13.3.1 第1课时 三角形的内角和- 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形内角和定理”，系统涵盖定理证明、角度计算及形状判断等核心内容。课堂导入通过小学度量、剪拼法回顾，结合数学史简轴（泰勒斯拼图发现到欧几里得严谨证明），搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点在于多证法探究（过顶点作平行线、延长边构平角等）培养推理能力，历史简轴渗透数学文化，例题结合C岛视角等实际情境强化应用意识。小结归纳转化思想，助力学生形成几何直观，教师可利用分层练习提升教学效率，促进学生用数学思维解决问题。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 13.3.1 第1课时 三角形的内角和 第十三章 三角形 13.3.1 第1课时 三角形的内角和 同步练习题 核心知识点：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；利用定理求三角形内角度数、判断三角形形状、解决角度计算综合问题；掌握三角形内角和的简单推理与应用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 任意一个三角形的内角和为（） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的度数为（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 若一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 在△ABC中，∠A=∠B=45°，则△ABC是（） A. 锐角三角形 B. 直角等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 下列说法错误的是（） A. 三角形最多有一个直角 B. 三角形最多有一个钝角 C. 三角形最少有两个锐角 D. 三角形最少有一个直角 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 在△ABC中，∠A=25°，∠B=75°，则∠C=________°。 7. 直角三角形的两个锐角之和为________°。 8. 已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠C=________°。 9. 一个三角形中，最大内角为89°，这个三角形是________三角形。 10. 在△ABC中，∠A=100°，∠B=∠C，则∠C=________°。 三、解答题（共60分） 11.（12分）根据已知条件，求下列三角形中未知内角的度数。 （1）△ABC中，∠A=38°，∠B=72°，求∠C；（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=27°，求∠B。 12.（14分）已知在△ABC中，∠A比∠B大20°，∠C的度数是∠B的2倍，求△ABC三个内角的度数。 13.（16分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠CAD=40°，求∠BAC的度数。 14.（18分）在△ABC中，已知∠A:∠B=2:3，∠C比∠A大40°，求这个三角形三个内角的度数，并判断三角形的形状。 参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：三角形内角和定理为任意三角形内角和等于180°，是三角形的核心基础性质。 2. C 解析：根据内角和定理，∠C=180°-50°-60°=70°。 3. B 解析：设三个角分别为x、2x、3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角3x=90°，为直角三角形。 4. B 解析：∠C=180°-45°-45°=90°，且两角相等，故为直角等腰三角形。 5. D 解析：三角形可以没有直角，锐角、钝角三角形均无直角，D选项说法错误。 二、填空题 6. 80 解析：∠C=180°-25°-75°=80°。 7. 90 解析：直角三角形直角为90°，剩余两锐角和为180°-90°=90°。 8. 80 解析：设角度为2x、3x、4x，9x=180°，x=20°，∠C=4×20°=80°。 9. 锐角 解析：最大内角小于90°，三个角均为锐角，属于锐角三角形。 10. 40 解析：∠B+∠C=80°，两角相等，故∠C=40°。 三、解答题 11. 解：（1）∠C=180°-38°-72°=70°；（2）∠B=180°-90°-27°=63°。 12. 解：设∠B=x，则∠A=x+20°，∠C=2x。由内角和得：x+20°+x+2x=180°，解得x=40°。所以∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°。 13. 解：AD⊥BC，∠ADB=90°，在△ABD中，∠BAD=180°-90°-30°=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+40°=100°。 14. 解：设∠A=2x，∠B=3x，则∠C=2x+40°。列方程：2x+3x+2x+40°=180°，解得x=20°。因此∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。三个内角均为锐角，该三角形为锐角三角形。 （总字数：830） 1. 探索并证明三角形的内角和定理.(重、难点) 2.三角形内角和定理及其运用.(重点) 3. 学会解决与求角度有关的实际问题. 4. 体会转化的数学思想. 学习目标 通过拼图发现了三角形内角和定理. 泰勒斯 毕达哥拉斯学派 测量推测出内角和为 180°，后通过过顶点作平行线的方法完成了证明. 欧几里得 更严谨的通过一组同位角和一组内错角对三角形内角和定理进行了证明. 三角形内角和定理证明发展简轴 公元前 6 世纪 约公元前 560-480 年 约公元前 330-270 年 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180°. 如图，我们是通过度量 或剪拼得出这一结论的. 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° 度量法 剪拼法 思考：通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？ 探究点： 三角形内角和定理的证明 探究：通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ B B C C A 问题1：想一想，直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？ 4 5 B B C C A 2 3 1 探究点： 三角形内角和定理的证明 依据平角定义，得到 180° 证明思路: 过点A作直线l，使得l∥BC 利用平行线的性质，将∠B和∠C进行转移 证明：过点 A 作直线 l，使 l∥BC. ∵ l∥BC， ∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理∠3 =∠5. ∵∠1，∠4，∠5 组成平角， ∵∠1 +∠4 +∠5 = 180°(平角的定义). ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°(等量代换). 2 3 4 5 1 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 探究点： 三角形内角和定理的证明 三角形三个内角的和等于 180°. 探究点： 三角形内角和定理的证明 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 几何语言： 三角形内角和定理 C B A 探究点： 三角形内角和定理的证明 问题2：观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？ 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 探究点： 三角形内角和定理的证明 依据平角定义，得到180° 添加平行线 （辅助线） 利用平行线的性质，转移角 思考 以上多种方法的证明思路是什么？ C A B 1 2 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m 4 5 2 3 1 探究点： 三角形内角和定理的证明 除了构造平角得到 180° 外，还有其他方式吗？ A B C F 1 4 2 3 D E A B C 思路②有其他添加辅助线的方案吗？ l 用下列方法证明三角形内角和定理. 依据平角定义，得到180° 添加平行线 （辅助线） 利用平行线的性质，转移角 两直线平行，同旁内角互补． 探究点： 三角形内角和定理的证明 A B C l 2 1 A B C F 1 4 2 3 D E 证明：过点A作线段 l， 使 l ∥BC. ∵ l ∥BC ∴∠2 = ∠C， ∠1+∠2+∠B = 180°. ∴∠1+∠C+∠B = 180°. 证明:过点B任意作一条直线BD，分别过点A、C作B的平行线AE、CF， 则 CF∥AE∥BD. ∴∠1 = ∠2，∠3 =∠4 ， ∠DBC +∠BCF = 180°， 即∠1+∠ABC+∠ACB +∠4 =180°. ∴∠ABC + ∠ACB +∠BAC = 180°. 探究点： 三角形内角和定理的证明 依据平角定义，得到180° 添加平行线 （辅助线） 利用平行线的性质，转移角 两直线平行，同旁内角互补． 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路转化: 思路① 思路② 探究点： 三角形内角和定理的证明 【归纳总结】 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. ∠BAC = 40° ∠DAB = 20° ∠ADB = 85° 在△ABD 中，∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 解：由∠BAC = 40°， AD 是△ABC 的角平分线，得 分析： ∠BAD = ∠BAC = 20 °. 探究点： 三角形内角和定理的证明 例2 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40°方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 A D 北 C B . E . . 分析：求 ∠ACB， 需先求 ∠CAB 、∠CBA. 探究点： 三角形内角和定理的证明 解：由题意得∠CAB =∠BAD -∠CAD = 80° - 50° = 30°. 由 AD∥BE，得∠BAD + ∠ABE = 180°， 所以∠ABE = 180° - ∠BAD = 180° - 80° = 100°， ∠ABC = ∠ABE - ∠EBC = 100° - 40° = 60°. 在△ABC 中， ∠ACB = 180 °- ∠ABC - ∠CAB = 180°- 60°- 30° = 90°. 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角 ∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 北 A D 北 C B . E . . 探究点： 三角形内角和定理的证明 你还能给出其他解法吗？ 解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE. ∠1 ＝ ∠3 ，∠2 ＝ ∠4 ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACB ＝ ∠1 ＋∠2 ＝ ∠3 ＋∠4 （等量代换） ＝ 50°＋ 40°＝ 90° ∠CAB ＝∠BAD － ∠3 ＝80 °－50°＝30°. ∠ABC ＝ 180°－∠ACB －∠CAB ＝ 180°－90°－30°＝ 60°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. . 北 A D 北 C B . E . F 1 2 3 4 探究点： 三角形内角和定理的证明 【练一练】1.如图，在 △ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.若∠A = 54°，∠B = 48°，则 ∠CDE 的大小为 ( ) A.44° B.40° C.39° D.38 C ∠A = 54°，∠B = 48° ∠ACB = 78° ∠DCB = 39° ∠CDE = ∠DCB = 39° 分析： DE∥BC 探究点： 三角形内角和定理的证明 1.在中， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 21 返回 2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为(　　) A．28° B．29° C．30° D．32° 3．教材P13练习T2变式如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A．85° B．80° C．75° D．70° B A 中考考法 22 4.在中， ，，则 _____. 返回 中考考法 23 5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼 的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记， 请阅读操作方法，补全证明过程. 中考考法 24 如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图 ②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与 重合，的一边与 重合. _________________________________________________________________________________________________ 证明：由操作可知 ， 中考考法 （________________________）. 同理，， ____//____. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 点，， 在同一条直线上， _____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 返回 中考考法 6.如图，在中， ， . （1）求 的度数； 解： ， ， . 中考考法 27 （2）若 ，交于点，求 的度数. 解：， ， . 又 ， . 返回 中考考法 28 7.一副三角板拼成如图所示的图形，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 29 8.［教材 例2变式］［2025北京海淀区月考］如图，一轮船在海上往 东行驶，在处测得灯塔位于北偏东 方向，在处测得灯塔 位于 北偏东 方向，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 30 返回 B 9．如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABD.若∠DBE＝20°，∠DEB＝80°，则∠CDE的度数是(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° 中考考法 31 返回 D 10．如图，在△ABC中，P是△ABC三条角平分线的交点，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB的度数为(　　) A．45° B．120° C．180° D．90° 中考考法 32 11.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点 的对应点为点，交于点.若 ， 则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 33 中考考法 34 返回 中考考法 35 证明方法 三角形的内角和 _____思想：将是三个角转化成一个_____或者同旁内角____等 内角和定理 三角形的三个内角和等于____ 180° 转化 平角 互补 课堂小结 解：∵∠A＝∠B＝∠ACB， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°， 12．大连期中如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CE是△ABC的高，CD是△ABC的角平分线，求∠DCE的度数． ∴∠A＝30°，∴∠ACB＝30°×3＝90°. ∵CE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE＝180°－90°－30°＝60°. ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝60°－45°＝15°. $