课时分层检测(10)基本不等式&课时分层检测(11)基本不等式的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

创新拓展练 .(a-c)(a-d0≥0，.a2-(c+d)a+cd≥1 1. 0,即d+cd≥(c+d0a.a>h≥0，a+c 2≥a瓜+派+a,即a++c≥ 2.解因为x1∈{x-1≤x≤3}，x2∈{x0 a ab+√c+√ca.由于a,b,c不全相等， x2}, 所以y1∈{y0≤y9},w∈{y-4-n: cd.abzcd,bcd .∴.a十2a cd ∴.等号不成立，∴.a十b十c>√ab十r 1 ≥心十+ +√ca. 又因为对Hx∈{x一1≤x≤3}，了x∈5.解(1)设甲两次购物时购物量均为m, 创新拓展练 (x0≤x≤2}，使得y≥， 则两次购物总资用为m干p:,购物总： 1 ABC 即y的最小值大于或等于”的最小值，： 2.证明，a,b,c都是正数， 即一4一m0, 量为2m,平均价格为Q,=m+p:m 2m ∴.a+b≥2√ab,b+c≥2√， 解得m≥一4， 所以m的取值范圆为{nn≥一4}. p十色.设乙两次购物时所花钱数均为m, a+c≥2√ac, 2 ∴.a+b+b+c十a十c 课时分层检测（八） 则两次购物总费用为2，购物总量为 ≥2(Wab+Wbc+√ac), p1 基础达标练 ,∴.a+b+c≥/ab+√/bc+/ac. 1.C 2.AD 3.D 4.B 5.ABC ,平均价格为Q一 2n (当且仅当a=b=c时，等号成立) 6.存在x∈R,使得x一2十x一43 ”十 课时分层检测（十一） 7.{aa≥1} 8.解(1)所有的四边形都没有外接圆， 22.综上，Q=色色，Q,=2n 基础达标练 (2)存在一个末位数字为9的整数不能被 pi+p: 2 p1十p: 1.B 2.B 3.C 4.ABD 5.BC 6.8 3整除. (3)Hx∈R,x2+2≥0. (2)p1≠p,Q,-Q。=p+p 7.28.16 9.解(1)这一命题可以表述为p:“对所有 (p1十p2)2-4p1p2 9.解 (①当>0时x≥22· 4 的实数m,方程x2十x一m=0有实数根” 2p1p2 其否定形式是一：“存在实数m,使得 pP2 2(p1+P2) =4, x2十x一m=0没有实数根” 当且仅当工=4时，即x2=4,工=2时取 当△=1+4m<0,即m<- 1时，一元二 20十p>0Q,>Q. 由此可知，第二种购物方式比较划算 等号. 次方程没有实数根，所以一p是真命题. 创新拓展练 工十4(x>0)在x=2时取得最小值4. (2)这一命题的否定形式是9：对所有实！1B 3 数x,都有x2十x十3>0. 2.解，二次函数y=a.x2十bx十c的图象过 原点， (2)0<x<2.3-2x>0, 利用配方法可以验证一9是一个真命题， (3)这一命题的否定形式是一r:存在一对！ ,c=0, ,.4x(3-2x)=22x(3-2x)] 等圆，其面积不相等或周长不相等，由平 .y=ax2十b.x.当x=-2时，y=4a ≤22.x+(3-2x2129 面几何知识知一”是一个假命题. -2b. 2 =2 能力提升练 又当x=-1时，1a一b2, ① 1.AC2.53.是 当x=1时，3a+b4, ② 当且仅当2x=3-2x,即x= 子时，号成 4.解 因为命题p:了x>0,x十a-1=0为 设存在实数n,n,使得4a-2b=m(a十b)1 立 假命题， +n(a-b),而4a一2b=(m十)a+(m- 所以7p:Hx>0,x十a一1≠0是真命题，1 n)b. {红0<受} 即x≠1一a, n+n=4, 所以1一a0,即a≥1. 1n-n=-2, x(3-2x)(0<<号)的最大值 所以a的取值范围为{aa≥1}. 解得n=1,n-3, 创新拓展练 ,∴.4a-2b=(a+b)+3(a-b). 为 1.{mm≥4} 11 由①D②可知3a十b4,33(a一b)6 ∴.3+34a-2b4+6,即64a- 26:10,解设城建公司获得的附加效益为y千 2.解由题意知命题p,q都是真命题 10 元，由题意得 由对任意1x3,都有n≥x成立，只需 故当x= 2时，y的取值范围是{y6 784 y=2x- (6x m大于或等于x的最大值，即n≥3.由存 y10}. x+3118）-118 在1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或 课时分层检测（十） 等于x的最小值，即n≥1.因为两者同时 (4+784 x十3 成立，故实数m的取值范图为{mm≥3} 基础达标练 1.D 2.ACD 3.C 4.A 5.ACD =118-4(x+3) 184-一12] ∩{nm≥1}={nm≥3}. x+ 6.a2+b2>ab+bc+ac 课时分层检测（九） = 130- [4(x+3)+ 7841≤130 x+3 基础达标练 7.解 2 2 ,得√a2+≥1 784 1.C2.C3.B4.ACD5. 1 1 2/4(x+3)· +3 a-b a 2 =130-112=18(千元)， 6.8x+19>22007.号<53 (a十b. (b+c),√e+a2 8.[证明]c<d<0,-c>-d>0, 同理得V+c 2 当收当十》一器即x=1时 取等号，所以提前11天，能使公司获得最 .0 1<- 大附加效益， d' (a+c). 能力提升练 又a>>0,-号 0. 所以√a2+形+√㎡+2+√e2+≥！1.B2.D3.2 c 3 a a十0+6+e+c+a]=2u+b4解“a>0,b>0,a+号 =1 ->√- 2 +c) 即一 故a2++/+c2+c2+a2≥√2(a+ a1+=√+)=，2. 2 两网来以1得月< 3「b b+c),当且仅当a=b=c时，等号成立 8.证明由a>0,b>0,则a+b=1 ++ -,< 9.a-b=+v-x2v-xv2=(x y)+(y-y)=(-y)+y(y-) ab =(x2-y)(x-y)=(x-y)2(x十y),因 由于a十b0,则ab=1, 为x,y均为正数，所以(x一y)2≥0，x十y 即a+b≥2√ab=2, >0,所以(x-y)(x十y)≥0，即a-b≥0.1 当且仅当a=b=1时，等号成立，所以a十 所以a≥b b2. 当且仅当正数a,b满足a:=1十 且a2 能力提升练 能力提升练 -1, 1.AD2.C3.b 1.A 2.ABC 2 2 2 13.证明 4.解(1)a-2,b=1,c=1,d=-1(答案不 >0,b>0e>0空>m 即a =时等号成立 3 2 雁一】 (2)证明由题意可知a≠0，，a≥cd, 2 小a√+8的最大值为32 4 294 创新拓展练 当a=√2时，原不等式的解集为{√2}： !创新拓展练 I R 2.解(1)由于铁栅长为x米，一堵砖墙长1 当0=一√2时，原不等式的解集为{一√2：之解 1. 如图，以A 北+y 为y米，由题意可得40x+2×45yH 20xy 当a>√2或a<-√2时， -3200,即4.x十9y十2xy-320,解得y=1 原不等式的解集为{xa一√/a一2xaI 的特是变 A 东 320-4虹，由于x>0且y>0,可得0<x 直角坐标系 2x+91 +√a2-2. AB 60、350km 400, 80. 创新拓展练 ∠BAx=30°， 320-4(0<1.-1<a≤5 -11 ∴，B的坐标为 所以x与y的关系式为y 2.x+9 (200√3，-200)， x80). 2.解不确定，由二次函数的图象及一元二 xh后热带风暴中心B到达，点P(200√3 20-4=x.38,22,+92 次不等式的关系可知： 40x一200)处.由已知，A市受热带风暴影 (2)S=xy=x· 2.x+9 2.x+9 当a>0时，ax2十bx十c>0的解集为{xx! 响时，有AP350,即(200√3)2+(40.x一 338 338.x =x·(2xg-2）=9 -2x 1或x>3}； 200)23502,整理得16.x-160x十375 0,解得3.75≤x≤6.25，A市受热带风暴 =169(2x+9)-169×9 当a<0时，a.x2十b.x十c>0的解集为{x1i 影响的时间为6.25一3.75=2.5(h).故在 2x+9 -2x=169-2x1 <x<3} 3.75h后，A市会受到热带风暴的影响， 故只需要给a一个具体值或给定a的 169×9 时间长达2.5h. 2x+9 符号， 169×9 不等式a.x2十bx十c>0的解集就是确 课时分层检测（十四） =178-(2x+9) 定的. 基础达标练 2r9 如给定a>0,则其解集为{xx<1或x>! 1.D2.D3.B4.AC5.C6.(1,2) =178 (2.x+9)+ 169×91 2x+9 3}. 7.28.1 9解(1)要使函数式有意义，必须满 178 2 (2.x+9)×169X9 =100, 课时分层检测（十三） 足3x 1≥0， 2.x十9 1-2x≥0， 当且仅当2x+9= 169×9 ,即 =15, 基础达标练 0时，1B2.C3.D4.C5.A 2x+9 y=3 6{≤} 解得≤≤2， 3 7.{b90<b<100} 等号成立，因此，仓库面积S的最大允许 值是100平方米，此时正面铁栅长应设计：8.{a0≤a≤8} 1 为15米. :9.解(1)若关于x的不等式2kx2+k红 所以函数的定义城为{x3≤≤立} 课时分层检测（十二） 3 8 0的解条为(号1)则 和1 (2)要使函数式有意义，必须满 2 足x3≠0， 基础达标练 {x-x>0, 3 1.D2.C3.B4.C5.D 是2kx2十k.x一 一0的两个实数根，且！ 8 即∫x≠ 3解得{x≠。3， 0. 6.{x-4x1} x 7.{a-2a2} 1 8{x<<2} >0,由根与系数的关系得一多X1= 所以函数的定义城为{xx0且x≠一3}. 2 :10.解(1)f(2)-22-4×2+2=-2,f(a) 9.解(1)由x2+x-6<0得-3<x2. =a2-4a+2,f(a+1)=(a+1)2-4(a 1 .A={x-3x<2}. 2欢，解得= +1)+2=a2-2a-1. (2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥ 由x2-2x-30,得-1<x<3 ..B={x-1x3}. 3 2,∴.f(x)的值域为[-2， <0恒成立，满足题 (3)g(3)=3+1=4,.f(g(3)=f(4) ∴.A∩B={x-1<x2}. (2)当k=0时，一81 12 (2)由已知得{1-&+b=0, ×4+2=2. 解得：能力提升练 4+2a+b=0, 意.当6≠0时，则有2k<0, △=k2+3k<0. 解得a=-1, -3<k<0. 1b=-2. 综上，实数k的取值范国为（一3,0们 1D2.Ac3.(z,+) ..-x2-2x十30，即x2十2x-3>0, 10.解1)设下调后的电价为2无/千元4解(1D当x=-1时，y(11)2 解得x<-3或x>1 ∴原不等式的解集为{xx<一3或x> 时，依题意知用电量增至一 -0.4十a,电 同理可得，x一0时，y-2;x-1时，y=1; x=2时，y=2; 1}. k x=3时，v=5 10.解原不等式可化为[x-(a十1)][x-2: 力部门的收益为y= (-0.4+a）(.x- ∴.函数的值域为{1,2,5}. (a-1)]>0讨论a+1与2(a-1)的 0.3)(0.55x0.75) (2)0≤16-x2≤16，.0≤√16-x 大小 (2)依题意有 4, (1)当a+1>2(a-1),即a<3时，x>a +1或x<2(a-1)； 0+az0.3)≥ex(0.8 即函数y=√/16一x2的值域为[0,4]. (2)当a十1=2(a一1)，即a=3时，x≠4 (3)当a十1<2(a-1),即a>3时，x>2} 0.3)](1+20%),且0.55≤x0.75, (3)(分离常教法)：y=片1一市 (a-1)或xa十1. 整理得x2-1.1x十0.3≥0， 综上，当a<3时，不等式的解集为{xx ! 0.55x0.75, 且定义城为{xx≠-1，心市≠0， >a+1或x2(a-1)}. 解得0.6x0.75. 即y≠1. 当a=3时，不等式的解集为{xx≠4}， 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保 当a>3时，不等式的解集为{xx>2(a一1)1 证电力部门的收盏比上年至少增 画数)y帝的值城为R,且≠ 或xa十1}. 1}. 长20% 能力提升练 能力提升练 (4)(换元法)令t=/1一x(t≥0)，测x=1 1.ABD 2.B 3.xx<5a>a 2,则y= -22+41+2=-2(t-1)2+ 4.解因为△=4a2一8，所以当△<0，即 LB2{aa≤53乙车 4(≥0)，结合图象可得函数的值城为 :4.解(1)由题意可知，-1和5是方程x2 (— 一√2<a<√2时，原不等式对应的方程无 ∞，4. (k+2)x一3k十1=0的两个根， 实根，又二次函数y=x2一2a.x十2的图象1 所以由根与系数的关系得 5解设y=a+b x2+1 开口向上，所以原不等式的解集为⑦. 1+5=k+2, 去分母，得yx2一a.x十v一b=0. 当△=0时，即a=土√2时，原不等式对应 5=-3k+1, 当y=0时，显然在函数的值域-1,4内， 的方程有两个相等实根 解得k=2. 当y≠0时，x∈R, 当a=√2时，原不等式的解集为{√2}： (2)由(1)知，k一2，原不等式可化为 ,.△=(-a)2-4y(y-b)≥0， 当a=一√2时，原不等式的解集为{一√2. x2-4x+9-m2+4n0, 即4y-4by-a20. 当△>0，即a>√2或a<-√2时，原不等式 所以x2一4x≥m-4n一9在x4(t< 已知其解集为{y一1y4},故关于y 对应的方程有两个不等实根，分别为x1 的方程4y-4by-a=0的两个根分别为 2)上恒成立，令y=x2一4x=(x-2)2-4,1 .4 a-√a2-2,x=a+√0-2，且x1<x2,1 因为≤x≤4(1<2)，所以ymm=一4， 由一元二次方程根与系数的关系， 所以原不等式的解集为(xa一√a-2≤！ 所以不等式恒成立等价于m2一4m一9≤ 得b=-1+4=3,-@ =-1×4, xa十/a2-2}. 一4 综上所述，当一√2<a<√2时，原不等式的 即m2-4m-50,解得-1n5, ,∴.a2=16,.a=士4. 故实数m的取值范周为{m一1≤m≤5}. ∴.a=4,b=3或a=-4,b=3. 解集为⑦： 295班级 姓名 得分 课时分层检测（十》 基本不等式 A.x=5 B.x=-3 0 基础达标练0 C.x=3 D.x=-5 1不等式清≥4巾，等号成立的条件是 2.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式中成 立的是 ( ( A.a+b+ 1>22 A.a=4 B.a=√2 √ C.a=-2 D.a=士√2 2.（多选)下列条件可使会+分≥2成立的有 a+b日+4 a C.ab ≥2√ab √ab A.ab0 B.ab<0 2ab D.at >√ab C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 3.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式3.已知a,b,c为不全相等的正实数，求证：a十b 子是 ( ) +c>√ab+√bc+√ca. A.x+1≥2√ B.x2+1>2x C.2 1 ≤1 D.x+1≥2 4.设M= 〔a+)广N=+6,对于任 0 创新拓展练 0 的n>0,M,N的大小关系为 ( )1.(多选)《几何原本》中的几 A.M≥N B.M>N , 何代数法是以几何方法研 C.M≤N D.不能确定 究代数问题，这种方法是 5.(多选)设a>0,b>0,下列不等式恒成立 后西方数学家处理问题的 的是 ( 重要依据，通过这一原理，很多的代数公理 A.a2+1>a 或定理都能够通过图形实现证明，也称之为 B.a2+9>6a 无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB 上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的中点， C.(a+b) 以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线 D++)≥4 交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作 OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的 6.已知a,b,c是两两不等的实数，则a2+b2十 所有的无字证明为 () c2与ab十bc十ac的大小关系是 ma>06>0) A. 7.已知a,b,c都是非负实数，试比较√a2+b2 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) +√b2+c2+√c2+a2与√2(a+b+c)的大小. C.a西>1+ -(a>0,b>0) &.已知a>0,b>0,且a+6=。+石，求证a十 D.2+≥a(a>0,b>0) 2 2 b≥2. 2.已知a,b,为正数，求证：a+b+c≥√ab+ √bc+Jac. …0 能力提升练 1.不等式”2十(x一2》≥6（其中>2）中等 号成立的条件是 174 班级 姓名 得分 课时分层检测（十一） 基本不等式的应用 mg·L一1)随时间t(单位：h)的变化关系为 0 基础达标练。… C= 20t,则经过 h后池水中该药 1.√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为 t2+4 ( 品的浓度达到最大。 A.9 B.2 8.已知x>-1,则+10)x+2)的最小值为 C.3 D.3 2 x+1 2.已知0<x<1,则x(3一3x)取得最大值时x 的值为 ( 9.(1)若x>0,求x+4的最小值，并求此时x A号 c是 的值； 3.设x>0,则y=3-3.x 士的报大值是 (2)设0<r<号，求4(3-2)的最大值。 ( A.3 B.-3√2C.3-23D.-1 4.(多选)已知x,y是正数，且2x十y=1,下列 叙述正确的是 A.2zxy的最大值为1 B.4r2+y2的最小值为2 10.为了改善居民的居住条件，某城建公司承 包了棚户区改造工程，按合同规定在4个 C.x(x十y)的最大值为 月内完成.若提前完成，则每提前一天可获 2000元奖金，但要追加投入费用；若延期 D.+}的最小值为3+2厄 完成，则每延期一天将被罚款5000元.追 5.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平， 购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市 加投人的致用按以下关系计第：6十 场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与 一118（千元），其中x表示提前完工的天 运营年数x的关系为y=一x2+12x一25，则 数，试问提前多少天，才能使公司获得最大 下列判断正确的是 ( 附加效益？（附加效益=所获奖金一追加 A.车辆运营年数越多，收入越高 费用) B.车辆在第6年时，总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 6.已知m>0,n>0,若m=m+2,则mm的最 小值为 7.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药： 品，加药后池水中该药品的浓度C(单位： 175 班级 姓名 得分 能力提升练 0… 0 创新拓展练0… 1.设0<x<1,则4+，1 的最小值为( )1.下列不等式一定成立的是 A8+6 A.10 B.9 C.8 号 2.已知x>0,y>0,且2+1=1，若x+2y> A32+2≥6 y m2恒成立，则实数m的取值范围是( ) C.3(x2+1)+ 1 ≥6 2(x2+1) A.{mm≤-2√2或m≥2√2》 D.3(x2-1) 2(x21)≥6 1 B.{mm≤-4或m≥2} C.{m|-2<m<4}》 2.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体 D.{m-2√2<m<2√2 状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 3.若x2+2xy=4,且x>0,y>0,则x十y的最 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌 小值为 砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20 4者a>0.b>0,且a2+经-1，求a+不的 元，设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米， (1)写出x与y的关系式： 最大值 (2)求出仓库面积S的最大允许值.为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么 正面铁栅应设计为多长？ 176