精品解析：山西太原市2025-2026学年第二学期七年级期末学业诊断数学

2025~2026学年第二学期七年级期末数学学业诊断 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A.原图是轴对称图形，符合要求； B.原图不是轴对称图形，不符合要求； C.原图不是轴对称图形，不符合要求； D.原图不是轴对称图形，不符合要求． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式基本运算，需要运用同底数幂的乘除法则、平方差公式和完全平方公式，逐一计算选项即可判断正误； 【详解】解： 选项A．∵ ，∴ A错误； 选项B．∵ ，∴ B错误； 选项C．∵ 符合平方差公式，计算得 ，∴ C正确； 选项D．∵ ，∴ D错误． 3. 成语“守株待兔”的故事反映的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需根据三类事件的定义，结合成语含义判断对应事件类型； 【详解】解：∵在一定条件下，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件； “守株待兔”中农夫再次等到兔子撞树的事件，可能发生也可能不发生； ∴该事件属于随机事件； 4. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部肌肉．如图是小美同学做仰卧起坐运动时，某一瞬间的动作及示意图，点，，，，，均在同一平面，且，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ； 5. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 【答案】B 【解析】 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 6. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 7. 如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 8. 据报道，我国复旦大学某科研团队研制出“破晓（）”新型闪存器件，该器件执行一次擦写需要400皮秒，其速度在半导体电荷存储领域全球领先．已知1皮秒等于秒，数据“400皮秒”用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题思路是先根据单位换算得到400皮秒对应的秒数，再将结果整理为符合要求的科学记数法形式，科学记数法的标准形式为，其中，n为整数. 【详解】解：∵皮秒秒， ∴皮秒秒， 整理，得： 秒； 9. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 10. 如图，线段与线段关于直线对称，且与的交点在直线上，点，的对称点分别是点，．下列结论不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质：①对称轴垂直平分任意一组对称点的连线；②对称轴两侧对应角相等、对应线段平行；逐一判断四个选项，找出无法必然成立的结论． 【详解】解：已知线段、关于直线对称，与、与为对称点，交点在对称轴上． 选项：根据轴对称性质：对称轴垂直平分两组对称点的连线，、是对称点，因此直线垂直平分线段，即，该结论一定正确． 选项：由轴对称，； 又、关于对称，； 与为对顶角，， 因此，该结论一定正确． 选项D：根据轴对称性质，，， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故，该结论一定正确． 选项A：轴对称仅保证、关于翻折后完全重合,两线段的夹角可以是任意角度，不一定为． 举反例:若与对称轴夹角为，则与夹角也为，此时与夹角为，不垂直． 因此不一定成立． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．将答案写在答题卡相应的位置） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可； 【详解】解：根据题意，得； 12. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 【答案】 ##36度 【解析】 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 13. 某景区共享快充充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按0.2元计费；30分钟后，超过部分按每分钟0.1元计费．设租用一个该款共享快充充电宝的时间为分钟，则总费用（元）与时间（分钟）的关系式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据租金规则，总费用为前30分钟费用与超过30分钟部分费用的和，据此列出关系式即可. 【详解】解：当时，前30分钟费用为元， 超过部分时间为分钟，超过部分费用为元， 因此总费用. 14. 请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 15. 如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用折叠性质得、，结合求出底角度数，再根据得到等腰的内角关系，最后利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设． 由折叠得：，． ，． ，， ， ． ， 为等腰三角形，． 在中， ， ， 在中，内角和为： ， 其中，代入得： ， 化简计算： ， ， ， 即． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可； （2）整式的乘法，计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18. 学校计划每周二下午第三节课开展“优秀传统文化进校园”活动，拟开展活动项目为：剪纸、武术、书法、器乐，要求七年级100名学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处对此进行统计，绘制了如下表格： 剪纸 武术 书法 器乐 男生人数 10 20 13 9 女生人数 15 10 8 15 学校教务处计划从女生中随机抽取一名了解具体情况，求正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先计算全体女生总人数，再找出参加器乐项目的女生人数，根据古典概型概率公式代入数值即可求出对应概率． 【详解】解：因为从女生中随机抽取一名了解具体情况，由表格得，女生共有（名），所以共有48种结果，每种结果出现的可能性相同， 其中，抽到参加“器乐”活动项目的女生的结果有15种， 所以． 19. 如图，4个长为a、宽为b的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积．你能得到怎样的等式？请验证它的正确性． 【答案】解：图中阴影部分的面积为四个长方形的面积：即， 图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：即， ∴； 验证如下： ． 【解析】 【详解】略 20. 如图，等腰三角形中，． （1）在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线，边交于点，．若，小亮发现，并将说理过程梳理为如下思路图，请补全①②③处空缺的内容． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）已知为等腰三角形，，等腰三角形三线合一，边上的高同时是的垂直平分线； （2）根据平行线性质即可求解． 【小问1详解】 解：分别以点、为圆心，大于的等长线段为半径画弧，两弧交于上下两点；连接两交点，得到的垂直平分线，该线与交于，且经过点A；线段即为边上的高，保留圆弧、交点、直线痕迹即可． 【小问2详解】 解：由同位角相等，两直线平行： ，同位角相等，； 由两直线平行，同位角相等： ，②； 已知，结合， 得； 由内错角相等，两直线平行：． 21. 为了检测甲、乙两个容器的保温性能，检测员在两个容器中同时装满相同温度的水，每隔测量一次两个容器中的水温（实验过程中室温保持不变），最后根据记录的温度画出如图所示的图象． 观察图象，回答下列问题： （1）经过，容器中的水温较高（填“甲”或“乙”）； （2）请写出图中点表示的实际意义； （3）你认为哪个容器的保温性能更好些？说说你的理由． 【答案】（1）甲 （2）经过，甲乙两个容器中水温相同，约为 （3）甲容器，因为在相同时间内，甲容器中的水温比乙容器中的水温下降得慢 【解析】 【分析】（1）观察图象即可回答问题； （2）交点代表同一时刻两容器水温相等； （3）横轴代表时间、纵轴代表水温，图像曲线下降快慢反映水温冷却速度，降温越慢保温性能越好． 【小问1详解】 解：单位换算：，在横轴找到时间60min的位置，竖直向上观察对应曲线纵坐标：甲曲线温度数值大于乙曲线，因此经过1h，甲容器水温更高． 【小问2详解】 解：点横坐标为160，纵坐标为20，横坐标代表实验时间，纵坐标代表水温，因此实际意义：实验进行160分钟时，甲、乙两个容器中的水温相等，都是20°C． 【小问3详解】 解：保温性能好坏看水温下降速度：初始水温相同，任意同一时间点，甲容器内水温始终高于乙容器，说明甲容器水温下降速度更慢，热量散失更少，所以甲容器保温性能更好． 22. 综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 （1）请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【答案】（1）甲同学的方案可行． 理由如下： 和为直线与相交形成的对顶角， ， 在和中 ， ， ， 因此，甲同学的方案可行． （2） 【解析】 【分析】（1）通过边角边SAS证明，利用全等三角形对应边相等，得到，因此测量长度即可得到长度；乙同学方案缺少全等条件，无法证明，不可行． （2）添加全等条件即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件： 在和中 ， ， ， 因此，可以使乙同学的方案可行． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． （1）特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； （2）拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； （3）当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）．理由如下： ， ， 中，， ， ， 中，，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称及等腰三角形性质求解即可； （2）根据轴对称及等腰三角形性质证明，可得到； （3）分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：关于对称， ， 为等腰三角形，， 又， 为等腰三角形，， 当点在直线上时，三点共线， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①若，如图， ， ， 中，， ，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ； ②若，如图， ， ， 中，， ， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期七年级期末数学学业诊断 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 成语“守株待兔”的故事反映的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法判断 4. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部肌肉．如图是小美同学做仰卧起坐运动时，某一瞬间的动作及示意图，点，，，，，均在同一平面，且，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 6. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 7. 如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A. B. C. D. 8. 据报道，我国复旦大学某科研团队研制出“破晓（）”新型闪存器件，该器件执行一次擦写需要400皮秒，其速度在半导体电荷存储领域全球领先．已知1皮秒等于秒，数据“400皮秒”用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 9. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图，线段与线段关于直线对称，且与的交点在直线上，点，的对称点分别是点，．下列结论不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．将答案写在答题卡相应的位置） 11. 计算：________． 12. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 13. 某景区共享快充充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按0.2元计费；30分钟后，超过部分按每分钟0.1元计费．设租用一个该款共享快充充电宝的时间为分钟，则总费用（元）与时间（分钟）的关系式是__________． 14. 请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 15. 如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，，则的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 学校计划每周二下午第三节课开展“优秀传统文化进校园”活动，拟开展活动项目为：剪纸、武术、书法、器乐，要求七年级100名学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处对此进行统计，绘制了如下表格： 剪纸 武术 书法 器乐 男生人数 10 20 13 9 女生人数 15 10 8 15 学校教务处计划从女生中随机抽取一名了解具体情况，求正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率． 19. 如图，4个长为a、宽为b的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积．你能得到怎样的等式？请验证它的正确性． 20. 如图，等腰三角形中，． （1）在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线，边交于点，．若，小亮发现，并将说理过程梳理为如下思路图，请补全①②③处空缺的内容． 21. 为了检测甲、乙两个容器的保温性能，检测员在两个容器中同时装满相同温度的水，每隔测量一次两个容器中的水温（实验过程中室温保持不变），最后根据记录的温度画出如图所示的图象． 观察图象，回答下列问题： （1）经过，容器中的水温较高（填“甲”或“乙”）； （2）请写出图中点表示的实际意义； （3）你认为哪个容器的保温性能更好些？说说你的理由． 22. 综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 （1）请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． （1）特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； （2）拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； （3）当是直角三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $