9.5 带电粒子在电场中的运动（高效培优·讲义）物理沪科版必修第三册

本讲义聚焦带电粒子在电场中的运动核心知识点，系统梳理电势差概念及与电场强度的关系，通过动力学和功能关系两种思路分析粒子加速，结合类平抛运动分解研究偏转，并拓展圆周运动、交变电场、示波管等应用，构建从基础到复杂情境的知识支架。 资料特色在于运用地势类比电势（物理观念）、反证法推理等势面性质（科学思维），设置分阶练习与真题溯源（科学探究）。课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过精准练习查漏补缺，深化对电场能与力性质的理解。

9.5 带电粒子在电场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 电势差 考点02 电势差与电场强度的关系 考点03 带电粒子在电场中的加速 考点04 带电粒子在电场中的偏转 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在电场中做圆周运动 角度02 带电粒子在交变电场中运动的问题 角度03 示波管 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.知道电势差概念，知道电势差的正负表示两点间电势的高低关系。 2.推导静电力做功跟电势差的关系式，会用公式计算静电力所做的功。 3.能够从牛顿运动定律和功能关系两个角度分析物体的直线运动。 1.通过论证等势面一定垂直于电场线，体会反证法在推理过程中的应用。 2.通过地势与电势的类比，领会知识的相通性，学会比较知识的共同点与不同点，掌握研究物理问题的方法。 3.通过解决带电粒子在电场中加速的问题，加深对牛顿运动定律和功能关系两个角度分析物体运动的认识。 考点01 电势差 1．电势差定义：电场中两点间电势之差，叫作 电势差　，也叫 电压　。单位为 伏特　，符号为V。 2．电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有UAB＝φA－φB和 UBA＝φB－φA　，故UAB＝－UBA。 3．静电力做功与电势差的关系 WAB＝ qUAB　或UAB＝。 【深化点拨】 1．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 2．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 1．在一负点电荷产生的静电场中有a、b两点，试探电荷在两点受到的静电力大小F与试探电荷电量q满足如图所示的关系，下列说法正确的是（     ） A．a点场强比b点场强小 B．a点的电势比b点电势低 C．同一正电荷在a点的电势能比在b点大 D．a、b两点间的电势差与零电势点的选取有关 【答案】B 【详解】A．根据 可知图像斜率表示电场强度，由图可知，故A错误； BC．由负点电荷电场分布可知，a点更靠近负点电荷，故a点的电势比b点电势低，根据 可知正电荷在a点电势能小，故B正确，C错误； D．a、b两点的电势差 与零电势点的选取无关，故D错误。 故选B。 2．点电荷产生的电场如图所示，a、b是同一条电场线上的两点，下列说法正确的是（　　） A．点电场强度比点的小 B．电子在点的电势能比点的大 C．若变为原来的2倍，a、b两点间电势差不变 D．若变为原来的2倍，点电场强度变为原来的2倍 【答案】D 【详解】AD．根据点电荷的电场强度公式可知，由于a点比b点更靠近点电荷，所以点的电场强度比点的大；同理由公式可知，若变为原来的2倍，则点的电场强度也变为原来的2倍，故A错误，D正确； B．已知正电荷周围的电势都是正值，且离正电荷越近，其电势越高，所以有 根据可知，负电荷在电势越高的地方具有的电势能越小，由于电子带负电，所以电子在a点的电势能比b点的小。故B错误； C．根据点电荷的电势公式可知，a、b两点间的电势差为 所以若变为原来的2倍，a、b两点间的电势差也变为原来的2倍，故C错误。 故选D。 3．（多选）开尔文滴水起电机的结构如图所示，中空金属圆筒E、F通过导线分别与金属杯H、G相连，盆A中的水通过管B从滴管C、D竖直滴出，分别经E、F落入G、H中。整个装置原来不带电，甲同学在某次实验中，C滴出一滴带少量正电荷的水滴，落入金属杯G中，则由于静电感应，D后续滴下的水滴总是带负电，这样G、H就会带上越来越多的异种电荷。关于上述实验过程，下列说法正确的是（    ） A．在甲同学的实验中G带正电荷，则F带正电荷 B．在甲同学的实验中H带正电荷，则E带正电荷 C．G、H两筒之间的电势差始终保持不变 D．关闭C、D的阀门，仅G向E靠近时，G带电量增大 【答案】AD 【详解】AB．C滴出一滴带少量正电荷的水滴，落入金属杯G中，G带正电，由于G、F用导线连接，可知，G带正电荷，则F带正电荷。由于静电感应，D后续滴下的水滴总是带负电，落入金属杯H中，H带负电，由于H、E用导线连接，可知，G带正电荷，H带负电荷，则E带负电荷，故A正确，B错误； C．由于G、H所带异种电荷越来越多，则G、H两筒之间的电势差逐渐增大，故C错误； D．结合上述，G、F带正电，H、E带负电，关闭C、D的阀门，仅G向E靠近时，G、E之间由于静电力为引力作用，使得G带电量增大，故D正确。 故选AD。 【电场力做功与电势差的关系】 (1)UAB＝中，UAB、WAB及q都有正负之分，计算UAB时，WAB和q的正负可直接代入，结果为正说明φA>φB，为负说明φA<φB。 (2)不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是可以利用WAB和q来计算A、B两点间的电势差UAB。 (3)由UAB＝可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移动到B点时静电力所做的功。若静电力对单位正电荷做正功，则UAB为正值；若静电力对单位正电荷做负功，则UAB为负值。 (4)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB是静电力所做的功，式中各量均有正负，计算相关量时，“W”与“U”的角标一定要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 考点02 电势差与电场强度的关系 匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．匀强电场中两点间的电势差等于 电场强度　与这两点 沿电场方向　的距离的乘积。 2．公式：UAB＝ Ed　。 (1)静电力做正功，电势能 减少　； (2)静电力做负功，电势能 增加　。 3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即 伏每米　，符号为V/m。 【深化点拨】 对公式U＝Ed的理解 1．从变形公式E＝可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向单位长度电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。 2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离，在匀强电场中，沿任意方向上以及与之平行的方向上、相等的长度上，电势降落相等。例如在图中MN方向上，相等长度电势降落相等。 3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定，等差等势面越密的地方电场强度也越大。现在举例来说明公式E＝在非匀强电场中的应用。如右图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且＝，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即AB<BC，又因为UAB＝·AB，UBC＝·BC，所以UAB＜UBC。 4．如图所示，以为圆心、半径为的圆处在匀强电场中，圆面与电场线平行。从点在圆面内向各个方向射出初动能均为的电子，所有运动至圆周的电子中，到达点的电子动能最大，到达点的电子动能为。已知圆弧所对的圆心角为，O点的电势为，电子带电量大小为，不计重力与电子间相互作用，则下列说法正确的是（     ） A．B点的电势为20 V B．A、B两点的电势差为10 V C．电子到达A点时动能与电势能的和为 D．匀强电场的电场强度大小为50 V/m 【答案】C 【详解】A．电子从 O 到 B，根据动能定理有 由于O点的电势为，解得，故A错误； BD．电子带负电，从O点射出，到达A点时动能最大。根据动能定理，电场力做正功最多，电子在A点的电势能最小，根据可知，A点是圆周上电势最高的点。在匀强电场中，沿电场线方向电势降低，故电场强度方向由A指向O。根据匀强电场电势差与电场强度的关系有 解得 则有 解得 A、B两点的电势差为，故BD错误； C．电子在运动过程中只有电场力做功，动能与电势能之和守恒。在 O 点时有 所以电子到达 A 点时，动能与电势能的和也为 −5eV， 故 C正确。 故选C。 5．（多选）如图所示， abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与电场强度方向平行，已知 ab=ad=2cm，∠adc=60°， a、b、d三点的电势分别为0V、4V、4V，则（　　 ） A．c点的电势为10V B．匀强电场的电场强度为400V/m C．若将电子从a点移到b点，需克服静电力做功4eV D．电子和质子分别放在d点时，具有不同的电势能 【答案】ABD 【详解】A．由几何关系可知dc=1.5ab，则 即 可得，故A正确； B．因bd连线是等势线，则场强方向沿着从a点垂直bd连线方向 则场强大小为，故B正确； C．若将电子从a点移到b点，电场力做正功，故C错误； D．电子和质子分别带等量异号电荷，则放在d点时，具有的电势能不同，故D正确。 故选ABD。 6．如图所示，一个电场的电场线分布关于y轴对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，且MP⊥ON。下列说法正确的是（　　） A．O、M、N、P四点中，N点的电势最高 B．O、M、N、P四点中，N点的电场强度最大 C．带正电的试探电荷在M点的电势能等于在P点的电势能 D．O、M两点间的电势差大于M、N两点间的电势差 【答案】D 【详解】A．电场线与等势线垂直，沿电场线方向电势降低，可知O、M、N、P四点中，O点的电势最高，故A错误； B．电场线密集程度表示电场的强弱，可知O、M、N、P四点中，O点的电场强度最大，故B错误； C．将带正电的试探电荷从M点沿直线MP移至P点过程，电场力方向与移动方向夹角为锐角，电场力做正功，电势能减小，可知，带正电的试探电荷在M点的电势能大于在P点的电势能，故C错误； D．O、M两点间的任意位置的电场强度均大于M、N两点的电场强度，则O、M间电场强度的平均值大于M、N间电场强度的平均值，根据，且，可知O、M两点间的电势差大于M、N两点间的电势差，故D正确。 故选D。 【E＝的理解】 (1)公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场。 (2)由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。 (3)电场中电场强度的方向就是电势降落最快的方向。 (4)电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大。 考点03 带电粒子在电场中的加速 带电粒子在电场中加速的两种分析思路 1．利用牛顿第二定律结合 匀变速直线运动　公式，适用于 匀强　电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 2．利用静电力做功结合 动能定理　，当问题只涉及 位移　、速率等动能定理公式中的物理量或 非匀强　电场情景时适合该思路。 【深化点拨】 一、带电粒子的重力是否可忽略的条件 重力场中的有质量的物体都要受到重力的作用，只是带电粒子受到的重力远小于静电力，通常可以忽略重力的影响。 1.对于质量很小的带电粒子，如电子、质子、α粒子、离子等，虽然它们也受到重力的作用，但重力远小于电场力，可以忽略不计。对于带电粒子，若无说明或暗示，一般不计重力； 2．带电颗粒：如尘埃、液滴、油滴、小球等，若无说明或暗示，一般要考虑重力； 3．平衡问题一般要考虑重力； 4．即使题目中给出了带电粒子的质量，也不一定需要求出重力；不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成质点；只要是实物粒子，都有质量，不能忽略。 二、求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 7．如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 【答案】D 【详解】A．由电路连接可知，间和间的电压相等，都等于电源电动势，电场方向相反。粒子从由静止释放，根据动能定理，得，故A错误； B．A板左移时，间电压仍为，总功为，粒子刚好到达板（速度为），故B错误； C．粒子在AB间做匀加速直线运动，由动能定理得 因此不管AB间距如何变化，粒子到达B板的速度恒定；AB段平均速度为 设AB间距为，得运动时间 BC段粒子做匀减速直线运动，到C板时末速度为0，平均速度为 设BC间距为得运动时间 总时间，B板右移时，增大、减小，总间距（A到C的距离）不变，因此总时间不变，故C错误； D．C板右移时，不变，增大，总间距增大，不变，因此总时间变长，故D正确。 故选D。 8．图示装置由放射源P、加速电场、偏转电场、铺有感光纸的圆筒组成。放射源P可沿着中心线方向连续发出大量电荷量为+q、质量为m的粒子，其初速度大小范围为，粒子先经A、B间加速，再经C、D间偏转（C、D间视为匀强电场），最后打到绕轴OO′旋转的感光纸上而发出亮点。已知加速电场电压，偏转电场电压、极板长度为L，C、D间距为d，极板右端到圆筒的最近距离为，圆筒半径为R，不考虑粒子相互作用和重力、极板边缘效应、感光纸的厚度，假设所有粒子均能射出偏转电场。求： (1)粒子离开极板B时的速度大小范围； (2)粒子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的最大距离ym； (3)经足够长时间后，感光纸上发光点围成的面积大小S。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子加速过程由动能定理可得 代入，整理得 已知初速度范围​，代入得最小速度​，最大速度 因此速度范围为 （2）偏转电场中，由牛顿第二定律可得粒子加速度 代入，得 粒子水平方向运动时间 整理得偏移量 ​​与成反比，越小越大，代入最小速度 得 （3）粒子出偏转电场后，偏转角正切 粒子打到感光纸上时，总偏移量（偏离中心线的距离） 结合的范围，得的范围 圆筒转动足够长时间后，不同偏移的粒子会打在不同位置，发光区域为矩形，长为圆筒周长，宽为 面积 9．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在平面的区域内，存在两个场强大小均为的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为的正方形。电子在的中点静止释放，已知电子电量为，质量为。 (1)求电子离开Ⅰ区域的速度大小； (2)求电子经过轴时的坐标； (3)若在电场Ⅰ区域内适当位置静止释放电子，电子恰能从区域左下角点离开，求所有释放点的位置。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子从AB中点静止释放，在电场Ⅰ中电场力做功 由动能定理 解得 （2）  电子离开Ⅰ后进入电场Ⅱ，做类平抛运动：方向匀速，运动完长度的时间 方向加速度 （向下） 方向位移 代入得 离开Ⅱ时电子坐标为 此时方向速度 离开Ⅱ后匀速运动到 运动时间 方向额外位移 因此最终坐标为 即坐标为 （3）设Ⅰ区域内释放点坐标为，电子在Ⅰ加速后离开Ⅰ的速度满足动能定理 电子要从离开电场Ⅱ，方向运动时间，方向总位移为，满足匀加速关系 代入，化简得结合释放点在Ⅰ区域内 故释放点坐标满足 【带电粒子在电场中的直线运动】 (1)带电粒子的分类及受力特点 ①电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 ②质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 ③受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 (2)根据题目给出的条件，分析求带电粒子的速度是从动力学角度出发去分析问题还是从功能关系角度出发。找出相应的方法，选择相应的公式去解决问题。 考点04 带电粒子在电场中的偏转 带电粒子在电场中的偏转 如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，极板间距离为d，极板间电压为U。 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为 v0　的 匀速直线　运动。 (2)垂直v0的方向：初速度为 零　的匀加速直线运动。 2．运动规律 (1)t＝，a＝，偏移距离y＝at2＝。 (2)vy＝at＝，tan θ＝＝。 【深化点拨】 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 10．真空中的某装置如图所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏。今有质子、氘核和α粒子均从A板由静止开始被加速电场加速，然后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上。已知质子、氘核和α粒子的质量之比为，电荷量之比为，则下列判断正确的是（     ） A．三种粒子从B板运动到荧光屏飞行的时间相同 B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同 C．偏转电场的静电力对三种粒子做的功之比为 D．偏转电场的静电力对三种粒子做的功之比为 【答案】B 【详解】A．设加速电压为，偏转电压为，C、D极板的长度为L，板间距离为d。在加速电场中，由动能定理得 则粒子通过加速电场获得的速度为 三种粒子从B板运动到荧光屏的过程，水平方向做速度为的匀速直线运动，由于三种粒子的比荷不同，则不同，所以三种粒子从B板运动到荧光屏飞行的时间不同，故A错误； B．粒子在偏转电场中做类平抛运动，粒子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀加速直线运动，故，， 故粒子在偏转电场中的侧移量为 可知，其与粒子的质量、电荷量无关，故打到荧光屏上的位置相同，故B正确； CD．偏转电场的静电力做的功为，则W与q成正比，三种粒子的电荷量之比为，则偏转电场的静电力对三种粒子做的功之比为，故CD错误。 故选B。 11．如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板间距离为2d，距板右端L处有一竖直屏M。一带电荷量为+q、质量为m可视为质点的小球以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，已知重力加速度为g。求： (1)小球刚要打到M时的动能Ek； (2)A、B两极板间的电势差UAB； (3)电场力对小球做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）据题分析可知，质点在平行金属板间轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，轨迹向下偏转，能最后垂直打在M屏上，前后过程质点的运动轨迹有对称性，如图所示 质点刚要打到M时，竖直速度为零，而水平速度与初速度相同，动能为 （2）两次偏转的时间相等，加速度大小相等，根据牛顿第二定律可得， 解得 又 解得 （3）质点在电场中做类平抛运动，有， 解得 电场力对质点做的功 解得 12．如图，竖直平面内有一平面直角坐标系xOy，在第二象限内存在一曲线边界，边界解析式方程为，（k为已知量，是一常数）该曲线与y正半轴之间存在一竖直向下的匀强电场E（E大小未知），在第一象限和第四象限存在大小也为E的匀强电场，方向分别竖直向下和竖直向上。曲线边界的左侧存在一线性粒子发射源，可以向右均匀发射初速度均为的相同粒子，粒子质量为m，电荷量为+q，粒子从曲线边界上不同位置进入第二象限的匀强电场，且所有粒子均从坐标原点O离开进入第四象限，粒子重力不计。 (1)求第二象限场强E大小； (2)求到达原点O处速度方向与x正半轴夹角为的粒子，运动过程中离x轴的最大距离d大小； (3)求到达原点O处速度方向与x正半轴夹角为的粒子，离开原点O后经过多长时间速度偏向角度为。 【答案】(1) (2) (3)（n=0，1，2，3…） 【详解】（1）设粒子进入边界的位置坐标为（x，y），粒子在第二象限匀强电场中运动到点的过程中做“类平抛运动”，沿x方向做匀速运动 沿负方向做匀加速运动 根据牛顿第二定律 代入曲线方程 解得 （2）设粒子离开点后，竖直方向分速度减小至0时，离x轴的距离最大，由运动学公式 解得 （3）粒子在电场中做“类斜抛运动”，设离开O点后，经过t时间，粒子竖直方向分速度第一次减小至0，运动示意图如下 由运动学公式 又有 解得 此粒子离开原点O后速度偏向角度为经过的时间至少为，即，考虑到粒子此后在第一、第四象限中的周期性运动，周期，那么所求时间为（n=0，1，2，3…） 代入 解得所求时间为（n=0，1，2，3…） 电势高低的判断方法 1．带电粒子的种类 2．加速问题的两种分析思路 3．带电粒子在匀强电场中的直线运动问题的分析方法 4．分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键 角度01 带电粒子在电场中做圆周运动 1．如图所示，水平向右的匀强电场中，有一质量、电荷量的带正电小球，悬挂在长为的绝缘线的一端，悬线另一端固定于点，小球可以静止在点，与竖直虚线的夹角，OA与电场线平行，A、B两点到点的距离均为l。，，g取。 (1)求电场强度的大小； (2)在点给小球一个竖直向下的初速度，小球恰能到达点，求的大小； (3)在（2）所述情形下，求此过程中小球总势能最小时的速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球由平衡条件有 解得 （2）小球从到的过程，由动能定理得 得 （3）小球在平衡位置P点处动能最大，从P点到由动能定理得 得 【点睛】 2．如图所示，匀强电场方向竖直向下，场强大小，木板MN与水平面夹角。半径R=0.3m的光滑圆弧轨道AB固定在图示位置，O为圆心，末端B切线水平。一带电量的小球由A点无初速度释放，最终垂直打在木板上的C点。已知小球质量m=0.04kg，g取10m/s2。 (1)求小球运动到B点时速度的大小； (2)求O、C两点间的电势差； (3)小球即将运动至C点时，瞬间撤去木板，同时增加另一匀强电场E′，使小球保持沿到达C点时的速度方向继续运动，求匀强电场E′大小的最小值E′min及此时小球加速度a的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球从A点到B点过程中，由动能定理可得 解得小球运动到B点时的速度大小为 （2）小球从B点到C点做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向有 解得加速度大小为 小球垂直打在木板上的C点，根据几何关系可得 解得小球在C点的竖直分速度大小为 小球从B点到C点，竖直方向根据运动学公式可得 解得竖直位移大小为 O、C两点间的电势差为 解得 （3）小球即将运动至C点时，瞬间撤去木板，同时增加另一匀强电场，使小球保持沿到达C点时的速度方向继续运动，则小球受到的合力方向与C点的速度方向在同一直线上；小球受到的重力和原来电场的电场力均竖直向下，两个力的合力大小为 根据三角形定则可知，当另一匀强电场对小球的电场力与合力方向（C点的速度方向）垂直时，电场具有最小值，根据几何关系可得 解得 此时小球所受合力大小为 根据牛顿第二定律可得 解得小球的加速度大小为 3．如图所示，竖直面内固定一个半径的半圆形光滑绝缘细管道，是管道最低点，管道所在的平面内存在水平向右的匀强电场，场强大小。一个质量、带电量的绝缘小球从点由静止释放。取处电势为零，取，求： (1)A处的电势及小球在处的电势能； (2)小球到达点的动能； (3)小球在管道内运动的最大速度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）取处电势为零，则A处电势 且 解得 由 得 （2）小球从A运动到B的过程中，由动能定理知 解得 （3）当重力与电场力的合力沿半径方向时，速度最大，此时合力与水平方向成角，有 解得 从到速度最大处，由动能定理知 解得 角度02 带电粒子在交变电场中运动的问题 4．（多选）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔，右极板电势随时间变化的规律如图乙所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（     ） A．从时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上 B．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动 C．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 【答案】AC 【详解】AB．从时刻释放电子，画出图像如图所示 由图可知，电子的速度方向不变，电子将始终向右运动，直到打到右极板上，故A正确，B错误； C．从时刻释放电子，画出图像如图所示 由图可知，电子向右的位移与向左的位移大小相等，如果两板间距离不够大，释放后内到达右板，若释放后内不能到达右板，则之后将往复运动，故C正确； D．从时刻释放电子，根据题意可知，时间内，电子向右加速运动，时间内，电子向右减速运动，如果两板间距离不够大，此时电子可能已经到达右板，若此时电子不能到达右板，时间内，电子向左加速运动，此过程中电子从左极板小孔飞出，故D错误。 故选AC。 5．（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量大小为q，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对接收屏左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（     ） A．粒子带负电 B．粒子在接收屏左侧区域，一直做加速运动 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在接收屏右侧区域飞行的时间为 【答案】AD 【详解】A．初始时奇数筒电势高，场强方向向左，而带电粒子能够向右加速，所以粒子带负电，故A正确； B．在金属筒内，由于静电屏蔽内部场强为0，此时为匀速直线运动，故B错误； C．从5号筒飞出后动能为 解得速度为 电势能为，设飞至接收屏时离Q的距离为b，则有 类比天体运动特点还应存在 联立可得 则接收粒子位置应为出口上方处，故C错误； D．类比天体运动，飞行周期应与半径为的圆周运动周期一致。则有 可得 则飞行时间为，故D正确。 故选AD。 6．如图甲所示，某粒子加速与偏转控制装置由多级直线加速器、平行板偏转电场、粒子接收屏三部分组成。多级直线加速器由多个同轴金属圆筒依次排列构成，相邻圆筒间留有狭窄加速间隙，加速电压为，变化周期为（如图乙）。已知在时刻，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值，质量为、电荷量为的带正电粒子从金属圆板（序号0）中央静止释放，粒子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都恰好能被加速。粒子经过次加速后，沿水平中轴线进入偏转电场，已知偏转电场极板长度为，间距为，极板间加有恒定电压；粒子接收屏垂直于中轴线放置，其与偏转电场右边缘的水平距离为。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子从第个圆筒射出时的速度及第个圆筒的长度； (2)若，，，，求粒子射出偏转电场时，垂直于板面方向的偏移量； (3)若，，，若要使粒子能穿出偏转电场，求： ①粒子加速次数的范围； ②所有能穿出偏转电场的粒子，均能打到接收屏，接收屏成像系统的最小可分辨间距为，即当屏上相邻两个粒子亮斑的间距大于等于时，可记录为分立的亮斑，则屏上可记录的分立亮斑总共有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.025m (3)①（n为正整数），②个 【详解】（1）粒子经过次加速，由动能定理得 解得 粒子在圆筒中做匀速直线运动，第个圆筒的长度 解得 （2）粒子经过次加速，由动能定理得 偏转电场中， 又根据牛顿第二定律推得 即 代入数据得 当时， （3）①由（2）得 若要使粒子不打到极板 即 解得，所以（n为正整数） ②分辨率，能打到屏上：、、…… 打到屏上的位置为： 即 第和的粒子打到屏上，间距 解得 得且、、…… 所以，，，……（时，15和16两个光斑可以分辨，但是16和17已不可分辨），共13个分立亮斑。 角度03 示波管 7．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示，如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（  ） A．极板X应带负电 B．极板X′应带正电 C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电 【答案】C 【详解】如果在荧光屏上P点出现亮斑，可知电子分别向极板X和极板Y偏转，由于电子带负电，所以极板X应带正电，极板Y应带正电，则极板X′带负电，极板Y′带负电。 故选C。 8．如图所示为由加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图。忽略电子重力，下列说法正确的是（　　） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向 B．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场也可使电子的速度增大 C．水平偏转板间的电场可以让电子上下偏转 D．荧光屏上不能产生倾斜亮线 【答案】B 【详解】 AB．加速电场对电子做正功，电子速度增大，偏转电场对电子的作用力与电子的初速度方向垂直，电子做类平抛运动，电子的速度也增大，故A错误，B正确； C．水平偏转板间的电场方向是水平的，对电子施加水平方向的电场力，能使电子在水平方向上发生偏转，不能使电子上下偏转，故C错误； D．如果在水平偏转板和竖直偏转板上同时施加合适的扫描电压，可以使电子束在荧光屏上沿任意倾斜方向移动，从而形成倾斜的亮线，故D错误。 故选B。 9．XCT 扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，图乙为该机器的原理示意图。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的竖直平面内竖直向上的匀强电场。经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线。已知MN两端的电压为U0，偏转场区域水平宽度为L0，电场强度大小为E，竖直高度足够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子的重力影响，不考虑电子间的相互作用及电子进入加速电场时的初速度，不计空气阻力。 (1)求电子束进入偏转电场前的速度v0 ； (2)求电子束射出偏转电场时竖直方向的侧移量y； (3)若每秒钟进入加速电场的电子数为N，打在靶上的电子有90%被靶吸收，10%被反射，反射前后电子速度方向与靶表面的夹角大小不变，反射速度大小为撞击前速度的二分之一，求电子束对靶竖直方向的平均作用力 F； (4)在仪器实际工作时，电压U0会随时间成正弦规律小幅波动，波动幅度为，周期为T，如图丙所示。为使电子均能打到靶台，求靶台的最小直径。（电子通过加速电场的时间极短，不考虑加速电场变化时产生的磁场） 【答案】(1) (2) (3)，方向竖直向下 (4) 【详解】（1）（1）电子在间加速过程，由动能定理可得 解得 （2）在偏转电场中，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向做匀加速直线运动，有， 联立解得侧移量为 （3）以竖直向下为正方向，离开偏转电场时电子竖直方向的分速度为 在很短的一段时间内对打在靶上的电子应用动量定理得 联立化简求得 方向竖直向下； （4）由上一问可知，由于的波动，范围内，则偏转角最小时有 此时电子落在靶上最远点，落点到偏转场中点的水平位移为 则偏转角最大时有 此时落在靶上最近点，落点到偏转场中点的水平位移为 故靶上的直径为 解得 【例1】（2026·河南）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【答案】(1)设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 (2) 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 【变式1-1】在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 （2）对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 （3）对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 【变式1-2】如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 【变式1-3】如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 【答案】C 【详解】根据题意0 ~ 1s水平位移为0，可得v0x＋0.5ax = 0 竖直位移为3m，可得vy0＋0.5ay = 3 0 ~ 2s水平位移为3m，可得2v0x＋2ax = 3 竖直位移为0，可得2vy0＋2ay = 0 解得ax = 3m/s2，ay = －6m/s2 对小球受力分析有 代入数据得Ex = 3.0×105V/m，Ey = 4.0×105V/m 故电场强度大小 电场方向斜向上偏N侧，Ex > 0表明沿x轴正方向电势降低，故φO > φN。 故选C。 ⚡基础速刷 1．在蛋白质电泳实验中，一块长度为10cm的均匀凝胶两端施加250V的恒定电压，用以驱动带负电的蛋白质分子向正极迁移。已知该蛋白质分子在此凝胶中的迁移率为，其中，v是分子的迁移速度，E是电场强度，则该蛋白质分子的迁移速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】凝胶内的电场强度，代入题中数据可得。 根据，变形得迁移速度 可得 故选B。 2．某仪器中静电场的等势线如图中虚线所示，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，、、、是轨迹上的四个点。电子从点运动到点的过程中，动能（　　） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直增大 D．一直减小 【答案】B 【详解】根据电势能与电势的关系式可知，负电荷在电势高的地方具有的电势能反而小。电子带负电，由于，所以电子从a运动到b的过程中电势能减小，则电场力做正功其动能增大；同理由于，故电子从c运动到d的过程中，电势能增大电场力做负功，其动能减小。所以电子从a运动到d的过程中动能先增大后减小。 故选B。 3．如图，中，。匀强电场的电场线平行于所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、3V、。下列说法中正确的是（   ） A．电场强度的方向沿ac方向 B．电场强度的方向沿ab方向 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】C 【详解】AB．由于ab两点电势相等，故ab为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势，可知电场方向垂直于ab，则电场强度的方向沿bc方向，故AB错误； CD．电场强度的大小为，故C正确，D错误。 故选C。 4．如图所示，与纸面平行的匀强电场中有一矩形，、、三点处的电势分别为、、，则点的电势为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知,点的电势为。 故选C。 5．两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点比d点的电势高 B．b点与e点电场强度相同 C．将负试探电荷从a点移到e点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能a点比b点大 【答案】A 【详解】A．电场线方向是电势降低的方向，从电场线分布可知，c点所在的等势面电势高于d点，故A正确； B．b、e两点关于连线上下对称，沿电场方向的切线方向为电场的方向，故b、e两点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误； C．从a点移到e点，电势降低，负电荷的电势能增大，故从a点移到e点电场力对该电荷做负功，故C错误； D．a点电势比b点高，故负电荷在a点电势能比b点小，故D错误。 故选A。 6．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v。下列说法正确的是（　　） A．M板带正电、N板带负电 B．M板带负电、N板带正电 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 【答案】A 【详解】AB．带正电的粒子从做加速运动，说明电场力的方向向右，而正电荷所受电场力的方向与场强方向相同，故M板带正电、N板带负电，故A正确,B错误； CD．由动能定理有 解得 若增大U、则v增大，故CD错误。 故选A。 7．电子显微镜利用电场控制电子的运动，其电场分布简化示意图如图所示，实线为电场线，虚线为一电子的运动轨迹。则（　　） A．A点的电场强度比B点的大 B．A点的电势比B点的高 C．电子从A点运动到B点，电势能不断增大 D．电子从A点运动到B点，速率不断增大 【答案】D 【详解】A．由图可知，B点电场线较A点密，则A点的电场强度比B点的小，故A错误； B．沿电场线方向电势降低，可知A点的电势比B点的低，B错误； CD．由于电子所受电场力的方向与场强方向相反，所以若电子从A运动到B，电场力一直做正功，动能不断增大，电势能不断减小，故C错误，D正确。 故选D。 8．静电透镜是利用静电场使带电粒子束会聚或发散的一种装置。如图，一粒子（带电荷量的绝对值为e）仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知粒子在经过a点时动能为50eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．该粒子带正电 B．b、c两点的电场强度相同 C．粒子在整个运动过程中，电场力一直做负功 D．粒子在经过c点时的动能为70eV 【答案】D 【详解】A．由图可知，粒子在轴左侧，受到斜向右下方的电场力，故粒子带负电，A错误； B．依题意，各等势线关于y轴对称，故y轴两侧等势线疏密相同，电场线疏密相同，即b、c两点处电场线疏密相同，则b、c两点处电场强度大小相同，但方向不同，B错误； C．粒子在轴左侧，受到斜向右下方的电场力，故粒子在轴左侧时，电场力做正功，在轴右侧时，电场力做负功，C错误； D．从a点到c点，由动能定理有 解得，D正确。 故选D。 9．如图是静电推进装置的原理图，发射极与吸极分别接在直流电源两端，两极间产生电场，虚线为等势面且相邻等势面的电势差相等。在电场力的作用下，一个带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，若不计液滴重力，则（　　） A．液滴带正电 B．a点的电势比b点的低 C．液滴在a点的电势能比在b点的小 D．a点的电场强度可能比b点小 【答案】A 【详解】A．液滴在电场力作用下加速飞向吸极，可知液滴带正电，故A正确； B．由题可知，电场线的方向由发射极指向吸极，由于沿电场线的方向电势逐渐降低，因此a点的电势比b点的高，故B错误； C．由于液滴从发射极加速飞向吸极，可知电场力做正功，液滴的电势能减小，因此液滴在a点的电势能比在b点的大，故C错误； D．根据电场线与等势线的分布关系可知，a处的电场线比b处的电场线密集，则a点的电场强度比b点的大，故D错误。 故选A。 10．如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E；有一个质量为m的带负电小球，用长度为L的绝缘轻细绳悬挂起来；当细绳向左偏离竖直方向的角度时，带电小球恰好静止。若将小球向左拉到细绳水平后静止释放，经过一段时间小球到达竖直最低点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。（，） (1)求小球所带的电荷量q的大小； (2)求小球到达竖直最低点时速度大小和绳子拉力的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）小球恰好静止时，对小球受力分析如图所示 根据平衡条件可知 解得 （2）小球由释放到最低点，由动能定理可知 在最低点，由牛顿第二定律可知 联立，解得， 🚀能力跃升 11．如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴正方向的匀强电场，一个带负电粒子，比荷，以速度从轴上的点进入电场，速度方向与轴负方向的夹角为，粒子经电场偏转后从点垂直轴进入第二象限。已知点的坐标为，不计粒子重力，，。 (1)粒子在轴方向上可视为什么运动？ (2)粒子从点运动到点的时间是多少？ (3)电场强度的大小是多少？ 【答案】(1)匀速直线运动 (2) (3) 【详解】（1）粒子在x轴上没有外力作用，所以粒子在x轴上的运动为匀速直线运动。 （2）水平方向分速度， 水平方向为匀速直线运动 解得 （3）从A到C过程中，竖直方向上为匀减速运动 根据速度时间关系 根据牛顿第二定律，由题意知 解得 12．如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，沿平行于板面方向有，沿垂直于板面方向有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）对电子运动的全程，根据动能定理有 解得 13．如图所示，平行板电容器的极板竖直放置，极板间的电场强度大小为E，右极板的右侧空间充满水平向左的匀强电场，电场强度大小也为E。一带正电的小球从两极板间的O点由静止释放，做匀加速直线运动，从右极板上的小孔离开时速度为v，方向与极板的夹角60°。已知电容器的电容为C，两极板间距为d，小球质量为m，重力加速度为g，取右极板上小孔所在的水平面为重力势能的参考平面。求： (1)电容器所带的电荷量Q； (2)小球所带的电荷量q； (3)小球远离右极板过程中机械能的最小值。 【答案】(1)CEd (2) (3) 【详解】（1）电容器两极板间的场强，电容器的电容 可知电容器所带的电荷量 （2）小球在电容器两极板间做匀加速直线运动，则 解得 （3）当小球在右极板右侧运动时，当水平速度减为零时，电场力做负功最多，此时小球的机械能最小，则 此过程中电场力做功 则小球远离右极板过程中机械能的最小值 🌟思维挑战 14．如图所示，一质量为m=1×10-2kg、带电荷量大小为的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，假设电场足够大，静止时悬线向左与竖直方向夹角为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度g取，，。求： (1)电场强度的大小； (2)若在某时刻将细线突然剪断，求经过2s时小球的速度大小及方向； (3)若撤去电场，求小球摆到最低点时细线的弹力的大小。 【答案】(1) (2)25m/s，方向斜向左下方与竖直方向夹角为 (3)0.14N 【详解】（1）小球静止时，对其进行受力分析，小球所受电场力方向与电场方向相反，小球带负电，如图所示 根据平衡条件有 解得 （2）若在某时刻将细线突然剪断，小球做匀加速直线运动，结合上述，根据牛顿第二定律有 2s时小球的速度大小 解得 方向斜向左下方与竖直方向夹角为。 （3）若撤去电场，小球摆到最低点过程，根据动能定理有 在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 15．如图所示，在的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN平滑连接，半圆轨道所在平面与电场线平行，其半径，一带正电荷的小滑块质量为，与水平轨道间的动摩擦因数，取，求： (1)要小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放； (2)从（1）中位置释放的小滑块通过半圆轨道中点P点时对轨道的弹力。 【答案】(1) (2)，方向水平向左。 【详解】（1）小滑块刚能通过轨道最高点L条件是 小滑块由释放点到最高点过程由动能定理可得 代入数据解得 （2）小滑块由P到L，由动能定理可得 所以 在P点由牛顿第二定律可得 所以 代入数据得，由牛顿第三定律可知，小滑块通过P点时滑块对轨道的弹力是，方向水平向左。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 带电粒子在电场中的运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 电势差 考点02 电势差与电场强度的关系 考点03 带电粒子在电场中的加速 考点04 带电粒子在电场中的偏转 03 避坑指南·解题通法 角度01 带电粒子在电场中做圆周运动 角度02 带电粒子在交变电场中运动的问题 角度03 示波管 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.知道电势差概念，知道电势差的正负表示两点间电势的高低关系。 2.推导静电力做功跟电势差的关系式，会用公式计算静电力所做的功。 3.能够从牛顿运动定律和功能关系两个角度分析物体的直线运动。 1.通过论证等势面一定垂直于电场线，体会反证法在推理过程中的应用。 2.通过地势与电势的类比，领会知识的相通性，学会比较知识的共同点与不同点，掌握研究物理问题的方法。 3.通过解决带电粒子在电场中加速的问题，加深对牛顿运动定律和功能关系两个角度分析物体运动的认识。 考点01 电势差 1．电势差定义：电场中两点间电势之差，叫作 电势差　，也叫 电压　。单位为 伏特　，符号为V。 2．电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有UAB＝φA－φB和 UBA＝φB－φA　，故UAB＝－UBA。 3．静电力做功与电势差的关系 WAB＝ qUAB　或UAB＝。 【深化点拨】 1．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 2．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 1．在一负点电荷产生的静电场中有a、b两点，试探电荷在两点受到的静电力大小F与试探电荷电量q满足如图所示的关系，下列说法正确的是（     ） A．a点场强比b点场强小 B．a点的电势比b点电势低 C．同一正电荷在a点的电势能比在b点大 D．a、b两点间的电势差与零电势点的选取有关 2．点电荷产生的电场如图所示，a、b是同一条电场线上的两点，下列说法正确的是（　　） A．点电场强度比点的小 B．电子在点的电势能比点的大 C．若变为原来的2倍，a、b两点间电势差不变 D．若变为原来的2倍，点电场强度变为原来的2倍 3．（多选）开尔文滴水起电机的结构如图所示，中空金属圆筒E、F通过导线分别与金属杯H、G相连，盆A中的水通过管B从滴管C、D竖直滴出，分别经E、F落入G、H中。整个装置原来不带电，甲同学在某次实验中，C滴出一滴带少量正电荷的水滴，落入金属杯G中，则由于静电感应，D后续滴下的水滴总是带负电，这样G、H就会带上越来越多的异种电荷。关于上述实验过程，下列说法正确的是（    ） A．在甲同学的实验中G带正电荷，则F带正电荷 B．在甲同学的实验中H带正电荷，则E带正电荷 C．G、H两筒之间的电势差始终保持不变 D．关闭C、D的阀门，仅G向E靠近时，G带电量增大 【电场力做功与电势差的关系】 (1)UAB＝中，UAB、WAB及q都有正负之分，计算UAB时，WAB和q的正负可直接代入，结果为正说明φA>φB，为负说明φA<φB。 (2)不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是可以利用WAB和q来计算A、B两点间的电势差UAB。 (3)由UAB＝可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移动到B点时静电力所做的功。若静电力对单位正电荷做正功，则UAB为正值；若静电力对单位正电荷做负功，则UAB为负值。 (4)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB是静电力所做的功，式中各量均有正负，计算相关量时，“W”与“U”的角标一定要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 考点02 电势差与电场强度的关系 匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．匀强电场中两点间的电势差等于 电场强度　与这两点 沿电场方向　的距离的乘积。 2．公式：UAB＝ Ed　。 (1)静电力做正功，电势能 减少　； (2)静电力做负功，电势能 增加　。 3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即 伏每米　，符号为V/m。 【深化点拨】 对公式U＝Ed的理解 1．从变形公式E＝可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向单位长度电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。 2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离，在匀强电场中，沿任意方向上以及与之平行的方向上、相等的长度上，电势降落相等。例如在图中MN方向上，相等长度电势降落相等。 3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定，等差等势面越密的地方电场强度也越大。现在举例来说明公式E＝在非匀强电场中的应用。如右图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且＝，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即AB<BC，又因为UAB＝·AB，UBC＝·BC，所以UAB＜UBC。 4．如图所示，以为圆心、半径为的圆处在匀强电场中，圆面与电场线平行。从点在圆面内向各个方向射出初动能均为的电子，所有运动至圆周的电子中，到达点的电子动能最大，到达点的电子动能为。已知圆弧所对的圆心角为，O点的电势为，电子带电量大小为，不计重力与电子间相互作用，则下列说法正确的是（     ） A．B点的电势为20 V B．A、B两点的电势差为10 V C．电子到达A点时动能与电势能的和为 D．匀强电场的电场强度大小为50 V/m 5．（多选）如图所示， abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与电场强度方向平行，已知 ab=ad=2cm，∠adc=60°， a、b、d三点的电势分别为0V、4V、4V，则（　　 ） A．c点的电势为10V B．匀强电场的电场强度为400V/m C．若将电子从a点移到b点，需克服静电力做功4eV D．电子和质子分别放在d点时，具有不同的电势能 6．如图所示，一个电场的电场线分布关于y轴对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，且MP⊥ON。下列说法正确的是（　　） A．O、M、N、P四点中，N点的电势最高 B．O、M、N、P四点中，N点的电场强度最大 C．带正电的试探电荷在M点的电势能等于在P点的电势能 D．O、M两点间的电势差大于M、N两点间的电势差 【E＝的理解】 (1)公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场。 (2)由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。 (3)电场中电场强度的方向就是电势降落最快的方向。 (4)电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大。 考点03 带电粒子在电场中的加速 带电粒子在电场中加速的两种分析思路 1．利用牛顿第二定律结合 匀变速直线运动　公式，适用于 匀强　电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 2．利用静电力做功结合 动能定理　，当问题只涉及 位移　、速率等动能定理公式中的物理量或 非匀强　电场情景时适合该思路。 【深化点拨】 一、带电粒子的重力是否可忽略的条件 重力场中的有质量的物体都要受到重力的作用，只是带电粒子受到的重力远小于静电力，通常可以忽略重力的影响。 1.对于质量很小的带电粒子，如电子、质子、α粒子、离子等，虽然它们也受到重力的作用，但重力远小于电场力，可以忽略不计。对于带电粒子，若无说明或暗示，一般不计重力； 2．带电颗粒：如尘埃、液滴、油滴、小球等，若无说明或暗示，一般要考虑重力； 3．平衡问题一般要考虑重力； 4．即使题目中给出了带电粒子的质量，也不一定需要求出重力；不管是物体还是粒子，在一定条件下都可看成质点；只要是实物粒子，都有质量，不能忽略。 二、求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 7．如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 8．图示装置由放射源P、加速电场、偏转电场、铺有感光纸的圆筒组成。放射源P可沿着中心线方向连续发出大量电荷量为+q、质量为m的粒子，其初速度大小范围为，粒子先经A、B间加速，再经C、D间偏转（C、D间视为匀强电场），最后打到绕轴OO′旋转的感光纸上而发出亮点。已知加速电场电压，偏转电场电压、极板长度为L，C、D间距为d，极板右端到圆筒的最近距离为，圆筒半径为R，不考虑粒子相互作用和重力、极板边缘效应、感光纸的厚度，假设所有粒子均能射出偏转电场。求： (1)粒子离开极板B时的速度大小范围； (2)粒子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的最大距离ym； (3)经足够长时间后，感光纸上发光点围成的面积大小S。 9．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在平面的区域内，存在两个场强大小均为的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为的正方形。电子在的中点静止释放，已知电子电量为，质量为。 (1)求电子离开Ⅰ区域的速度大小； (2)求电子经过轴时的坐标； (3)若在电场Ⅰ区域内适当位置静止释放电子，电子恰能从区域左下角点离开，求所有释放点的位置。 【带电粒子在电场中的直线运动】 (1)带电粒子的分类及受力特点 ①电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 ②质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 ③受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 (2)根据题目给出的条件，分析求带电粒子的速度是从动力学角度出发去分析问题还是从功能关系角度出发。找出相应的方法，选择相应的公式去解决问题。 考点04 带电粒子在电场中的偏转 带电粒子在电场中的偏转 如图所示，质量为m、带电荷量为q的粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，极板间距离为d，极板间电压为U。 1．运动性质 (1)沿初速度方向：速度为 v0　的 匀速直线　运动。 (2)垂直v0的方向：初速度为 零　的匀加速直线运动。 2．运动规律 (1)t＝，a＝，偏移距离y＝at2＝。 (2)vy＝at＝，tan θ＝＝。 【深化点拨】 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 10．真空中的某装置如图所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏。今有质子、氘核和α粒子均从A板由静止开始被加速电场加速，然后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上。已知质子、氘核和α粒子的质量之比为，电荷量之比为，则下列判断正确的是（     ） A．三种粒子从B板运动到荧光屏飞行的时间相同 B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同 C．偏转电场的静电力对三种粒子做的功之比为 D．偏转电场的静电力对三种粒子做的功之比为 11．如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板间距离为2d，距板右端L处有一竖直屏M。一带电荷量为+q、质量为m可视为质点的小球以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，已知重力加速度为g。求： (1)小球刚要打到M时的动能Ek； (2)A、B两极板间的电势差UAB； (3)电场力对小球做的功W。 12．如图，竖直平面内有一平面直角坐标系xOy，在第二象限内存在一曲线边界，边界解析式方程为，（k为已知量，是一常数）该曲线与y正半轴之间存在一竖直向下的匀强电场E（E大小未知），在第一象限和第四象限存在大小也为E的匀强电场，方向分别竖直向下和竖直向上。曲线边界的左侧存在一线性粒子发射源，可以向右均匀发射初速度均为的相同粒子，粒子质量为m，电荷量为+q，粒子从曲线边界上不同位置进入第二象限的匀强电场，且所有粒子均从坐标原点O离开进入第四象限，粒子重力不计。 (1)求第二象限场强E大小； (2)求到达原点O处速度方向与x正半轴夹角为的粒子，运动过程中离x轴的最大距离d大小； (3)求到达原点O处速度方向与x正半轴夹角为的粒子，离开原点O后经过多长时间速度偏向角度为。 电势高低的判断方法 1．带电粒子的种类 2．加速问题的两种分析思路 3．带电粒子在匀强电场中的直线运动问题的分析方法 4．分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键 角度01 带电粒子在电场中做圆周运动 1．如图所示，水平向右的匀强电场中，有一质量、电荷量的带正电小球，悬挂在长为的绝缘线的一端，悬线另一端固定于点，小球可以静止在点，与竖直虚线的夹角，OA与电场线平行，A、B两点到点的距离均为l。，，g取。 (1)求电场强度的大小； (2)在点给小球一个竖直向下的初速度，小球恰能到达点，求的大小； (3)在（2）所述情形下，求此过程中小球总势能最小时的速度。 2．如图所示，匀强电场方向竖直向下，场强大小，木板MN与水平面夹角。半径R=0.3m的光滑圆弧轨道AB固定在图示位置，O为圆心，末端B切线水平。一带电量的小球由A点无初速度释放，最终垂直打在木板上的C点。已知小球质量m=0.04kg，g取10m/s2。 (1)求小球运动到B点时速度的大小； (2)求O、C两点间的电势差； (3)小球即将运动至C点时，瞬间撤去木板，同时增加另一匀强电场E′，使小球保持沿到达C点时的速度方向继续运动，求匀强电场E′大小的最小值E′min及此时小球加速度a的大小。 3．如图所示，竖直面内固定一个半径的半圆形光滑绝缘细管道，是管道最低点，管道所在的平面内存在水平向右的匀强电场，场强大小。一个质量、带电量的绝缘小球从点由静止释放。取处电势为零，取，求： (1)A处的电势及小球在处的电势能； (2)小球到达点的动能； (3)小球在管道内运动的最大速度。 角度02 带电粒子在交变电场中运动的问题 4．（多选）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔，右极板电势随时间变化的规律如图乙所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（     ） A．从时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上 B．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动 C．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 5．（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量大小为q，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对接收屏左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（     ） A．粒子带负电 B．粒子在接收屏左侧区域，一直做加速运动 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在接收屏右侧区域飞行的时间为 6．如图甲所示，某粒子加速与偏转控制装置由多级直线加速器、平行板偏转电场、粒子接收屏三部分组成。多级直线加速器由多个同轴金属圆筒依次排列构成，相邻圆筒间留有狭窄加速间隙，加速电压为，变化周期为（如图乙）。已知在时刻，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值，质量为、电荷量为的带正电粒子从金属圆板（序号0）中央静止释放，粒子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都恰好能被加速。粒子经过次加速后，沿水平中轴线进入偏转电场，已知偏转电场极板长度为，间距为，极板间加有恒定电压；粒子接收屏垂直于中轴线放置，其与偏转电场右边缘的水平距离为。不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子从第个圆筒射出时的速度及第个圆筒的长度； (2)若，，，，求粒子射出偏转电场时，垂直于板面方向的偏移量； (3)若，，，若要使粒子能穿出偏转电场，求： ①粒子加速次数的范围； ②所有能穿出偏转电场的粒子，均能打到接收屏，接收屏成像系统的最小可分辨间距为，即当屏上相邻两个粒子亮斑的间距大于等于时，可记录为分立的亮斑，则屏上可记录的分立亮斑总共有多少个？ 角度03 示波管 7．示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示，如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（  ） A．极板X应带负电 B．极板X′应带正电 C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电 8．如图所示为由加速电场、偏转电场与荧光屏组成的示波管结构示意图。忽略电子重力，下列说法正确的是（　　） A．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场仅改变速度的方向 B．加速电场可使电子的速度增大，偏转电场也可使电子的速度增大 C．水平偏转板间的电场可以让电子上下偏转 D．荧光屏上不能产生倾斜亮线 9．XCT 扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。图甲是某种XCT机主要部分的剖面图，图乙为该机器的原理示意图。图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内为偏转元件中的竖直平面内竖直向上的匀强电场。经调节后电子从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上的中心点P，产生X射线。已知MN两端的电压为U0，偏转场区域水平宽度为L0，电场强度大小为E，竖直高度足够长，MN中电子束距离靶台竖直高度为H，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子的重力影响，不考虑电子间的相互作用及电子进入加速电场时的初速度，不计空气阻力。 (1)求电子束进入偏转电场前的速度v0 ； (2)求电子束射出偏转电场时竖直方向的侧移量y； (3)若每秒钟进入加速电场的电子数为N，打在靶上的电子有90%被靶吸收，10%被反射，反射前后电子速度方向与靶表面的夹角大小不变，反射速度大小为撞击前速度的二分之一，求电子束对靶竖直方向的平均作用力 F； (4)在仪器实际工作时，电压U0会随时间成正弦规律小幅波动，波动幅度为，周期为T，如图丙所示。为使电子均能打到靶台，求靶台的最小直径。（电子通过加速电场的时间极短，不考虑加速电场变化时产生的磁场） 【例1】（2026·河南）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【变式1-1】在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【变式1-2】如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【变式1-3】如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN ⚡基础速刷 1．在蛋白质电泳实验中，一块长度为10cm的均匀凝胶两端施加250V的恒定电压，用以驱动带负电的蛋白质分子向正极迁移。已知该蛋白质分子在此凝胶中的迁移率为，其中，v是分子的迁移速度，E是电场强度，则该蛋白质分子的迁移速度大小为（    ） A． B． C． D． 2．某仪器中静电场的等势线如图中虚线所示，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，、、、是轨迹上的四个点。电子从点运动到点的过程中，动能（　　） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直增大 D．一直减小 3．如图，中，。匀强电场的电场线平行于所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、3V、。下列说法中正确的是（   ） A．电场强度的方向沿ac方向 B．电场强度的方向沿ab方向 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 4．如图所示，与纸面平行的匀强电场中有一矩形，、、三点处的电势分别为、、，则点的电势为（　　） A． B． C． D． 5．两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，d是两负电荷连线的中点，c、d两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．c点比d点的电势高 B．b点与e点电场强度相同 C．将负试探电荷从a点移到e点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能a点比b点大 6．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场使带电粒子加速。其原理如图，给真空中的两平行金属板M、N加电压U，一带正电的粒子（不计重力）从靠近M板的O点静止释放，粒子将沿直线加速运动到N板，到N板时的速度为v。下列说法正确的是（　　） A．M板带正电、N板带负电 B．M板带负电、N板带正电 C．若增大U、则v减小 D．若增大U、则v不变 7．电子显微镜利用电场控制电子的运动，其电场分布简化示意图如图所示，实线为电场线，虚线为一电子的运动轨迹。则（　　） A．A点的电场强度比B点的大 B．A点的电势比B点的高 C．电子从A点运动到B点，电势能不断增大 D．电子从A点运动到B点，速率不断增大 8．静电透镜是利用静电场使带电粒子束会聚或发散的一种装置。如图，一粒子（带电荷量的绝对值为e）仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于y轴对称，a、b、c、d分别是轨迹与等势线的交点。已知粒子在经过a点时动能为50eV，各等势线的电势高低标注在图中，则（　　） A．该粒子带正电 B．b、c两点的电场强度相同 C．粒子在整个运动过程中，电场力一直做负功 D．粒子在经过c点时的动能为70eV 9．如图是静电推进装置的原理图，发射极与吸极分别接在直流电源两端，两极间产生电场，虚线为等势面且相邻等势面的电势差相等。在电场力的作用下，一个带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，若不计液滴重力，则（　　） A．液滴带正电 B．a点的电势比b点的低 C．液滴在a点的电势能比在b点的小 D．a点的电场强度可能比b点小 10．如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E；有一个质量为m的带负电小球，用长度为L的绝缘轻细绳悬挂起来；当细绳向左偏离竖直方向的角度时，带电小球恰好静止。若将小球向左拉到细绳水平后静止释放，经过一段时间小球到达竖直最低点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。（，） (1)求小球所带的电荷量q的大小； (2)求小球到达竖直最低点时速度大小和绳子拉力的大小。 🚀能力跃升 11．如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴正方向的匀强电场，一个带负电粒子，比荷，以速度从轴上的点进入电场，速度方向与轴负方向的夹角为，粒子经电场偏转后从点垂直轴进入第二象限。已知点的坐标为，不计粒子重力，，。 (1)粒子在轴方向上可视为什么运动？ (2)粒子从点运动到点的时间是多少？ (3)电场强度的大小是多少？ 12．如图所示，一个静止的电子经过电压为的加速电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的偏转电场，两极板的长度为，相距为，极板间的电压为。已知电子紧靠负极板，电荷量大小为，质量为，偏转电场可看作匀强电场。求： (1)电子进入偏转电场的速度大小； (2)电子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为； (3)电子离开偏转电场时的动能大小。 13．如图所示，平行板电容器的极板竖直放置，极板间的电场强度大小为E，右极板的右侧空间充满水平向左的匀强电场，电场强度大小也为E。一带正电的小球从两极板间的O点由静止释放，做匀加速直线运动，从右极板上的小孔离开时速度为v，方向与极板的夹角60°。已知电容器的电容为C，两极板间距为d，小球质量为m，重力加速度为g，取右极板上小孔所在的水平面为重力势能的参考平面。求： (1)电容器所带的电荷量Q； (2)小球所带的电荷量q； (3)小球远离右极板过程中机械能的最小值。 🌟思维挑战 14．如图所示，一质量为m=1×10-2kg、带电荷量大小为的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，假设电场足够大，静止时悬线向左与竖直方向夹角为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度g取，，。求： (1)电场强度的大小； (2)若在某时刻将细线突然剪断，求经过2s时小球的速度大小及方向； (3)若撤去电场，求小球摆到最低点时细线的弹力的大小。 15．如图所示，在的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN平滑连接，半圆轨道所在平面与电场线平行，其半径，一带正电荷的小滑块质量为，与水平轨道间的动摩擦因数，取，求： (1)要小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放； (2)从（1）中位置释放的小滑块通过半圆轨道中点P点时对轨道的弹力。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $