专题4.2.2 等比数列的前n项和 （5大知识点+9大题型+21题强化）【精英班课程】 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.2.2 等比数列的前n项和 知识点一、等比数列前n项和公式的推导（核心方法：错位相减法） 1.推导前提：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，即 2.推导过程（分情况讨论）： 情况1：当时：等比数列为常数列，故 情况2：当时（错位相减法核心步骤）： 写出前n项和表达式：① 两边同乘公比q：② 错位相减（①-②）：左边；右边消去中间项，得 整理得公式：（也可变形为，便于q>1时计算） 3.推导关键：错位相减的核心是“消除中间项”，通过同乘公比使相邻两项的指数对齐，相减后中间的等比项全部抵消，仅剩余首项和末项相关的项 知识点二、等比数列前n项和公式的两种形式及适用条件 1.核心公式： 形式1（基本形式）：（n∈N+） 形式2（含末项形式）：（q≠1）， 2.适用条件总结： 优先用形式1的情况：已知、q、n，求；或已知的表达式，判断数列是否为等比数列 优先用形式2的情况：已知、、q，求（无需计算n，简化步骤） 必须分类讨论的情况：题干未明确q是否为1时，需先讨论q=1，再讨论q≠1 常考结论： 当等比数列的公比q≠1时，前n项和可改写为（其中），即是“指数函数型”函数，且常数项与指数项系数互为相反数；反之，若数列前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列为等比数列 当q=1时，是关于n的一次函数，且一次项系数为，常数项为0 知识点三、等比数列前n项和的核心性质 性质1（片段和性质）：设等比数列的前n项和为，则、、、…仍为等比数列，公比为（记为片段和数列，首项为） 性质2（和的比值性质）：设两个等比数列、的前n项和分别为、，公比分别为、，则（类比等差数列的类似性质，核心是“中间项”的桥梁作用） 性质3（奇偶项和性质）：若等比数列的公比为q，前n项和为，则： 当n为偶数时，（为偶数项和，为奇数项和）； 当n为奇数时，，且 性质4（前n项和与公比的关系）：若为等比数列前n项和（q≠1），则（可理解为前n+m项和=前n项和+第n+1到n+m项和，后者是首项为、公比为q的等比数列前m项和） 2.性质的验证（以片段和性质为例）：设，则，同理，故片段和数列公比为 知识点四、等比数列前n项和与通项的关系 1.核心关系：对任意等比数列，其前n项和与通项满足： 当n=1时，； 当n≥2时，； 综上： 知识点五、无穷等比数列各项的和 1、公式探究：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云：一尺之棰 日取其半 万世不竭.如果我们把每天取的长度依次记录下来，可得数列： 随着n无限增大，此数列的第n项=(越来越趋近于零，称的极限为零． 2、无穷等比数列的各项和的定义: 我们把的无穷等比数列前n项的和，当n时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即 ()。 题型01：求等比数列前n项和 【例1】已知数列的前项和为，满足，则 . 【答案】121 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为， 则当时，， 相减得，即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为：121. 【跟踪训练】 1.设等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】1020 【详解】设数列的公比为，又，，则， 所以，则. 故答案为：. 2.正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则 即，解得：， 又， 解得， 则， 故选：B 3.已知是等比数列的前项和，，，则 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为为等比数列，故， 而 ， 故答案为：. 4.已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 题型02：等比数列前n项和的基本量计算 【方法点拨】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；（2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类 【例2】在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)；(2)，；(3)或. 【详解】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得， 所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. 【例3】在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 【答案】(1)，(2)答案见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，； 当时，， 满足上式，所以，对任意的， 因此，. （2）设等比数列的公比为， 由，得， 解得或. 当时，； 当时，， 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题知，所以. 故选：C. 2.已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 故，即，故公比. 故选：B 3.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 4.已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则 ． 【答案】/1.5 【分析】根据等比数列的性质，讨论是否符合，从而利用前项和公式与通项公式列方程求解的值，从而得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以， 若，则，与题意矛盾，所以， 则，解得， 所以． 故答案为：. 5．设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 【答案】/0.5 【分析】根据数列的前n项和的概念，拆分前8项和为“奇数项和”与“偶数项和”，再结合等比数列的定义即可求解. 【详解】等比数列的前8项和， 即：； 因为，，代入上式得：， 所以. 又因为，，，， 因此，，即，. 故答案为： 6.等比数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，. 当时，由，可得：，，此时不成立； 当时，由等比数列的前项和公式可得：，解得：. 由等比数列的通项公式可得：. 故选：B. 题型03：等比数列片段和性质及应用 【方法点拨】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.讨论. 【例4】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 【例5】在等比数列中，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 【答案】A 【详解】设的公比为q，则， 所以，又， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：A． 2.已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 【答案】4 【详解】由正项等比数列满足， 当等比数列的公比时，，解得， 则，，故不满足题意； 所以，根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得或（舍去）． 故答案为：4. 题型04：等比数列奇偶项求和问题 【方法点拨】等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 【例6】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比 . 【答案】/ 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 【例7】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 2.若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 3．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 4.若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 题型05：无穷等比数列求和 【例8】在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【解析】 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 【跟踪训练】 1.计算：= ． 【答案】1 2. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 【答案】3 【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可. 【详解】因为成等差数列， 故，即， 解得：或. 因为等比数列是严格减数列，故. 所以. 故答案为：3 3.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解. 【详解】因为为无穷等比数列，， 所以，则，则， 因为，所以是以为公比的等比数列，且， 此时，所以， 当时，； 当时，， 因为，所以，故，则； 综上：，即，故的取值范围为. 故答案为：. 4.在数列中，若对一切都有且，则的值为__________ 【答案】 【分析】由递推关系可知数列和均为等比数列，由等比数列求和公式和极限的思想可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得. 【详解】若，则，不合题意，； ，数列是以为公比的等比数列， 数列是以为公比的等比数列， ， 解得：，. 故答案为：. 5. 设无穷等比数列的公比为q．若，则_______． 【答案】 【分析】由题意可得公比q满足，，由通项公式可得关于q的方程，解方程可得． 【详解】解：由题意可得公比q满足， ∵, , 即，所以， 整理可得，解得或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式、数列极限，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 题型06：等比数列的最值问题 【例9】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 【例10】已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， ，或（舍去）， 所以. 由，， ，所以的最小值为. 故选：B 【例11】等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则，解得， 又，解得， 所以，则，即是首项为，公差为的等差数列， 令，则，易知， 所以， 故当或6时，取最小值，最小值为， 故选： 【例12】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用放缩法证明即可. 【详解】，， 当时，不等式显然成立. 当时， ． 【跟踪训练】 1.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法错误的是(　　) A．若a3>0，则a2 021>0 B．若a4>0，则a2 020>0 C．若a3>0，则S2 021>0 D．若a3>0，则S2 021<0 解析：设数列{an}的公比为q， 当a3>0时，a2 021＝a3q2 018>0，A正确； 当a4>0时，a2 020＝a4·q2 016>0，B正确． 又当q≠1时，S2 021＝， 当q<0时，1－q>0，1－q2 021>0，∴S2 021>0， 当0<q<1时，1－q>0，1－q2 021>0，∴S2 021>0， 当q>1时，1－q<0，1－q2 021<0，∴S2 021>0. 当q＝1时，S2 021＝2 021a1>0，故C正确，D不正确． 故选D 2．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 3．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 题型07：等比数列与的关系 【方法点拨】若公比与成一次函数关系（即，、为常数） 【例13】记为等比数列的前项和，若（为常数），则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以， ， 因为为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 【例14】已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 【跟踪训练】 1.已知是数列的前n项和，，则下列结论不正确的有（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】B 【详解】对于A：令，得，则，故A正确； 对于B：，当时，有，两式相减， 得，整理得， 又因为，故是以为首项，为公比的等比数列， 即，易知是递减数列，故B错误； 对于C：由B可知，，故C正确； 对于D：将代入，可得，故D正确. 故选：B. 2.在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 3.已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 题型08：等比数列的简单应用 【例15】云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 【跟踪训练】 1.近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【分析】设第秒种的细菌的个数为，且，求得通项公式，据题意可得，求解即可. 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 2.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【答案】498 【分析】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解. 【详解】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498 3.某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可. 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 题型09：综合提升 【例16】已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 所以. 【跟踪训练】 1．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设的公比为，则， 因为，所以，则， 则，即， 整理得，解得或（舍去），则， 所以． （2）由（1）可知， 故 ， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故随着的增大而增大， 又， ， 所以满足的最大整数． 2．已知数列的首项为3，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的都成立，求的范围． 【答案】(1)证明见详解， (2) 【详解】（1）由，则，又， 所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）由，则，即对均成立， 所以，对任意均成立， 令，由，， 当时，，即， 当时，，即， 所以， ，即的取值范围为. 一、填空题 1.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 2.已知等比数列的前项和为，若，则公比_______ 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】由题知，所以. 3.设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据的情况分类讨论，进而求解. 【详解】由等比数列的前n项和， 所以， 当时，满足题意， 当时，， 所以， 所以或， 当，由，所以， 当， 综上所述，或， 故答案为：. 4.设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 5.记为等比数列的前项和．若，，则_________ 【分析】根据等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】解：由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则 ， 解得：，所以，所以， 故选：A. 6．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　) 【答案】－或1 解析：由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1. 7.设等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和的基本量计算，或根据等比数列的性质来求得. 【详解】法一：设等比数列的公比为q，若，则，所以； 由，得，即， 所以，解得， 则． 法二：由等比数列的性质知，，，…成等比数列， 其公比为，设，显然， 则，，所以，所以． 故答案为： 8.在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 9. 记数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】首先根据等差数列求和公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 10.已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【解析】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 11.已知数列的通项公式为，，其前n项和为，则________. 【答案】 【分析】先对数列求和得到，再求极限. 【详解】当时，， 当时，，当时， ∴ ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了数列的求和问题，考查了等比数列的求和公式，考查了极限的求法，属于基础题. 12.已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 【答案】 【分析】根据已知和求通项及等比数列通项公式可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以，，因为为等比数列，所以， 即，解得或0（舍去）， 所以，，公比，所以. 故答案为：. 二、选择题 13．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于(　　) A．－25　　　　B．25 C．－31 D．31 解析：选D　因为an＋1＝2an，且a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的前5项的和为＝31. 14.已知数列为等比数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为 答案：C 15.某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，进行计算，即可求解. 【详解】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持不变，且，， 由题意得， 2036年1月1日将所有存款及利息全部取回为：万元. 故选：D 16. 已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】首先对两边取对数，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对数，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式， 整理得； 又因为 所以正整数的最大值为10. 故选：C. 3、 解答题 17. 已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用当时，可得，进而求出数列的通项公式； （2）求得，根据等比数列的求和公式求得结果. 【详解】（1）依题意，当时，由，可知， 由，可得两式相减可知，，即， 因此时，， 即 （2）由（1）可知，，当时，， 因此也适合，， 故， 故的前项和 18. 已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）对变形为，进而利用等差数列的定义证明，然后利用等差数列通项公式求解即可； （2）由（1）得，进而利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 因为，所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 于是， 则， 故． 19. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 依题意， 解得， 所以. （2）设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为， 因为，            所以数列的前n项和为. 20. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 21.已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. （2）利用构造法，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和计算得解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，得， 而，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即. （3）由（2）知， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.2.2 等比数列的前n项和 知识点一、等比数列前n项和公式的推导（核心方法：错位相减法） 1.推导前提：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，即 2.推导过程（分情况讨论）： 情况1：当时：等比数列为常数列，故 情况2：当时（错位相减法核心步骤）： 写出前n项和表达式：① 两边同乘公比q：② 错位相减（①-②）：左边；右边消去中间项，得 整理得公式：（也可变形为，便于q>1时计算） 3.推导关键：错位相减的核心是“消除中间项”，通过同乘公比使相邻两项的指数对齐，相减后中间的等比项全部抵消，仅剩余首项和末项相关的项 知识点二、等比数列前n项和公式的两种形式及适用条件 1.核心公式： 形式1（基本形式）：（n∈N+） 形式2（含末项形式）：（q≠1）， 2.适用条件总结： 优先用形式1的情况：已知、q、n，求；或已知的表达式，判断数列是否为等比数列 优先用形式2的情况：已知、、q，求（无需计算n，简化步骤） 必须分类讨论的情况：题干未明确q是否为1时，需先讨论q=1，再讨论q≠1 常考结论： 当等比数列的公比q≠1时，前n项和可改写为（其中），即是“指数函数型”函数，且常数项与指数项系数互为相反数；反之，若数列前n项和为（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列为等比数列 当q=1时，是关于n的一次函数，且一次项系数为，常数项为0 知识点三、等比数列前n项和的核心性质 性质1（片段和性质）：设等比数列的前n项和为，则、、、…仍为等比数列，公比为（记为片段和数列，首项为） 性质2（和的比值性质）：设两个等比数列、的前n项和分别为、，公比分别为、，则（类比等差数列的类似性质，核心是“中间项”的桥梁作用） 性质3（奇偶项和性质）：若等比数列的公比为q，前n项和为，则： 当n为偶数时，（为偶数项和，为奇数项和）； 当n为奇数时，，且 性质4（前n项和与公比的关系）：若为等比数列前n项和（q≠1），则（可理解为前n+m项和=前n项和+第n+1到n+m项和，后者是首项为、公比为q的等比数列前m项和） 2.性质的验证（以片段和性质为例）：设，则，同理，故片段和数列公比为 知识点四、等比数列前n项和与通项的关系 1.核心关系：对任意等比数列，其前n项和与通项满足： 当n=1时，； 当n≥2时，； 综上： 知识点五、无穷等比数列各项的和 1、公式探究：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云：一尺之棰 日取其半 万世不竭.如果我们把每天取的长度依次记录下来，可得数列： 随着n无限增大，此数列的第n项=(越来越趋近于零，称的极限为零． 2、无穷等比数列的各项和的定义: 我们把的无穷等比数列前n项的和，当n时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即 ()。 题型01：求等比数列前n项和 【例1】已知数列的前项和为，满足，则 . 【跟踪训练】 1.设等比数列的前项和为，且，，则 . 2.正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 3.已知是等比数列的前项和，，，则 4.已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 题型02：等比数列前n项和的基本量计算 【方法点拨】（1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；（2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类 【例2】在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【例3】在等比数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求和. 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 2.已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 3.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则 ． 5．设等比数列的前n项和为，若，，则的公比为 . 6.等比数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．4 题型03：等比数列片段和性质及应用 【方法点拨】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为,这一性质可直接应用.讨论. 【例4】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【例5】在等比数列中，，，则 ． 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A．17 B．18 C． D． 2.已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为 . 题型04：等比数列奇偶项求和问题 【方法点拨】等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 【例6】等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比 . 【例7】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪训练】 1.已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 2.若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 3．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 4.若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 题型05：无穷等比数列求和 【例8】在等比数列中，，，则_____ 【跟踪训练】 1.计算：= ． 2. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 3.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 4.在数列中，若对一切都有且，则的值为__________ 5. 设无穷等比数列的公比为q．若，则_______． 题型06：等比数列的最值问题 【例9】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例10】已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 【例11】等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例12】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 5．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【跟踪训练】 1.已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法错误的是(　　) A．若a3>0，则a2 021>0 B．若a4>0，则a2 020>0 C．若a3>0，则S2 021>0 D．若a3>0，则S2 021<0 2．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 3．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07：等比数列与的关系 【方法点拨】若公比与成一次函数关系（即，、为常数） 【例13】记为等比数列的前项和，若（为常数），则 ． 【例14】已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【跟踪训练】 1.已知是数列的前n项和，，则下列结论不正确的有（    ） A． B．是递增数列 C． D． 2.在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 3.已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型08：等比数列的简单应用 【例15】云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【跟踪训练】 1.近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 2.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 3.某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 题型09：综合提升 【例16】已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【跟踪训练】 1．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求满足的最大整数． 2．已知数列的首项为3，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的都成立，求的范围． 一、填空题 1.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 2.已知等比数列的前项和为，若，则公比_______ 3.设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 4.设等比数列的前项和为，若，则 ． 5.记为等比数列的前项和．若，，则_________ 6．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝(　　) 7.设等比数列的前n项和为，若，则 ． 8.在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 9. 记数列的前项和为，若，则 . 10.已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 11.已知数列的通项公式为，，其前n项和为，则________. 12.已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 二、选择题 13．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于(　　) A．－25　　　　B．25 C．－31 D．31 14.已知数列为等比数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 15.某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 16. 已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 3、 解答题 17. 已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 18. 已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 19. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 20. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 21.已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $