3.1.2 第1课时函数的表示法-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

(3)(基本不等式法)由x>1,知x-1>0. 则y=+8-x-1)+2x-1)+9 3.1.2函数的表示法 (2)作出y=是，x∈[号，+∞）的图象如 x-1 x1 图②所示，其值域为(0,2] 第一课时函数的表示法 =(x-1)+ -+2≥2/(x-1). 9 x一必备知识·自主梳理 +2=8. :数学表达式 表格图象 当且仅当x-1 一，即x=4时，上式取[即学即练 620.名4632可12 2 “=” 1.32.f(x)-x+1 ·关键能力·合作探究 y-士8(>1)的最小值为8. 图① [典例1]解（1)列表法： 图② x-1 /台 3 5 :[典例3]解(1)法一：令t=√元十1≥1，则 故函数y=十8的值城为[8，十6∞) x=(f一)-. x-1 v/元 3000 6000 9000 12000 15000 所以f(t)=(t-1)2+2=2-2+3, (4)(换元法)设t= yt /台 6 10 即f(x)=x2-2x十3(x≥1). √x-1,则t≥0，且x 法二：因为f(√无+1)=x+2 =2+1, 5 /元1800021000240002700030000 所以v=2(t2+1)-t (2)图象法： =(元+1)2-2（√F+1)+3WF+1≥1， =2(-)+, 30000/元 所以f(x)=x2一2.x十3(x≥1). 2 (2)因为函数f(x)为一次函数， 由≥0，结合函数的图 设f(x)=ax+b(a≠0)，因为f(f(x) 象得原画数的位线为[背十∞) 所以a(a.x十b)+b=a2x+ab+b=4.x-1, 3000 典例4]解(1)函数f(x)=√x2=x的： 01 10x/台 则-4， 定义域为R,函数g(x)=(√工)定义域为 (3)解折法：y=3000x,x∈{1,2,3， {a6+6一1，解得=2， b=1, [0,十∞)，定义域不同，对应关系也不同， 10}. 不是同一个函数， 对点训练 所以f(x)=-2x+1或f(x)=2x- 3 (2):函数f(x)=x2,g(x)=(x十1)2对1.C[f(g(1))=f(1)=4,f(g(2))= 应法则不同，即解析式不同，∴两个函数不 f(1)=4,f(g(3))=f(3)=2, (3)调为fx)-2()F=-1,x>0 是同一个函数，即函数f(x)与g(x)不是同！ f(g(4))=f(3)=2,所以值域为} ① 一个函数 3)f)=g()=正-1，由于2解，很题意，设人1一6月份的月经济收入 f4,2},远C. 所以() -2f(x)· 1 ② 分别是：1000元，2000元，4000元，8000 f(x)的定义域为{xx≠-1}，g(x)的定义 ①②联立方程组可解得f(x)= 1 域为R,两函数定义域不同，·两个函数不！ 元，16000元，32000元.孩人1~6月份的 是同一个函数 月经济收入y(元)与月份序号x的函数关 (x>0) 系如下： 对点训练 (4)函数f()=x+与g()=1+的 (1)表格形式： 1. 号x2+3x+1[由已知可得 定义域都为（一∞，0）U(0,+∞)，且对应} r(月份)1 2 3 5 6 关系也相同，是同一个函数 (2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5, 对点训练 y(元)10002000100080001600032000 2f(-x)+3f-(-x)]=2(-x)2-3(-x)+5 A [对于A项，g(x)=√F=x与f(x) (2)图象形式： 解得)=号2+3x+1.] 工定义域、对应关系分别对应相同，是： 1y/元 2.解(1)设f(x)=a.x2+bx+c(a≠0)，则 同一函数 32000 ·(6,32000) 远项B中，对应关系不同，不是同一函数. `、 f(x十1)十f(x)=2a.x2+(2a+2b)x十a+ 选项C中，f(x)定义战{xx∈R且x≠！ b+2c=2x2-2x-3. 一1}，g(x)的定义域为R,不是同一函数. 2a=2, a=1, 选项D中，f(x)定义城为1，+∞)g(x日 所以)2a十2b=-2,解得)b=-2, 定义域为{xx一1或x≥1}，两函数定义 (a+b+2c=-3, c=-1. 城不同，不是同一函数.门] 从而f(x)=x2-2x-1. 素养演练·提升技能 16000 ●(5.16000) 1.B[因为函数f(2x+1)=x2-2x,令2x ②(-)=+是-(-）+2 十1=2，解得x= 合所以f2)=(） 8000 ●(4,8000) 令t=x一 4000 -2×号= ∴.f(t)=t2十2，.fx)=x2+2(.x≠0). 4·] 1,1000)·(3,4000) 。(2,2000) 2.C[由题意可知，函数f(x)的定义域为！ O123456x/月份 (3)“fx)+2f(）=x,0 2.五 8,则函数h(x)的定义域满足 2≤2≤8，则1≤x≤3，所以函数h(x)的 (3)解析式形式：y=1000X2-(1≤x≤ 用士代替x得f(）+21)=士@ 9-x2≥0， 6,x∈N'). 定义域为[1,3].] :[典例2]解(1)当x∈「0,2]时，图象是直 3.B[当a -2a一3≠0时，f(x)是二次函： 线y=2x十1的一部分.如图①所示，由图： 0), 数，当其定义域是R时，值域不是R,不符 象知函数的值域为[1,5]. 合题意.当a2-2a-3=0时，解得a=-1 (2)当x∈[2，十∞)时，图象是反比例函数 .函数f(x)的解析式为f(x)= 品 或a=3,若a= 一1，则f(x)=2,是常数函： (x≠0). 数，值域为{2}，不符合题意；若a=3,则 y= 2的一部分如图②所示，由图象知函素养演练·提升技能 (x)=4x2,其图象是一条直线，值域为 ,.(8 数的值域为(0,1门· 一段时间，该同学骑行共享单车由 R,符合题意 宾馆往长城方向，前进了akm,则该同学离 4.C 在A中，当x=4时，y=8N,故A (3)当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2 起点（宾馆）的距离s与时间的函数图 错误；在B中，当x=1时，y一3任N,故B以 十2x的一部分.如图③所示，由图象知函！ 应是直线，且是上升的：第二段时间休息 入 错误；在C中，任取x∈M,总有y ∈ 数的值域为[一1,8]. 半小时，随时间变化，该同学离起点的距离 N,故C正确：在D中，任取x∈M,总有！ 并没有发生变化，因此该同学离起点（宾 y=x2∈N,故D正确.门] 馆)的距离s与时间t的函数图象应是 5.甲[.f(x)= x>10,g(- 横线：第三段时间，原路返回，其距离起 应越来越近，因此该同学离起点（宾馆）的 与时间t的函数图象应是直线，且 (x≥2)，f(x)= -(x>1). 距离 是 下降的：第四段时间，调转车头继续向长 方向前进，该部分对应的图象应和第一段 ,.F(x)= =x(x≥2)， 可12 012 时间的相似.因此只有C远项符合，] G 图② -lg().G(2_ 图① 2 (x≥2)对点训练 图③ 2.D[∈(-∞1f(z)-1, x-1 解(1)作出v -2.x+1,x∈(-2，-1， 则10f()=10,f(10()） 解得G(x)=(x≥2)，F(x)=G(x)=√ 0,1,2}的图象如图①所示，其值域 f(10), （x≥2).故观，点正确的学生是甲. 为(5,3,1，-1，-3). 又.10∈[2，十o∞)，∴.f(10)=3,故选D.] 264 3.D[因为f(x十y)=f(x)+f(y)+1,且！ 当x一1≤0，即x≤1时，不等式f(x一1)！素养演练·提升技能 f(8)=7,所以令x=y=4,可得f(8)=i 2f4)十1=7，解得f(4)=3.再令x=y=2, <子可化为 1.A[由题意，函数f(x)=5,6, 1fx+2),x<6, 可得f(4)=2f(2)+1=3,解得f(2)=1.]· 可得f(3)=f(5)=f(7)=7一5=2，所以 4.BD[f(2x-1)=4x=(2x-1)+2(2xI 1+1<,即，则< f(f(3))=f(2)=f(4)=f(6)=6-5 -1)十1，故f(x)=x2+2x十1=(x+1)2, 故远项C错误，选项D正确；f(3)一16， 综上，满足f(x-1)<的x的取值范国2B[当0x<1时，设y=k红，由题图知过点 f(一3)=4，故选项A错误，远项B正确.] 3 3 3 (（1,)得=，所以y=,0≤1 5.（≥0）[函数f2x-1)定义典2解 x2+x+1 (1)当0 当1<x≤2时，设y=mx十n,由题图知过 r2时， 3 为{≥2}令1=2红-1（≥0，代 f)=1+=1， 点（1，)(2,0)，得{之m十解得 2 0=2m十， 入f(2.x-1)= 中， 3 3 2x+√2x-1 当一2<x<0时， m=- 2’所以y=-x+3,1<x≤2. 得f(t)= (t≥0)，所以f(x)= f(x)-1+二xx -2 2 n=3, t+1+ 故函数的解析式为y= 3 +1-5E(x≥0).] x-1(0≤x 2-2 1 2),故选B1 x+1+√x2+x十1 所以fx)={1,0≤x≤2， {1-x,-2<x0 第二课时 分段函数 (2)函数f(x)的图象如图所示 3.A [根据一月份用气量4m3,煤气资 4元， (3)由(2)知，fx)在（一2,2]上的值战为1,3）. 可知f(4)=C=4, 必备知识·自主梳理 :对点训练 1.对应关系2.并集空集 1.D[由x2-1-(4十x)≥1，得x-2,或！ f(25)=C+B25-A)=14,解得A=5, f(35)=C+B(35-A)=19, [即学即练] x≥3. 1.1[f(2)-W√2-1-1.] x十4，x≤-2，或x≥3， B ∴.f(x)= 2 2. 5 [因为x>1时，f(x)-x2十x-2,所1 x2-1,-2x3. 4,0≤x≤5， 所以f(x)= 以f(2)=2+2-2=4,2=4 1 1 )=fx) {4+2(x-5),x>5, 又x≤1时，f(x)=1-x, 所以f(20)=4+号(20-5)=11.5，故 所以f(2)=f(子)=1-()月 选A] 二十x0=x0时， -15 4.BCD[对于选项A,当1 6 ] 1 1 关键能力·合作探究 [典例1了解"(1)由-5∈(-∞，-2]， 由f(x)十k=0,得-k=f(x) =0,方程无解，所以函数f儿)=后 1e(-2,2),-号∈(-∞，-2]， 在同一 坐标系中，作函数y=f(x)的图象 x不是“不动点”函数；对于选项B,当后 与直线v一一k(如图) x0一3=x时，解得xg=3或x0=一1，所 知f(-5)=-5+1=-4,f(1)=3×1+5d 根据函数的图象知，当一1<一k2时，y=! 以函数g(x)一x2一x一3是“不动，点”函数； f(x)与y 一k的图象恰有三个交点 对于远项C,当≤1时，26一1=，解得 ((-)-f(-号+1) 故当一2≤k≤1时，函数y=f八x)十k的图： 象与x轴恰有三个不同交点，] =1或x。=一7；当x>1时，2-西 =f(-是)=3×(-)+5= 3 2.解(1).f(x) =,解得西=1（舍去），所以函数(x)= （2x,x1, (2)因为a2+2≥2， x2,x>1, {是“不动点”画数：对于藏项 所以f(a+2)=2(a2+2)-1=2a2+3, f(-1)=3 所以不等式f(a2十2)≥a十4化为2a2-ai 因此，f7(-1)= D,当 一。=o时，解得工。=士号，所以 一120， f(3)-32=9. 012 解得a≥1或a≤- 1 (2)画出函数f(x)的图 函数f(x)= 一工是“不动点”函数.故选 2 象如图所示 .f(0)=2,f(1)=1,f(4)=16,观察函数 B、C、D.] 即实数的取值范因是(-，] f(zx0的图象可知，函数f(x)在区间[0,4)5.B[令x2-2x-1=2,解得x=-1或x= 1,十0∞). 上的值域为1,16). [典例3]解(1)设每团人数为x, 裉据“p界函数”的定义， [拓展] 1.解当a一2时，f(a)=a十1=3， 由题意得0<x75(x∈N”),飞机票价格 有f2(x)=-2x1,-1≤x≤3， 即a=2>-2,不合题意，舍去； 为y元 2,x<-1或x>3. 900,0x30, 所以f2(f(0))=f2(-1)=2,f(f2(0))= 当-2a<2时，f(a)=3a十5=3， 则y= f(一1)=2，故A选项中的等式成立； 即a=- 2∈(-2,2)，符合题意： 900-10(x-30),30x75, f(f(1))=f2(-2)=2,f(f(1)-f-2)= (900,0<x30,x∈N, 即y= 7,故B选项中的等式不成立； 当a≥2时，f(a)=2a-1=3, 1200-10x,30x75,x∈N'. f(f(2))=f2(-1)=2,f(f2(2)-f(-1)= 即a=2∈[2，十∞)，符合题意 (2)设旅行社获利S元 2,故C远项中的等式成立； 综上可得，当f(a)=3时，a的值为 2 则S= （900x-15000,0x30, f(f(3)= f2(2)- -1,f(f2(3)-f(2) 3 1200.x-10.x2-15000,30x≤75， 一一1，故D选项中的等式成立.故选B.] 或2 900x-15000,0x30,.x∈N, 2.解当x≤-2时，f(x)>2x可化为x十1日 即S )-10(x-60)2+21000,30r75, 3.2.1单调性与最大（小）值 x∈N 即x1,所以x一2； 因为S=900.x一15000在区间(0,30]上为 第一课时函数的单调性 当-2<x<2时，f(x)>2x可化为3x+5 必备知识·自主梳理 >2x, 增减 即x>-5,所以-2<x<2 故当=30时，S取最大值12000. 当x≥2时，f八x)>2x可化为2x-1>2x, 又S= [即学即练] 10(x-60)2+21000,x∈(30，.X"(2)√(3)×(4)W 则x∈ 75], 综上可得，x的取值范图是{xx<2}, 所以当x=60时，S取得最大值21000. f(r) 2.AD[由函数的图象可知f()=1 对点训练 综上，当x=60时，旅行社可获得最大 =1一x在（一∞，0）上为减函数.] 1.C[由题意得f(1)=12+2=3>2. 利润， 对点训练 :(二)单调递增或单调递减单调性单调 故ff1)]=f3)=3+3-24.] 解(1)由题意，得y 区间 [即学即练] 0,015000, 2.C[因为f(.x)={t1,x≤0， (x-5000)×3%,5000<x8000, 1. -3,1 1x,x>0, 2. 1]和[2,6][-1,2][由图象可 90+(x一8000)×10%，8000<17000， 当x一10，即x>1时，不等式f(x一1) (990+(x-17000)X20%,17000≤3000.： 知f(x)在[ 一2,6]上的递增区间为[-2， 可化为(x-1)<，解得<x< -1]和[2,6]，减区间为[-1,2].] (2),'该职工八月份交纳了54元的税款， 关键能力·合作探究 ∴.50008000，(x—5000)×3%=54, 是则1K<受： [典例1]解(1)要使函数有意义，当且仅 解得x=6800. 当x一1≠0. 故这名职工八月份的工资是6800元. 265第三章函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法 明学习目标 知结构体系 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 课标 解析法 解析式 法、解析法)表示函数。 要求 的求法 2.理解函数图象的作用。 函数的 表示法 列表法 重点 重点：函数的表示法 图象的画法 图象法 及应用 难点 难点：求函数的解析式。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 函数的表示法 2.8 表示法 含义 定义域 值域 示例 用 举 示两个变量 图象在x图象在y 使解析式 图象法 轴上的射 轴上的射 0.6- 用 有意义的因变量y 函数y=√x的定 之间的对应 012x 影的集合 解析 表示两 关系 影的集合 定义域是[1,2]， 自变量x的取值 义域是[0， 法 个变量之间 十oo),值域是 值域是[0.6,2.8] 的取值范围 的对应关系 0,+o) 范围 [即学即练】 1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3) 列出 表格中自 x123 来表示两个变量x 表格中相 y0-11 1x<2 2x4 列表 应y的取定义域是(1,2， f(x) 3 法 变量之间的的取值 值集合 3},值域是{0， 对应关系 集合 2.若一次函数f(x)的图象经过点(0,1)和(1,2)， 1,1} 则该函数的解析式为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一 函数的三种表示法 [典例1]某商场新进了10台彩电，每台售价 对点训练 3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数：1.给出函数f(x),g(x)如下表，则f(g(x)的值 关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来」 域为 ( 听课记录 1 2 3 f(x) 以 2 1 2 3 4 g(x) 1 3 /方法技巧/ 用三种表示法表示函数的注意点 A.{1,3} B.{1,2,3,4) (1)解析法必须注明函数的定义域； C.{4,2} D.{1,2,3} (2)列表法必须罗列出所有自变量的值与函数：2.已知某人某年1月份至6月份的月经济收入如 值的对应关系； 下：1月份为1000元；从2月份起每月的收入 (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 是其上一个月的2倍，用表格、图象、解析式三 43 数学必修第一册 种形式表示该人1月份至6月份的月经济收入：题点三求函数的解析式 y(元)与月份序号x的函数关系. [典例3](1)已知函数f(√x+1)=x十2，求f(x); (2)若函数f(x)为一次函数，且f(f(x)= 4x-1,求f(x); (3)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且 f)-2f(日-1，求f). 听课记录 题点二作函数的图象 [典例2]作出下列函数的图象并根据图象判断 其值域 (1)y=2+1,x∈[0,2]：(2y=2c∈[2，+∞)： (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 听课记录 /方法技巧/ 求函数解析式的4种常用方法 换元法 设t=g(x),解出x,代入f(g(x),求f(t)的 解析式即可 对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能 配凑法 用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的 g(x)”即可 /方法技巧/ 待定 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般 系数法 函数图象的作法及注意点 形式，根据特殊值确定相关的系数即可 (1)作函数图象最基本的方法是描点法：主要 方程 当同一个对应关系中的两个之间有互为相反 有三个步骤一列表、描点、连线.作图象时一 组法 数或互为倒数关系时，可构造方程组求解 般先确定函数的定义域，再在定义域内化简函 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换 数解析式，最后列表画出图象. 元前后的等价性 (2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一 群孤立的点，画图时要注意特殊点，如图象与坐 对点训练 标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等，还 1.已知函数f(x)满足2f(x)+3f(-x)=2x2 要分清这些特殊点是实心点还是空心圈， 3x+5,则f(x)= 2.(1)设二次函数f(x)满足：对任意x∈R,都有 对点训练 f(.x十1)十f(x)=2x2-2x-3,求f(x)的解 画出下列函数图象，并求出函数的值域， 析式； (1)y=-2x+1x∈{-2，-1,0,1,2}： (2已知f-=+(≠0).求x: 2y=2xI2+∞月 (3)已知)+2/月=x(x≠0)，求f). 44 第三章函数的概念与性质 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.某同学到长城旅游，他骑行共享单车由宾馆前往长 x≤1 1<x<2 x≥2 城，前进了akm,疲惫不堪，休息半小时后，沿原路 2 9 返回，途中看见路边标语“不到长城非好汉”，便调转 车头继续向长城方向前进，则该同学离起点（宾馆） A.0 B.1 C.2 D.3 的距离s与时间t的函数图象大致为 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)= f(x)+f(y)+1,若f(8)=7,则f(2)= ( A.7 B.3 C.2 D.1 0 4.(多选)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论中正 2.德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 确的是 ( 的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则： A.f(3)=9 B.f(-3)=4 y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内 C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2 涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，5.已知f(2x一1)= 1 =,则f(x)= 有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的 2x+√/2x- 法则是公式、图象、表格还是其它形式.已知函数 由表格给出，则0f2)的值为 温馨提示 请做课时分层检测（十五） 第二课时 分段函数 明学习目标 知结构体系 课标 1.通过实例了解简单的分段函数. 要求 2.掌握分段函数的应用. 概念 图象作法 分段函数 重点 重点：分段函数的概念及应用. 求值 实际应用 难点 难点：分段函数的实际应用。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.分段函数的定义 -1,x<0, 一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自 (2)符号函数：f(x)=sgnx={0,x=0, 变量x的不同取值范围，有着不同的 1,x>0. 的函数 (3)含绝对值符号的函数：如f(x)=|x-1 2分段函数的定义域、值域 x-1,x≥1， 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各 1-x,x<1. 段函数的定义域、值域的 ;各段函数的定： -x-2,x≤-1， 义域的交集是 (4)自定义函数：如f(x)= x2-x-2,-1<x≤2， 3.分段函数的图象 x十2x>2. 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.：[即学即练] 在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和 表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点：1.已知函数∫(x) 中x<1且x≠1则 是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起 x-1,x>1 就得到整个分段函数的图象. f(2)= 4.几种常见的分段函数 (1)取整函数：f(x)=[x]([x]表示不大于x的 2.设函数(x)= 最大整数). 45