第2章 锐角的正弦、余弦、正切（暑假单元自测）新九年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学锐角三角函数单元卷，以文化传承、科技应用和现实问题为情境，覆盖定义、计算及实际应用，适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角函数定义、特殊角值等|如第4题考查特殊角正切值，夯实基础| |填空|8/24|坡度、仰俯角等应用|如14题坡度计算，体现几何直观| |解答|6/66|综合应用与建模|如23题法王寺塔测量（文化情境）、24题电脑坐姿（现实问题），培养模型意识与应用能力|

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 2．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 3．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 4．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及锐角三角函数进行求解． 【详解】解：借助网格，根据勾股定理得， ∴． 6．如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 7．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 8．将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 9．图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 10．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可知，是直角三角形，，，， ． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 12．如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 13．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 【答案】100 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意画出示意图，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半进行解答即可． 【详解】解：作示意图如下： 由题意得，， ∴， 故答案为：100． 14．汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度定义，铅直高度与水平宽度之比为，设上升高度为h米，则水平宽度为米，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设汽车上升了h米，则水平宽度为米． 由勾股定理，得 ，即 ， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 15．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．在等腰中，，，则的值是______． 【答案】 【分析】过点作于点，得，，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 18．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为____（结果精确到0.1，参考数据）． 【答案】 【分析】过点作于点，构造两个直角三角形，利用平行线的性质将俯角转化为的内角，分别在和中利用正切函数求出和的长，相加得到的表达式，最后代入参考数据计算并取近似值； 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ． 三、解答题（共66分） 19．（10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（10分）在中，，分别是的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识点， （1）根据求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案； （2）根据锐角三角函数的定义求出a的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，解得， ∴． 21．（11分）如图，在中，，，，过点作的垂线，垂足为，求的度数及的长． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据可以求出，利用勾股定理求出，根据正弦的定义可知，利用特殊角的三角函数即可得到的度数． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ． 22．（11分）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 23．（12分）位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】法王寺塔的高度约为 【分析】过点A作的平行线，与的延长线交于点E，得出四边形为矩形，确定，利用正切函数得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：过点A作的平行线，与的延长线交于点E， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ∴． ∴法王寺塔的高度约为． 24．（12分）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】(1) (2)不是，桌面应下调 【分析】（1）利用正切函数关系即可求解； （2）延长交于点，在中，利用正弦函数关系求得，进而求得，此时不是正确坐姿；在中，计算出调整后的，求得调整前后的差即可． 【详解】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 4．的值等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 7．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 10．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，，，，则________ 12．如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 13．如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 14．汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 15．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 16．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 17．在等腰中，，，则的值是______． 18．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为____（结果精确到0.1，参考数据）． 三、解答题（共66分） 19．（10分）计算： (1)； (2)． 20．（10分）在中，，分别是的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 21．（11分）如图，在中，，，，过点作的垂线，垂足为，求的度数及的长． 22．（11分）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 23．（12分）位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 24．（12分）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） (1)如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） (2)如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $