1.4.1充分条件与必要条件（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课时 充分条件与必要条件 1.4 充分条件与必要条件 学 习 目 标 1 2 3 正确理解充分条件、必要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的关系； 通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的思维能力. 重点: 充分条件、必要条件的意义. 难点: 对必要条件的意义的理解 新课引入 复习回顾 上节课我们学习了哪些主要内容？ 回答 1. 并集、交集、全集和补集的概念； 2. 并集、交集的运算性质 3. 有关补集的综合运算； 复习回顾 阅读课本第17页的引言部分回顾初中所学命题知识，思考并回答以下问题： （1）什么是命题？ （2）命题的真假如何判断？ （3）命题的条件和结论分别是什么？ 新课引入 1. 命题定义 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 2. 命题真假判断 数学中要判断一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可. 9是2的倍数吗？（不是命题） 若a，b是无理数，则a+b是无理数.（假） 5≥5．（真） 新课引入 3. 命题结构 “若𝒑，则𝒒”、“如果𝒑，那么𝒒”、“只要𝒑，就有𝒒”等. 其中𝒑称为命题的条件, 𝒒称为命题的结论. 本节课我们一起探讨“若,则”这种形式的命题，我们主要考察命题中和的关系，学习数学中的三个常用逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 互动探究 实例探究新知 充分条件与必要条件 (4) 若平面内的两条直线和均垂直于直线,则. (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形的是菱形. (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 【实例 】下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (3) 若，则; （真） （真） （假） 由条件通过推理可以得出结论 （假） 在命题（1）（4）中： 在命题（2）（3）中： 由条件不能得出结论 知识讲解 定义 充分条件与必要条件 一般地，“若，则” 为真命题，是指由通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件． 如果“若,则”为假命题，那么由条件不能推出结论. 记作, 此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件. 知识讲解 体验 充分条件与必要条件 下列“若��，则𝒒”形式命题中，哪些命题中𝒑是𝒒的充分条件？ （1）若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若=𝟏𝟔，则𝒙=𝟐； （3）若𝒂=𝒃，则=. （真命题） （假命题） （真命题） 这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。 因为，但-2≠2，p⇏q，所以p不是q的充分条件。 由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件。 知识讲解 体验 充分条件与必要条件 下列“若��，则𝒒”形式命题中，哪些命题中𝒒是𝒑的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行； （2）若𝒙=𝟗，则=𝟑； （3）若，则𝒂=𝒃. （真命题） （真命题） （假命题） 显然 (3)由于=，但，所以不是的必要条件. (1)这是平行四边形的一条性质定理，，所以是的必要条件. 知识讲解 归纳 充分条件与必要条件 1. 是的充分条件的前提是命题“若,则”为真命题. 3. 举反例是判定一个命题是假命题的重要方法. 2. 是的必要条件的前提是命题“若,则”为真命题. ：是的充分条件，是的必要条件. 互动探究 判定定理与充分条件的关系 充分条件与必要条件 对于命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”，给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这是一条平行四边形的判定定理，𝒑⇒𝐪，所以𝒑是𝐪的充分条件.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 显然这样的充分条件是不唯一的，比如还有： 四边形的两条对角线互相平分. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两组对边分别平行； 互动探究 判定定理与充分条件的关系 充分条件与必要条件 因此，我们可以得到以下5个命题 事实上，上述命题①②③④⑤均是平行四边形的判定定理. 序号 平行四边形判定定理内容 ① 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 ② 若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形 ③ 若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形 ④ 若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形 ⑤ 若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形 结论1： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 互动探究 性质定理与必要条件的关系 充分条件与必要条件 命题“若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行”，给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对边分别平行”.这是平行四边形的一条性质定理，𝒑⇒𝒒，所以𝒒是𝒑的必要条件.这样的必要条件是唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个其他必要条件吗？ 显然这样的必要条件是不唯一的，比如还有： 四边形的两条对角线互相平分. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两组对边分别平行； 互动探究 性质定理与必要条件的关系 充分条件与必要条件 因此，我们可以得到以下5个命题 事实上，上述命题①②③④⑤均是平行四边形的性质定理. 结论1： 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 序号 定理内容 ① 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ② 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行； ③ 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ④ 若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ⑤ 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分。 典例分析 题型2 棱锥、棱台的识别与表示 解析 例1 结论 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4) 若=1，则x=1； (5) 若a=b，则ac=bc； (6) 若x，y为无理数，则xy为无理数。 解： (1) 这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。 (2) 这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。 (3) 这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。 (4) 由于，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。 (5) 由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件。 (6) 为无理数，但×=2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。 结论:p是q充分条件的命题为：(1)(2)(3)(5) 典例分析 题型2 棱锥、棱台的识别与表示 解析 例2 结论 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1) 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4) 若x=1，则=1； (5) 若ac=bc，则a=b； (6) 若xy为无理数，则x，y为无理数。 解(1) 平行四边形性质定理，p⇒q，故q是p的必要条件； (2) 相似三角形性质定理，p⇒q，故q是p的必要条件； (3) 对角线垂直无法推出四边形是菱形，p⇏q，故q不是p的必要条件; (4)显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件。(5)由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件。(6)由于1×=√2为无理数，但1，不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件。 结论:q是p必要条件的命题为：(1)(2)(4) 典例分析 题型2 棱锥、棱台的识别与表示 解析 例2 结论 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1) 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4) 若x=1，则=1； (5) 若ac=bc，则a=b； (6) 若xy为无理数，则x，y为无理数。 解(1) 平行四边形性质定理，p⇒q，故q是p的必要条件； (2) 相似三角形性质定理，p⇒q，故q是p的必要条件； (3) 对角线垂直无法推出四边形是菱形，p⇏q，故q不是p的必要条件; (4)显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件。(5)由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件。(6)由于1×=√2为无理数，但1，不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件。 结论:q是p必要条件的命题为：(1)(2)(4) 举一反三 1.ab+b-a-1=0 的一个充分条件是( ) A.a=1　　　 B.a=b　　　 C.b=1　　　 D.ab=1 解析：由 ab+b-a-1=0，可得 (a+1)(b-1)=0，解得 a=-1 或 b=1.故选 C. 2.使四边形为菱形的充分条件是( ) A.对角线相等　　　　　 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分　　　 D.对角线互相垂直平分 解析：由选项可知只有“对角线互相垂直平分”可推断四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件. 举一反三 3.x=y 的一个必要条件是( ) 　　　　 B.=1 C.　 解析：x=y 是条件，选项为结论.由 x=y ；当 x=y=0 时，B 不成立；当 x=y<2 时，C 不成立；当 x=y=1 时，D 不成立. 举一反三 4.若“x>1 或 x<-2”是“x<a”的必要条件，则 a 的最大值是 解析：因为“x>1 或 x<-2”是“x<a”的必要条件，所以 x<a⇒x>1 或 x<-2，x>1 或 x<-2⇏x<a.如图所示，所以 a≤-2，所以 a 的最大值为-2. 5 判断下列命题中 p 是 q 的什么条件.(1)p:x>1，q:x>1 或 x<-1；(2)p:△ABC 有两个角相等，q:△ABC 是正三角形. 解析： (1) 因为“x>1”能推出“x>1 或 x<-1”，即 p⇒q， 但“x>1 或 x<-1”推不出“x>1”， 如 x=-2，即 q⇏p，所以 p 是 q 的充分条件.因为“△ABC 有两个角相等”推不出“△ABC 是正三角形”，即 p⇏q， 但“△ABC 是正三角形”能推出“△ABC 有两个角相等”，即 q⇒p， 所以 p 是 q 的必要条件. 举一反三 6.在下列各题中，判断 p 是 q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”回答)： p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2) p:a∈P∩Q, q:a∈P； (3) p:a∈P∪Q, q:a∈P； 解析：等边三角形一定是等腰三角形，即 q⇒p；等腰三角形不一定是等边三角形，p⇏q。 ∴p 是 q 的必要不充分条件。若 a∈P∩Q，则 a 同时属于 P,Q，必有 a∈P，即 p⇒q； 若 a∈P，不一定满足 a∈Q，故 a∉P∩Q，q⇏p。 ∴p 是 q 的充分不必要条件。若 a∈P，则 a∈P∪Q，即 q⇒p； 若 a∈P∪Q，a 可能只属于 Q 不属于 P，p⇏q。 ∴p 是 q 的必要不充分条件。 举一反三 7.设 p:≤x≤1；q:a≤x≤a+1。若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是( ) A.{a | 0<a<} B.{a | 0<a≤} C.{a | 0≤a<} D.{a | 0≤a≤} 解析：q 是 p 的必要不充分条件 ⇔p⇒q, q⇏p 即集合 [,1]⫋[a,a+1] 列不等式组：解得： 即 0≤a≤，选 D。 学海拾贝 一、本节课核心知识点回顾 本节课只学习充分条件、必要条件，充要条件下一节再学习，核心依托命题“若p，则q”判断： 若p⇒q（p成立一定能推出q成立） p是q的充分条件； q是p的必要条件。 2. 若p⇏q（p成立推不出q成立） p不是q的充分条件； q不是p的必要条件。 学海拾贝 二、本节学习重点注意事项 （一）分清逻辑推导方向，别搞反p、q 关键口诀：谁在前，谁是条件p；谁在后，谁是结论q，命题固定格式“若p，则q”，不能颠倒p和q。 例：命题“若四边形是菱形p，则对角线垂直q”，只能判断p是q的充分条件、q是p的必要条件；反过来单独说“对角线垂直是菱形的充分条件”就是错的。 易错点：看到“必要条件”，要立刻反应是结论推条件（q⇒p）；看到“充分条件”是条件推结论（p⇒q），推导方向完全相反。 （二）区分两类提问句式，审题不看错 题型1：问“p是q的什么条件” 先判断p能不能推出q，对应充分条件；再看q能不能推出p，对应必要条件。 题型2：问“q是p的什么条件” 逻辑完全反转，以q当作条件、p当作结论再推导，极易写反，做题先圈出主语。 学海拾贝 二、本节学习重点注意事项 典型坑：求“x=y的必要条件”，必要条件是结论，要找x=y能推出的式子（如）；求“等式成立的充分条件”，要找能推出等式成立的式子。 （三）举反例是证明“推不出”的唯一方法 判断p⇏q不用复杂证明，只需要举出1个反例： 1. 例：判断“=1是x=1的充分条件？”，反例x=-1满足=1但不满足x=1，直接得出推不出； 2. 几何类命题：对角线互相垂直推不出菱形，举“普通筝形”作为反例； 3. 无理数命题：x=都是无理数，但乘积为2有理数，证明无理数相乘不一定无理。 学海拾贝 二、本节学习重点注意事项 （四）集合视角简化判断（区间、范围题专用） 若条件p对应集合A，结论q对应集合B： 1. A⊆B⇔p⇒q：p是q充分条件，q是p必要条件； 2. 范围类大题关键：题目说“q是p的必要不充分条件”，等价于p的集合是q集合的真子集，列不等式时端点一定要单独检验，避免漏等号、多等号。 例：q是p必要不充分，则p范围完全包含在q内，等号全部可取，不要随意去掉。 （五）几何定理区分判定定理、性质定理 判定定理（充分条件）：满足条件⇒图形成立，条件是充分条件 例：两组对边平行⇒平行四边形，“两组对边平行”是平行四边形的充分条件； 性质定理（必要条件）：图形成立⇒具备该特征，结论是必要条件 例：平行四边形⇒对边相等，“对边相等”是平行四边形的必要条件； 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $