专题04 有理数的乘法、除法（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学七年级上册.

专题04有理数的乘法、除法 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 有理数乘法板块：两数相乘法则→多个有理数相乘符号规律→倒数核心概念→乘法三大运算律→乘法简便运算 有理数除法板块：除法与倒数的转化关系→两数相除法则→有理数乘除混合运算规则→规范运算解题步骤 通用核心逻辑：所有有理数乘、除运算统一遵循「先定符号，再算绝对值」的两步解题原则，将有理数运算转化为小学已学的非负数运算，降低运算难度 ✺学习目标： 知识要求：1.精准掌握两数、多个有理数乘法法则，熟练判断乘法运算结果符号，能准确完成基础乘法计算 2.理解倒数的定义与核心性质，掌握整数、分数、小数的倒数求法，牢记0没有倒数的特殊规定 3.熟记有理数乘法交换律、结合律、分配律，能灵活运用运算律简化乘法运算 掌握有理数除法的两种运算法则，理解除法与倒数的转化关系，熟练掌握乘除混合运算顺序与解题步骤 能力要求：1.精准掌握有理数乘除运算符号判断方法，有效规避符号出错的高频问题，养成先判符号的运算习惯 2.熟练完成各类有理数乘除基础运算、简便运算、混合运算，提升计算准确率与解题速度 3.学会根据算式特点，灵活选用运算律简化计算，提升运算优化与解题变通能力 素养要求：1.建立分类讨论数学思维，能根据因数正负、个数分类判断运算结果符号，夯实有理数运算核心思维 2.养成步骤规范、逻辑清晰的解题习惯，为后续复杂数学运算、代数式计算奠定良好基础 ✺题型归纳： 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数四则混合运算 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型12.数轴上的翻折 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，结果均为0。 示例：同号相乘：(+3)×(+2)=+6，(-4)×(-5)=+20 异号相乘：(+3)×(-4)=-12，(-5)×(+2)=-10 与0相乘：0×(-100)=0，99×0=0 2.多个有理数相乘法则：几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 ★积的符号不取决于数值大小，仅由算式中负因数的个数唯一决定，具体规律如下： 负因数有偶数个，积为正数； 负因数有奇数个，积为负数； ★特殊判定法则：多个有理数相乘，若算式中存在任意一个因数为0，无需判断符号和计算绝对值，直接判定积为0。同样，若积为0，则至少有一个因数为0. 3. 有理数乘法的运算步骤： （1） 确定积的符号； （2）确定积的绝对值. 4.有理数乘法运算律 ✅有理数乘法的三种运算律对所有有理数（正数、负数、0）均适用，核心作用是调整运算顺序、凑整简化计算，是简便运算的核心依据，具体内容如下： 运算律名称 字母公式 文字解读 对应例题 乘法交换律 ab=ba 两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 (-2)×3=3×(-2)=-6 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 [(-2)×(-3)]×4=(-2)×[(-3)×4]=24 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 4×(-2+3)=4×(-2)+4×3=4 ▶乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加. 知识点二：倒数的定义与性质 1.定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。 0没有倒数.1的倒数是其本身，-1的倒数是其本身； 2.符号一致性：正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不会改变原数的正负符号； 3.唯一性：任意非零有理数的倒数有且仅有一个。 4.规律方法： （1） 求一个非零整数的倒数，可直接写成这个数分之一； （2） 求一个分数的倒数，只要分子，分母交换位置即可； （3） 对于小数和带分数，求倒数时应先将小数化成分数，将带分数化成假分数，然后求解. 知识点三：有理数的除法法则 1.有理数除法法则 法则1：除以一个不等于0的有理数，等价于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果都为0。 规律方法：当被除数和除数都是整数，且能整除时，选用法则2；当两个数中含有分数时，选用法则1. 2.有理数的乘除混合运算 ●有理数的乘除混合运算先将除法化为乘法→确定积的符号→按照从左到右的顺序运算→求出结果。 ●结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数个时结果为正，负因数的个数是奇数个时结果为负。 3. 有理数的加减乘除混合运算 ●有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。●在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。有理数的乘除混合运算. ✺题型◆精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 2．______． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 2．若规定，则________． 3．计算． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 3．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 题型4.倒数 1．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 2．的倒数是__________． 3．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5.有理数乘法运算律 1．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．计算： 题型6.有理数的除法运算 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 2．计算：________． 3．将输入的数分别除以，请写出输出的数． 题型7.有理数除法的应用 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 2．一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 3．加工450个零件，计划每天做15个，可按期完成，现在需提前5天完成，每天应做多少个零件？ 题型8.有理数乘除混合运算 1．下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 题型9.有理数四则混合运算 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．已知，那么____． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 1．已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费12元；超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费（　　） A．19元 B．18元 C．17元 D．16元 2．小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完；小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读________页？ 3．甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 题型12.数轴上的翻折 1．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 2．如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是____________． 3．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与表示4的点重合，此时点与点也重合（点在点左侧），且A、B两点间的距离为8，则点表示的数为 ； (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数分别是多少？ ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 3．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 4．定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 5．点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．计算：_____． 7．的值为________． 8．规定，如果，则___________ 9．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是___________（填写序号）． 三、解答题 10．用简便的方法计算 (1) (2) 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 13．如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 14．小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘法、除法 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 有理数乘法板块：两数相乘法则→多个有理数相乘符号规律→倒数核心概念→乘法三大运算律→乘法简便运算 有理数除法板块：除法与倒数的转化关系→两数相除法则→有理数乘除混合运算规则→规范运算解题步骤 通用核心逻辑：所有有理数乘、除运算统一遵循「先定符号，再算绝对值」的两步解题原则，将有理数运算转化为小学已学的非负数运算，降低运算难度 ✺学习目标： 知识要求：1.精准掌握两数、多个有理数乘法法则，熟练判断乘法运算结果符号，能准确完成基础乘法计算 2.理解倒数的定义与核心性质，掌握整数、分数、小数的倒数求法，牢记0没有倒数的特殊规定 3.熟记有理数乘法交换律、结合律、分配律，能灵活运用运算律简化乘法运算 掌握有理数除法的两种运算法则，理解除法与倒数的转化关系，熟练掌握乘除混合运算顺序与解题步骤 能力要求：1.精准掌握有理数乘除运算符号判断方法，有效规避符号出错的高频问题，养成先判符号的运算习惯 2.熟练完成各类有理数乘除基础运算、简便运算、混合运算，提升计算准确率与解题速度 3.学会根据算式特点，灵活选用运算律简化计算，提升运算优化与解题变通能力 素养要求：1.建立分类讨论数学思维，能根据因数正负、个数分类判断运算结果符号，夯实有理数运算核心思维 2.养成步骤规范、逻辑清晰的解题习惯，为后续复杂数学运算、代数式计算奠定良好基础 ✺题型归纳： 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数四则混合运算 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型12.数轴上的翻折 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：有理数的乘法法则 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，结果均为0。 示例：同号相乘：(+3)×(+2)=+6，(-4)×(-5)=+20 异号相乘：(+3)×(-4)=-12，(-5)×(+2)=-10 与0相乘：0×(-100)=0，99×0=0 2.多个有理数相乘法则：几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 ★积的符号不取决于数值大小，仅由算式中负因数的个数唯一决定，具体规律如下： 负因数有偶数个，积为正数； 负因数有奇数个，积为负数； ★特殊判定法则：多个有理数相乘，若算式中存在任意一个因数为0，无需判断符号和计算绝对值，直接判定积为0。同样，若积为0，则至少有一个因数为0. 3. 有理数乘法的运算步骤： （1） 确定积的符号； （2）确定积的绝对值. 4.有理数乘法运算律 ✅有理数乘法的三种运算律对所有有理数（正数、负数、0）均适用，核心作用是调整运算顺序、凑整简化计算，是简便运算的核心依据，具体内容如下： 运算律名称 字母公式 文字解读 对应例题 乘法交换律 ab=ba 两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 (-2)×3=3×(-2)=-6 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 [(-2)×(-3)]×4=(-2)×[(-3)×4]=24 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 4×(-2+3)=4×(-2)+4×3=4 ▶乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加. 知识点二：倒数的定义与性质 1.定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。 0没有倒数.1的倒数是其本身，-1的倒数是其本身； 2.符号一致性：正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不会改变原数的正负符号； 3.唯一性：任意非零有理数的倒数有且仅有一个。 4.规律方法： （1） 求一个非零整数的倒数，可直接写成这个数分之一； （2） 求一个分数的倒数，只要分子，分母交换位置即可； （3） 对于小数和带分数，求倒数时应先将小数化成分数，将带分数化成假分数，然后求解. 知识点三：有理数的除法法则 1.有理数除法法则 法则1：除以一个不等于0的有理数，等价于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果都为0。 规律方法：当被除数和除数都是整数，且能整除时，选用法则2；当两个数中含有分数时，选用法则1. 2.有理数的乘除混合运算 ●有理数的乘除混合运算先将除法化为乘法→确定积的符号→按照从左到右的顺序运算→求出结果。 ●结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数个时结果为正，负因数的个数是奇数个时结果为负。 3. 有理数的加减乘除混合运算 ●有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。●在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。有理数的乘除混合运算. ✺题型◆精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 2．______． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （4） 解： 题型2.多个有理数的乘法运算 1．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 2．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 3．计算． 【答案】46 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算括号里的加法，将原式转化为分数的连乘形式，再通过约分进行化简计算即可． 【详解】解： ． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，新注入水的体积最多为， ∴. 2．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 3．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 【答案】(1)“健康监测准确性” (2) 解：A款智能手表得分：分． B款智能手表得分：分． C款智能手表得分：分． 按此评分规则，小明会选购C款智能手表． (3) 解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目． （2）略 （3）略 题型4.倒数 1．一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 2．的倒数是__________． 【答案】 【分析】先将题目中的带分数化为假分数，再根据倒数的定义计算得到结果． 【详解】解：首先将带分数化为假分数：． 根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数．由有理数除法运算法则可得：． ∴的倒数是． 3．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 题型5.有理数乘法运算律 1．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型6.有理数的除法运算 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．将输入的数分别除以，请写出输出的数． 【答案】，0，， 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； 根据图中左侧所给数字进行除以得出右侧数字即可． 【详解】解：， ， ， ． 综上所述，答案为：，0，，． 题型7.有理数除法的应用 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 2．一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【答案】 【详解】解：根据题意得 （升）． 3．加工450个零件，计划每天做15个，可按期完成，现在需提前5天完成，每天应做多少个零件？ 【答案】每天应做18个零件 【分析】本题主要考查了工程问题，熟练掌握“工作总量工作效率工作时间”及其变形公式是解题的关键． 先根据工作总量和原计划工作效率求出原计划工作时间，再求出实际工作时间，最后根据工作总量和实际工作时间求出实际工作效率． 【详解】原计划工作时间：（天） 实际工作时间：（天） 实际每天做的零件数：（个） 答：每天应做18个零件． 题型8.有理数乘除混合运算 1．下面算式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的混合运算，通过直接计算每个选项的表达式，判断其正确性． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确． D、，故错误； 故选：C． 2．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 题型9.有理数四则混合运算 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．已知，那么____． 【答案】 【分析】结合式子特征，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，且 ∴． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 1．已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费12元；超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费（　　） A．19元 B．18元 C．17元 D．16元 【答案】D 【分析】根据总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，7千克的物品中，前5千克收费12元，超出5千克的部分重量为 （千克），超出部分每千克加收2元. ∵总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用， ∴总费用为（元）. ∴需要付费16元． 2．小红读一本文学名著，如果每天读30页，8天可以读完；小明想6天读完这本文学名著，那么他要比小红每天多读________页？ 【答案】10 【分析】先根据小红的日均阅读页数和读完的天数计算出这本著作的总页数，再计算出小明6天读完时平均每天需要读的页数，最后计算小明比小红每天多读的页数． 【详解】解：这本著作的总页数为（页）， 小明平均每天读的页数为（页） 小明想6天读完，那么小明要比小红每天多读（页）． 3．甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 【答案】米/分 【分析】先求出甲丙速度和，进而得出甲的速度，再根据甲乙速度和，求出乙的速度即可． 【详解】解：因为，甲丙第一次相遇后过分钟又相遇， 所以，甲丙速度和：（米/分） 因为，丙的速度是甲的速度的， 所以，甲的速度： （米/分）， 因为，甲、丙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲、乙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲乙速度和： （米/分）， 所以，乙的速度：（米/分）． 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置确定的符号及绝对值的大小，然后根据有理数的加减法法则确定的符号．对选项逐一判断． 【详解】解：如图，可知， ， 选项A，D错误； , 选项B错误； ， ， ， 选项C正确． 2．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及相反数的概念，解题的关键是根据数轴上点的位置确定、的取值范围，再求出、的范围，进而比较五个数的大小； 先由数轴得出，，再推出，，最后比较、、、、的大小． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，， ∴ ， 故五个数中最大的是． 故答案为：． 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，相反数的意义，数轴上两点距离，利用数形结合法解答是解题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出，即可解答； （2）减法法则结合，，在数轴上的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图， ∴． 故答案为：，； （2）解：如图， ∵ ∴． 题型12.数轴上的翻折 1．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴翻折问题，解题的关键是理解翻折点是两对称点的中点． 首先判断出的位置，结合的长度以及翻折的特性，判断出或的长度，通过点或点A的位置，即可判断出点C所表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数为9，且在点B的右边， ∴表示的数为12， ∴， 根据翻折的性质，点C为的中点， ∴， 因为表示的数为12，C在的左边， ∴C表示的数为． 故选D． 2．如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是____________． 【答案】0或6 【分析】本题考查了数轴的折叠问题与距离计算，解题的关键是设出点表示的数，根据折叠性质和距离关系分情况列方程． 【详解】解：设点表示的数为，则， 折叠后点的对应点为，则． ∵到的距离为，表示的数为， ∴表示的数为或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 3．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与表示4的点重合，此时点与点也重合（点在点左侧），且A、B两点间的距离为8，则点表示的数为 ； (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数分别是多少？ 【答案】(1)1 (2)5 (3)两处折痕分别为和 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，再根据数轴上A、B两点之间距离为8可得A到折痕的点距离为4，由此得出B点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示1的点重合， 故答案为：1 （2）解：∵折叠纸面，若使表示的点与表示4的点重合， ∴折痕表示的点为1， ∵点与点也重合（点在点左侧），且A、B两点间的距离为8， ∴B点表示的数是； 故答案为：5 （3）解：由题意得， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 2．能被6整除的数是（    ） A．222 B．333 C．777 D．999 【答案】A 【分析】因为，且2和3互质，所以能被6整除的数需要同时满足能被2整除和能被3整除，根据能被2、3整除的数的特征即可判断选项． 【详解】解：∵，2和3互质， ∴能被6整除的数需同时被2和3整除． 根据能被2整除的数的特征，个位为偶数才能被2整除． 选项中只有A选项222的个位是偶数，B，C，D的个位均为奇数，都不能被2整除，因此排除B，C，D． ∵222各位数字和为，6是3的倍数， ∴222能被3整除． 因此222同时满足被2和3整除，即能被6整除． 3．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 4．定义新运算“*”：，则的值为（） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 5．点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 二、填空题 6．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 8．规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 9．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是___________（填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及线段的中点，熟练掌握数轴上数的表示及线段的中点是解题的关键． 根据数轴及题意即可判断各结论． 【详解】解：且， ，原点在点、之间，故③正确； ，故①正确； ，故②正确； 点为的中点， ， 点表示的数为：， 即，故④正确； 正确的是①②③④； 故答案为：①②③④． 三、解答题 10．用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 12．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【答案】 该公司去年总的盈利万元 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 【详解】解：由题得，， ， （万元）． 答：该公司去年总的盈利万元． 13．如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2)；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 14．小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 【答案】(1)大于，，； (2)这段坡路有米； (3)B 【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可； （2）根据圆的周长计算即可； （3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解． 【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度， 如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为； （2）解：， 答：这段坡路有米； （3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈， 若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟， 则前牙盘齿数为（齿）， 若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿， 又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力， 所以他应该把前牙盘调到18齿． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $