27.5 二次函数的简单应用（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数的实际应用核心知识点，梳理从分析变量关系建立模型，到运用抛物线（造型、轨迹）、面积、利润最值模型解决问题的脉络，通过最值处理与四步解题步骤搭建学习支架。 资料以拱桥、投球、围栏、利润等真实情境为载体，通过例题与对点练结合，培养学生用数学眼光抽象变量、用数学思维推理最值、用数学语言表达模型的核心素养。课中助力教师分层教学，课后学生可通过基础到迁移创新练习巩固知识，查漏补缺。

第二十七章 二次函数 27.5 二次函数与一元二次方程 课标要点 1. 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 2. 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； 3. 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 学习重难点 重点： 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 难点： 二次函数模型的选择与应用； 知识点 二次函数应用的常见模型 1. 抛物线模型 （1）抛物线造型 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算高度、宽度进一步解决实际问题。 （2）抛物线轨迹 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 2. 面积模型 根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 3. 利润最值模型 根据利润与单价、销售量之间的数量关系建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 知识点 二次函数的最值问题 1. 当顶点在区间内时，最值就是顶点纵坐标； 2. 当顶点不在区间内时，结合自变量取值范围，最值就是最高（低）点纵坐标； 知识点 二次函数应用解题步骤 ①审题，找准变量及变量之间的数量关系； ②建模，设比变量x、函数y,列出二次函数表达式； ③求表达式； ④用表达式。 题型 抛物线型问题 解题贴士 1. 常见题型有拱桥模型、隧道模型。 2. 建立合理的直角坐标系，选择合适的方式先求出抛物线的表达式再去解决具体问题。 ▌例1如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） ▌例2远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． ▌对点练1. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． ▌对点练2 综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ▌对点练3. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 题型 抛物线轨迹问题 解题贴士 1. 常见题型有投球模型、洒水模型。 2. 设抛物线轨迹表达式为一般式或顶点式，先代入已知点求出表达式，再计算出最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 ▌例1 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． ▌例2【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 (1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） (3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． ▌对点练1. 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． ▌对点练2. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． ▌对点练3. 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 题型 面积模型 解题贴士 1.根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 2.“靠墙围栏”是此类问题的典型题型，一定要注意所求矩形的长要不大于围墙的长度。 3.“开门问题”是此类题型的难点，多开一个门相当于围栏总长度增加一个门的长度。 ▌例1 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． ▌对点练1. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？ ▌对点练2. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 题型 利润销售问题 解题贴士 1. 销售利润=单件商品利润销售量 2. 当销售量与销售单价存在数量关系时，要先求出销售量与单价的函数表达式，然后再求利润与销售单价的函数表达式。 ▌例1 某商店经销一种玩具，每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．玩具的单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图所示． (1)写出该店当一次销售个时，所获利润w（元）与销售数量n（个）之间的函数关系式： (2)店长经过一段时间的销售发现：卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少？ ▌例2 一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ ▌对点练1. 为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，按元千克销售，每天可售出千克．经过市场调查发现：每千克涨元，每天销售量就减少千克．设售价为元千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． (1)分别求出与，与的函数解析式 (2)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克元，该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元 ▌对点练2. 为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱． (1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______； (2)求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式； (3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？ ▌对点练3. 某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 基础通关 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一个被击打的小球从地面弹起后距地面高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的函数关系为，则小球从弹起到落地所用的时间为（    ） A． B． C．4 D．3 2．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   5．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______秒． 7．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 10．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 素养提升 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 5．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 7．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 8．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 10．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 迁移创新 1．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 2．（25-26九年级上·天津·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.5 二次函数的简单应用 课标要点 1. 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 2. 能利用配方法或公式法求二次函数的最大值解决最值问题； 3. 能利用二次函数的图像与性质解决诸如面积、利润、运动轨迹等实际问题。 学习重难点 重点： 能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型解决问题； 难点： 二次函数模型的选择与应用； 知识点 二次函数应用的常见模型 1. 抛物线模型 （1）抛物线造型 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算高度、宽度进一步解决实际问题。 （2）抛物线轨迹 建立合理的直角坐标系，求出抛物线的表达式，计算最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 2. 面积模型 根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 3. 利润最值模型 根据利润与单价、销售量之间的数量关系建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 知识点 二次函数的最值问题 1. 当顶点在区间内时，最值就是顶点纵坐标； 2. 当顶点不在区间内时，结合自变量取值范围，最值就是最高（低）点纵坐标； 知识点 二次函数应用解题步骤 ①审题，找准变量及变量之间的数量关系； ②建模，设比变量x、函数y,列出二次函数表达式； ③求表达式； ④用表达式。 题型 抛物线型问题 解题贴士 1. 常见题型有拱桥模型、隧道模型。 2. 建立合理的直角坐标系，选择合适的方式先求出抛物线的表达式再去解决具体问题。 ▌例1如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． ▌例2远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． ▌对点练1. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． ▌对点练2 综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1)，． (2)． (3)这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求得函数表达式，进而可求解； （2）令，解方程求得x值，进而可求解； （3）求解当或时，，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． ▌对点练3. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识． ()利用待定系数法求出函数解析式即可； () 求出当时，，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ∴ 解得：， ∴所在抛物线的函数表达式为； （2）∵点到的距离均为， 当时，， ， ∴， ∴这两条灯带的总长为． 题型 抛物线轨迹问题 解题贴士 1. 常见题型有投球模型、洒水模型。 2. 设抛物线轨迹表达式为一般式或顶点式，先代入已知点求出表达式，再计算出最高点和落点坐标进一步解决实际问题。 ▌例1 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． ▌例2【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 (1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） (3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米 (3)的最小值约米 【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与相同，所以可设抛物线解析式为，再将点和点的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式． 任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至少10厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可得到水平距离． 任务三：因为要使挡板材料最少即长度最小，所以是点到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐标，用两点距离公式表示的长度，结合抛物线解析式求表达式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线开口大小和方向与相同， ∴设解析式为． 由题意得喷水口， 代入，得​； 再将落水点代入，得， 解得． ∴抛物线解析式为：． （2）解：设薄膜与x轴交点为， ∵薄膜与地面夹角为， ∴薄膜所在直线与y轴交点为， 设薄膜所在直线解析式为， 则， 解得， ∴薄膜所在直线解析式为． 设抛物线上一点到直线的距离为，要求水到薄膜的垂直距离至少为，即， 过点E作轴，过点F作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∵x值唯一， ∴， 解得．​ 即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求． （3）解：设抛物线上点， ∵， ∴， ∵抛物线解析式， ∴整理得， 代入得：， ∵抛物线的范围为， ∴当时，最小为， 得（米）． ∴最小值约米． ▌对点练1. 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． ▌对点练2. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． ▌对点练3. 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． (2)若实心球落地点为，求的长． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图：； 抛物线解析式为： (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式； （2）当时，求得的值，即的长． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． ∴设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，， 解得：（舍去），， 即的长为． 题型 面积模型 解题贴士 1.根据面积公式建立二次函数模型，利用配方法结合自变量取值范围求面积最值进而解决实际问题。 2.“靠墙围栏”是此类问题的典型题型，一定要注意所求矩形的长要不大于围墙的长度。 3.“开门问题”是此类题型的难点，多开一个门相当于围栏总长度增加一个门的长度。 ▌例1 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)自行车车棚面积最大可达到，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）解： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. ▌对点练1. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆），且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答； （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， 米， 故答案为：； （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ， 在时，此时（米），取得最大值，最大为平方米， 当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米． ▌对点练2. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米． (1)苗圃的另一边长为______米；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式． （1）根据木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米，即可求解； （2）根据题意列不等式求出，设苗圃的面积为，则，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵木栏总长米，两处各留米宽的门，苗圃的一边长为米， 米， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 解得， 设苗圃的面积为， 则， ，， 当时，最大，最大为， 答：当时，苗圃的面积最大，最大面积为平方米． 题型 利润销售问题 解题贴士 1. 销售利润=单件商品利润销售量 2. 当销售量与销售单价存在数量关系时，要先求出销售量与单价的函数表达式，然后再求利润与销售单价的函数表达式。 ▌例1 某商店经销一种玩具，每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．玩具的单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图所示． (1)写出该店当一次销售个时，所获利润w（元）与销售数量n（个）之间的函数关系式： (2)店长经过一段时间的销售发现：卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少？ 【答案】(1)当时，， 当时， (2)解释见详解，至少提高到85元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性及利用待定系数法求函数的解析式． （1）先利用待定系数法求线段的函数的解析式，设，把和代入上式得到关于k，b的方程组，解方程组即可，然后再分类讨论：当时，；当时，； （2）配方得到，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元． 【详解】（1）解：设， 将和代入上式，得， 解得， ∴线段的函数解析式为， 当时，， 当时，． （2）解：， ①当时，w随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大； ②当时，w随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小， ∴卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多， ∴当时，， ∴当每个玩具不得低于85元时，n的范围为，函数图象都在对称轴左侧，w随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大， ∴为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元． ▌例2 一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天最大利润为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(平均增长率问题)和二次函数的实际应用(利润最值问题)． （1）平均增长率问题的核心公式为：，设平均增长率为，根据7月日和7月日的票房数据列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． （2）利润最值问题需先建立利润与售价的函数关系式：利润=单件利润×销售量-固定成本．设售价为元，分别表示出单件利润和销售量，进而得到二次函数表达式，利用二次函数“开口向下时，顶点处取得最大值”的性质计算最大利润及对应售价． 【详解】（1）解：设从7月日到7月日票房收入的平均增长率为， ∴根据素材1列方程：， 解得：，(增长率不能为负数，舍去)， 答：从7月日到7月日票房收入的平均增长率为； （2）解：设售价为元，每天的利润为元， 根据素材2，当售价为元时，每天的销售量为本， ∴， ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下， ∴当时，有最大值． 答：售价为元时，每天最大利润为元． ▌对点练1. 为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，按元千克销售，每天可售出千克．经过市场调查发现：每千克涨元，每天销售量就减少千克．设售价为元千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． (1)分别求出与，与的函数解析式 (2)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克元，该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元 【答案】(1)（）；（） (2)销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式，并结合二次函数的性质求解最值． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系得出与的函数式；再由“利润（售价成本）销售量”得出与的函数式； （2）将利润函数化为顶点式，结合售价取值范围确定最大值及对应售价． 【详解】（1）解：由题意，（）； （）． （2）解：， 因，对称轴为，又， 故当时，． 答：销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元． ▌对点练2. 为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱． (1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______； (2)求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式； (3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？ 【答案】(1) (2) (3)每箱售价应为70元时，获利最多． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设降价的百分率为x，由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后化简即可； （3）由题意易得，然后由（2）及二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：设降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（舍去）； 故答案为：； （2）解：由题意得： ； （3）解：设周销量为y箱，则，解得， 因为，所以， 解得， 又因为售价不高于75元，所以， 对于二次函数， 其中，对称轴为， 因为对称轴在的左侧， 所以在上随x的增大而减小， 所以当时，W有最大值，， 答：每箱售价应为70元时，获利最多． ▌对点练3. 某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500 (2)，第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式． （1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设，把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； （2）解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 基础通关 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一个被击打的小球从地面弹起后距地面高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的函数关系为，则小球从弹起到落地所用的时间为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题． 根据关系式，令求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间． 【详解】解：依题意，令得： ∴， 得：， 解得：（舍去）或， ∴即小球从飞出到落地所用的时间为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 5．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______秒． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数的应用，飞机停止滑行时，其滑行距离达到最大值，因此本题即求二次函数达到最大值时的取值，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值对应的时间t，即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴当时，滑行距离达到最大值，故所求时间为15秒， 故答案为：15． 7．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 10．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 素养提升 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 3．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，将解析式化简为顶点式，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为（米）， 故答案为：． 5．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 7．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 8．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)①第15个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；② 【分析】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． （）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润（售价成本）设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，求出关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【详解】（1）解：把时，；时，代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴的取值范围． 10．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）一部名为《南京照相馆》的电影于2025年7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 素材1：某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 素材2：某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 解决问题： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天最大利润为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(平均增长率问题)和二次函数的实际应用(利润最值问题)． （1）平均增长率问题的核心公式为：，设平均增长率为，根据7月日和7月日的票房数据列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． （2）利润最值问题需先建立利润与售价的函数关系式：利润=单件利润×销售量-固定成本．设售价为元，分别表示出单件利润和销售量，进而得到二次函数表达式，利用二次函数“开口向下时，顶点处取得最大值”的性质计算最大利润及对应售价． 【详解】（1）解：设从7月日到7月日票房收入的平均增长率为， ∴根据素材1列方程：， 解得：，(增长率不能为负数，舍去)， 答：从7月日到7月日票房收入的平均增长率为； （2）解：设售价为元，每天的利润为元， 根据素材2，当售价为元时，每天的销售量为本， ∴， ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下， ∴当时，有最大值． 答：售价为元时，每天最大利润为元． 迁移创新 1．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①令，解方程求出的值，再把的值代入求出即可； ②当时，．求得．当时，．求得，再求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求解即可． ，从而得出结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为． 将和代入，得 解得 ∴关于的函数解析式为． （2）①解：令，则， 解得，（舍去）． 当时，． 答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为． ②该航模飞机此次试飞能达到要求． 理由：当时，．解得． 当时，．解得． ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． ∴，均在对称轴的左侧． ∵， ∴当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值是． ∵， ∴该航模飞机此次试飞能达到要求． 2．（25-26九年级上·天津·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的关键． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $