专题2.3 用公式法求解一元二次方程（7大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦用公式法求解一元二次方程核心知识点，以配方法推导求根公式为起点，系统梳理公式法解题步骤（化一般式、定a/b/c、算判别式、代公式），并衔接根的判别式（b²-4ac）判断根的情况，构建从原理到应用的完整学习支架。 该资料通过“即学即练”“错题复原”“综合问题”等多样题型设计，结合等腰三角形边长计算等实例，培养学生推理意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固公式应用，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3用公式法求解一元二次方程 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01公式法解一元二次方程 2.知识清单 知识点02一元二次方程根的判别试 题型01求一元二次方程中判别式的值 题型02利用用公式法还原一元二次方程 用公式法解一元二次方程 题型03用公式法求解一元二次方程 题型04用公式法解一元二次方程的错题复原问题 3题型精讲 题型05根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型06根据一元二方程根的情况求叁数 题型07一元二方程中参数与其他综合问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解公式法解法的原理。 2掌握一元二次方程求根公式X=一b±Vb-4aC 能运用公式法求解一元二次方 教学目标 2a 程。 3.理解判别式△=b2.4ac的意义，能根据判别式判断一元二次方程根的情况。 重点： 1.一元二次方程求根公式的推导过程与公式法的规范运用。 2.判别式△的准确计算，并依据其符号判断方程根的情况（两个不相等实数根、两个 相等实数根、无实数根)。 教学重难点 教学难点： 1.求根公式推导中配方的代数变形逻辑，特别是b2·4ac作为整体出现的理解。 2.在运用公式法时，准确确定ā、b、c的值，注意符号的处理（尤其是b为负数 时)。 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元次方am+加+c=0e0叭当6炉-c20则，=生-@ 2a 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式：②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出b2-4c的值； @若62-4ac≥0' 则利用公式xb生y6-4aC求出原方程的解；若b2二4c<0:则原方程无实 2a 根。 【即学即练】 1.解方程：3x2-8x+3=0 2.解方程：2x2-3x-9=0, 知识点02一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程x'+br+c=0(a≠0)中，b-4ac叫做一元二次方程ax'+bx+c=0(a≠0)的根的判 别式，通常用“△”来表示，即△=b2-4ac (1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； (2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根： (3)当△<0时，一元二次方程没有实数根 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a,b.c的值：③计算b2-4ac的值：④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程x+br+c=0(a≠0)中， (1)方程有两个不相等的实数根Pb2-4ac>0: (2)方程有两个相等的实数根Pb2-4ac=0: (3)方程没有实数根→b2-4ac<0. 要点： (1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件： (2)若一元二次方程有两个实数根则b-4ac≥0. 【即学即练】 1.已知关于x的一元二次方程2-2(m-1)x+m-5=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围： (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根. 2.当m取什么值时，关于x的方程4？+(m+2)x+m2=4 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 题型精讲 题型01求一元二次方程中判别式的值 【典例1】一元二次方程方程3x2-x-1=0的根的判别式的值为 【变式1】一元二次方程2x2-5x+1=0的根的判别式的值是 【变式2】关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则m=_ 【变式3】若关于x的一元二次方程)2+(m-2)x+m=0,其根的判别式的值为8，则m的值是 题型02利用用公式法还原一元二次方程 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】在用求根公式x=b±B-4ac 2a 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了。'6'。得到 3±V(-3)}-4×2×(-1) x= ,则她求解的一元二次方程是() 2×2 A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.-x2-3x+2=0 2±V4-4×3×(-1) 【变式1】用公式法解一元二次方程的根为x= 该方程为() 2×3 A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 【变式2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x= 5±V(-5-4×2×(-1) ,则该一元二次方程可 2×2 能为() A.2x2+5x-1=0 B.2x2-5x-1=0 C.-2x2-5x+1=0 D.5x2-2x-1=0 【变式3】在用求根公式x=b士vB-4aC 2a 求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、c,得到 x=3±y3-4x2x-) 则她求解的一元二次方程是() 2×2 A.2x2+3x-1=0 B.2x2-3x-1=0 C.-2x2-3x+1=0 D.3x2-2x-1=0 题型03 用公式法求解一元二次方程 【典例1】解方程：3x2-10x+6=0 【变式1】解方程：2x2+6x-5=0. 【变式2】解方程：(x-2-2x+2=0」 【变式3】解方程 (1)2x2+5x+2=0 (2)x2-2V2x-3=0 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【典例1】嘉嘉同学解一元二次方程2x2-x-1=0的过程如下. 解：2x2-x-1=0,① a=2,b=1,c=1,② △=b2-4ac=22-4=0,③ b 1 方程有两个相等的实数根x=5=2a=一4④ (1)嘉嘉解方程的方法是一；他的求解过程从第 步开始出现错误. (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根， 【变式1】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程2x2-x=3的过程如下： 解：a=2,b=-1,c=3① .△=b2-4ac=(-1)-4×2×3② =-1-24=-25<0③ 此方程无解. 问题： (1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程， 【变式2】小明在解方程x2-5x=-3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：a=1,b=-5,c=-3,…第一步 b2-4ac=(-5)}-4×1×(-3)=37,…第二步 x=5±V37 2 第三步 5+V37 .. -5-V37 第四步 (1)问：小明的解答是从第 步开始出错的： (2)请写出本题正确的解答， 【变式3】发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2-7x+10=0的两个根，求等腰三角形 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错 误原因 涵涵的作业： 解：x2-7x+10=0. a=1,b=-7,c=10 b2-4ac=9>0,① x=-b±vB2-4ac7±3 2· ② 2a x=5,x2=2 ③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5,5,2.-④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2,2,5.-⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是一（填序号). (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形6C的一展和底边的长是关于的方程”-心+号}-0的两个实数根 ①m=2时，求△ABC的周长； ②当△ABC为等边三角形时，求m的值. 题型05根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程x2+2x-3=0的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【变式1】若x=2是方程x2-3x+m=0的一个根，则此方程的根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.m<0时，没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程x2+mx-1=0的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 【变式3】若k<0,关于x的一元二次方程2-x+1=0的根的情况是() 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 题型06根据一元二方程根的情况求参数 【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2-2mx-1=0的两个实数根相等，则m= 【变式1】若关于x的方程x2-3x+C=2无解，那么实数c的取值范围是一。 【变式2】若关于x的一元二次方程2x2-4x+a-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 【变式3】已知关于x的一元二次方程ar-(2a-3)x+a-l=0有实数根，则实数a的取值范围是 题型07一元二方程中参数与其他综合问题 【典例1】已知关于x的方程x2-(m-1)x-2(m+1)=0 (1)求证：无论取何值，该方程总有实数根： (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的的值，并求出此时方程的根， 【变式1】已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两个实数 根。 (1)若AB的长为6，求m的值： (2)为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长， 【变式2】已知关于x的一元二次方程a+cx+2br+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC的三边长. (1)如果方程的一个根为-1，试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由， 【变式3】己知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0」 (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5， ①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由： ②若△ABC是等腰三角形，求等腰三角形的周长. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26八年级下·全国课后作业)一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式的值是() A.17 B.15 C.12 D.9 2.(25-26八年级下浙江宁波·期末)下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（) A.x2+1=0 B.x2+2x+2=0 C.x2+2x+1=0 D.x2+2x-1=0 3.(25-26九年级上贵州黔南期末)某一元二次方程的根用求根公式表示为 x=--2)±-2-4x3x(←) 则该一元二次方程为() 2×3 A.-2x2+3x-1=0 B.3x2-2x-1=0 C.2x2-3x+1=0 D.3x2-2x+1=0 4.(2026北京·三模)若关于x的一元二次方程x2-4x-c=0有两个不等的实数根，则实数c的值可以为 () A.-16 B.-8 C.-6 D.-2 二、填空题 5.(25-26九年级上广东江门期中)一元二次方程2x2-4x-3=0的解为 6.(25-26九年级上福建三明期中)关于x的方程2x+x+m=0的△=9，则m= 7.(25-26八年级下·吉林长春·开学考试)关于x的一元二次方程x2-6x+k+7=0有相等的实数根，则 k= 8.(25-26八年级下·天津期末)已知关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，则a的取值范 围是 三、解答题 9.(25-26八年级下吉林长春期中)解方程：3x2-4x-1=0. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(2026八年级下·全国专题练习)使用“公式法”解一元二次方程 02--0 (2)2x2-2√2x+1=0: (3)3x2+20=2x2+8x」 11.(2026八年级下全国专题练习)用公式法解方程： (1)x2-4x+1=0 (2)5x2=4x-1 (3)2x2-2x-1=0 ④引-8 12.(25-26八年级下浙江温州期中)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4k-2=0 ()求证：无论k取何值，此方程总有实数根 (2)若等腰△ABC的一边长a为4，另两边b,C的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长. 能力提升 一、 单选题 1.(2026安徽滁州·一模)下列方程中，有两个相等实数根的是() A.x2-2x-1=0B.x2-2x=0 C.x2-1=0 D.x2-2x+1=0 2.(25-26九年级上河南周口期中)用公式法解一元二次方程x2-2x=3时，b2-4aC的值为() A.-8 B.8 C.16 D.17 目(25-26八年级下安微毫州期末)关于一元三次方程)产-2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是 () A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 4.(2026九年级上全国专题练习）关于x的一元二次方程(m-2)x+4x+2=0有两个实数根，则m的 9/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取值范围是() A.m≤4 B.m24 C.m≥4且m≠2 D.m≤4且m≠2 5.(25-26八年级下安徽滁州期末)对于一元二次方程m2+br+c=0(a≠0)，给出下列说法： ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根： ②若c是方程ar2+br+c=0的一个根，则一定有aC+b+1=0成立； ③若x是一元二次方程ar2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2a,+b): ④存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c=an2+bn+c. 其中正确的是() A.只有①③ B.只有①② C.只有①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测)一元二次方程2x2-3x+1=0根的判别式的值为 北京期中)关于，的一元二次方程+bx+40有两 8.(25-26九年级上陕西咸阳阶段检测)若关于x的一元二次方程2-2x+1=0没有实数根，则k的取 值范围是 9.（2026河南平顶山三模）已知关于x的一元二次方程2-(3m-1)x+?m-1=0有两个不相等的实数 4 根，则的取值范围是 10.(25-26九年级上湖北宜昌阶段检测)若关于x的一元二次方程(a+1)x2-x-1=0有两个实数根，则 a的取值范围是 三、解答题 11.(25-26八年级下·全国课后作业)用公式法解下列方程： (1)3x2=2(2-x) (2)x2+2x+1=-2x+9」 12.(25-26九年级上山东期中)解下列方程： (1)x2-x-1=0 (2)V3x2=6x-V3 13.(25-26九年级上河北邢台·期中)习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程：3x2-5x=2 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：将方程化为一般形式，得3x2-5x+2=0, 第一步， a=3,b=5,c=2, 第二步： △=b2-4ac=52-4×3×2=1>0, 第三步； :x=5tf_5t1 2×36 第四步， 2 即=3，x=1 第五步 (1)开始出现错误的步骤是第 步： (2)请给出此题正确的解答过程。 14.(25-26九年级上江西新余期末)已知关于x的一元二次方程x2+c-k-3=0(k为常数). (1)若方程的一个根为2，求k的值； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根， 15.(25-26九年级上：河南洛阳·期中)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c 是RIAABC和Rt△BED边长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如ar2+√2cx+b=0的一元二次方程 称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题： E N2 c C Bb D ()请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？ ①3x2+5V2x+4=0: gr+ 1312 =0； ③x2+2x+1=0: ④6x2+8V2x+10=0 (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+V2cx+b=0必有实数根. 11/11 专题2.3 用公式法求解一元二次方程 教学目标 1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解公式法解法的原理。 2. 掌握一元二次方程求根公式x =，能运用公式法求解一元二次方程。 3. 理解判别式= b2 - 4ac的意义，能根据判别式判断一元二次方程根的情况。 教学重难点 重点： 1. 一元二次方程求根公式的推导过程与公式法的规范运用。 2. 判别式的准确计算，并依据其符号判断方程根的情况（两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根）。 教学难点： 1. 求根公式推导中配方的代数变形逻辑，特别是b2 - 4ac作为整体出现的理解。 2. 在运用公式法时，准确确定a、b、c的值，注意符号的处理（尤其是b为负数时）。 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【即学即练】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解答本题的关键． 根据公式法计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ，． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：． ∴， ∴ 解得  ，． 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练】 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： （2）解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 2．当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：△时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系确定的取值． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， ， ． 当时，解得， ∴当时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当时，解得， ∴当时，方程没有实数根． 题型01 求一元二次方程中判别式的值 【典例1】一元二次方程方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得， 即的值为． 故答案为：． 题型02 利用用公式法还原一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【变式1】用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【变式2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 【变式3】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 题型03 用公式法求解一元二次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先将方程化简，得到，，，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， 方程化为：， ，，， ， ， ，． 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴∴， ∴， ∴， 解得． 题型04 用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【典例1】嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)公式法，② (2)步骤见解析，， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中，，，他的表示系数时错误，所以，从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：， ，，， ， ， ，． 【变式1】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析，，． 【分析】（）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断； （）根据公式法解一元二次方程即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式， ∴从步开始出现了错误， 故答案为：； （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式3】发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】(1)⑤ (2)当为等边三角形时，的值为1． 【分析】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 题型05 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式1】若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式2】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式3】若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 题型06 根据一元二方程根的情况求参数 【典例1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式1】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 题型07 一元二方程中参数与其他综合问题 【典例1】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)时，方程的两根为， 【分析】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键． （1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根． 【详解】（1）证明： ， 无论m取任何数，，即， 无论m取何值，该方程总有实数根； （2）解： ，由求根公式得： ，， 方程的两个根都是整数， 取时，方程的两根为，． 【变式1】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)12 (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 【变式2】已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， (3)为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出，二者关系，从而判断的形状． （2）利用等边三角形的性质可知，， 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于的一元二次方程，求出的值即可． （3）根据题意即可知道，从而求出，，三者关系， 利用勾股定理逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 将方程的一个根代入原方程得：， ． ，是的两边， 是等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，． 这个一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． （3）解：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ． 为直角三角形． 【变式3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根的判别式的值是（   ） A．17 B．15 C．12 D．9 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于方程，判别式，直接代入计算即可. 【详解】解：方程中，，，， . 故选：A. 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 3．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 4．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 6．（25-26九年级上·福建三明·期中）关于的方程的，则________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程判别式，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程判别式列式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：方程中， ，，， ． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）关于的一元二次方程有相等的实数根，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有相等实数根的条件，可知判别式，据此列出关于的方程，求解得到的值． 【详解】解：方程有相等的实数根， ， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·天津·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 三、解答题 9．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 10．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 11．（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)该方程在实数范围内无解 (3) (4) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 12．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】选项A：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：∵，，，， ∴， 方程有两个相等的实数根，符合题意． 2．（25-26九年级上·河南周口·期中）用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 4．（2026九年级上·全国·专题练习）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意二次项系数不为零．一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数，据此求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，即， 且． ∴． ∴． 又∵， ∴m的取值范围是且． 故选：D． 5．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 二、填空题 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）一元二次方程根的判别式的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，代入题中数值计算即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：1． 7．（25-26九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，一次项系数为，常数项， 判别式， 由于方程有两个相等的实数根，故，即， 解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由一元二次方程没有实数根可得，，解不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，， 解得：， 故答案为：． 9．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 10．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数． 根据题意可得二次项系数不为0，且，即可得的取值范围． 【详解】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 【详解】（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 12．（25-26九年级上·山东·期中）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据公式法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·河北邢台·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，，解答过程见解析 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 14．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键． （1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程，得 ， 解得； （2）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 15．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？ ①； ②； ③； ④． (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”； (2)见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理，一元二次方程根的判别式，理解勾系一元二次方程”的定义，熟练掌握勾股定理，一元二次方程根的判别式是解决问题问题的关键． （1）①对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ②对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ③对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断； ④对于方程，，，，则，由此得，据此可对该方程进行判断；综上所述即可得出答案； （2）根据判别式为，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，可知a，b，c是和边长，， ， ①对于方程，，，， ， ，， ， 方程是“勾系一元二次方程”； ②对于方程，，，， ， ，， ， 方程不是“勾系一元二次方程”； ③对于方程，，，， ， ，， ， 方程是“勾系一元二次方程”； ④对于方程，，，， ， ，， ， 方程不是“勾系一元二次方程”， 综上所述：①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”； （2）证明：对于关于x的“勾系一元二次方程”， 判别式为：， ， ， 判别式， 关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $