；②明确指出题设和结论；③写出反例并说明为什么它是反例（同时满足条件和不满足结论）。 【过渡语】例题帮助我们掌握了完整的方法。下面通过巩固练习，检验大家今天新知的掌握情况。 环节7：巩固练习（5分钟） 【课件内容】 练习1：C不属于定义 练习2：C（①②③不是命题，④是命题） 练习3：B是真命题 【教师活动】 ▶ 出示三道练习题，限时3分钟独立完成 ▶ 逐题订正，提问学生并请他们说明判断理由，而非仅给出答案 ▶ 练习1讲评：C对顶角相等是对顶角的性质，不是定义。A、B、D都是定义，均采用……叫做……的形式来说明概念含义。答案：C ▶ 练习2讲评：①作线段BC的垂直平分线是作图指令；②延长线段AB到C是作图指令；③已知∠AOB=36°，求它的补角的度数是求值指令。三者都没有对某件事作出判断，不是命题。④若a²=b²，则a=b是命题（假命题）。答案：C（3个） ▶ 练习3讲评：A反例——120°的补角是60°，60°<120°；B是真命题——平行线的基本性质；C反例——当c≤0时不成立，如3>2但3×(-1)<2×(-1)；D反例——角平分线将角分成两个相等的角，但这两个角不是对顶角。答案：B ▶ 针对高频易错点重点强调：对顶角相等是对顶角的性质，不是对顶角的定义 【学生活动】 ▶ 限时3分钟独立完成三道练习题 ▶ 练习1：判定C对顶角相等不是定义（因为它是性质描述），选C ▶ 练习2：分析每个语句，①②③均为指令性语句，未作判断；④是命题。选C（3个） ▶ 练习3：A举反例排除；B确认为真命题；C举c=-1反例排除；D举角平分线反例排除。选B ▶ 纠正自己的错误答案，记录易错点 【设计意图】三道练习题分别聚焦三个核心考点：练习1——定义与命题的辨析；练习2——命题的判断（识别非命题）；练习3——真命题的判断（举反例排除法）。逐层递进，全面覆盖教学目标。每道题的干扰项都包含典型易错点，利于当堂暴露和纠错。 【注意】练习1易错提醒：对顶角相等是命题（且是真命题），但它是性质定理，不是对顶角的定义。定义采用……叫做……形式，性质不采用这种形式。 环节8：课堂小结（2分钟） 【课件内容】 知识框架：定义与命题→定义（说明概念含义的语句）+命题（表示判断的语句）→命题的组成（条件+结论）→命题的分类（真命题+假命题，反例验证） 【教师活动】 ▶ 提问：针对本节课的关键词定义与命题，你能说说学到了哪些知识吗？ ▶ 引导学生从定义的概念、命题的概念、命题的结构（条件和结论）、命题的分类（真命题和假命题）、举反例的方法这五个方面逐一回顾 ▶ 展示知识框架图（思维导图），帮助学生建构完整的知识体系 ▶ 强调三个重点：①命题的判断方法——看是否作出判断；②找条件和结论的方法——先改写为如果……那么……形式；③假命题的验证方法——举反例 ▶ 布置课后作业 【学生活动】 ▶ 回顾本节课所学内容，自主梳理知识点 ▶ 从定义和命题两条主线回答：定义是说明概念含义的语句，形式为……叫做……；命题是表示判断的语句，由条件和结论组成，分为真命题和假命题 ▶ 查看知识框架图，补充自己遗漏的知识点 ▶ 记录三个重点方法和课后作业 【设计意图】采用思维导图式的小结，帮助学生将零散的知识点串联成系统的知识网络。说的过程就是内化和整理的过程。最后明确三个核心方法，突出本节课的解题策略。 四、板书设计 ┌───────────────────────────────────┐ │ 1.1 定义与命题 │ │ 一、定义 │ │ 概念：说明一个概念含义的语句 │ │ 形式：“……叫做……” │ │ 示例：线段是直线上两点和两点间的部分 │ │ 二、命题 │ │ 概念：表示判断的语句 │ │ 结构：条件（题设）+结论（题断） │ │ 形式：“如果……那么……” │ │ 分类：真命题、假命题（反例验证） │ └───────────────────────────────────┘ 五、教学反思 本节课从生活中父子对话的趣味情境引入，有效激发了学生的学习兴趣，让学生在笑声中体会到统一定义的重要性。 教学过程中注重“从特殊到一般”的归纳方法，让学生通过观察具体实例自主发现定义和命题的特征，培养了学生的观察、比较、归纳能力。 “定义形式的命题如何找条件和结论”是本节课的难点。通过第④题的设计制造认知冲突，促使学生自主发现“先改写再分析”的策略，效果较好。部分学生在改写时容易改变原意，需要进一步强化训练。 “举反例”是学生必须掌握的核心技能。教学中通过a²>b²则a>b这个经典反例，让学生理解了反例的含义和选取方法。建议在后续练习中增加更多变式反例练习。 三道巩固练习覆盖了定义辨析、命题判断、真命题判断三个核心考点，层次清晰。学生对“对顶角相等是否为定义”这一辨析点容易出错，需要在后续复习中反复强调。 学科网（北京）股份有限公司 $