第17讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第17讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 2．在中，，，，下列说法正确的是（    ） A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 3．在中，如果，，那么这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 5．如图，在中，，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 6．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 7．计算： . 8．在中，，则的长为 ． 9．在中，，，，则 10．某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 11．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为 12．已知点，与轴正半轴的夹角为，则 ． 13．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    14．如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是 ． 15．如图，在中，点在上，，，，则 ． 16．如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 18．如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转，得到（点，的对应点分别为点，，延长分别交、于点、，如果，那么的长为 ． 三、解答题 19．计算：． 20．已知，在中，，，．求： (1)的长； (2)的值． 21．如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 22．如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 23．如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 24．如图，在直角坐标平面内，已知点、点轴正半轴有一点，且    (1)求直线的解析式； (2)求的正切值； (3)线段上有一点，当与相似时，求点的坐标． 25．在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 锐角的三角比 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的性质可知，角的大小确定后，锐角三角函数值固定不变，即可解答． 【解析】解：根据锐角三角函数的定义可知，的大小确定后，的三角函数值与边长无关，固定不变， ∴的边长扩大两倍，的值不变， 故选：C. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 2．在中，，，，下列说法正确的是（    ） A．的正切值为 B．的正弦值为 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数，可以先利用勾股定理求出直角边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值是解题的关键． 【解析】解：∵，，， ∴， A. 的正切值为，选项错误； B. 的正弦值为，选项错误； C. ，选项错误； D. ，选项正确； 故选：D． 3．在中，如果，，那么这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状． 【解析】∵ ，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴ ∠A＋∠B＝90°， ∴ 这个三角形一定是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型． 4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算． 【解析】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米； 故选B． 5．如图，在中，，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的概念求解即可． 【解析】∵ ∴是直角三角形 ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念． 6．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的长； 【解析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P， 由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点， ∴BE=2， 又∵， ∴BH=1，即H是BE的中点， ∴AB=AE=4， 又∵AF是∠DAE的角平分线，， ∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG， 又∵，， ∴PF=AD=4， 设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x， ∵， ∴∠AGP=∠AEB=∠B， ∴cos∠AGP===， 解得x=； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键． 二、填空题 7．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【解析】解：原式 ， 故答案为． 8．在中，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】利用锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【解析】解：在中，， ∵ ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用三角函数值求边长．解题的关键是掌握正弦等于对边比斜边． 9．在中，，，，则 【答案】/0.5 【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可． 【解析】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键． 10．某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米，则这个坡的坡比为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坡角的定义，勾股定理．先根据勾股定理求出水平距离，再利用坡比的定义即可．熟记“坡面的铅直高度和水平宽度的比，叫做坡比”是解题关键． 【解析】解：某人沿着一个斜坡往上走动了20米，他的垂直高度上升了10米， 则此人行驶的水平距离为：， 这个坡的坡比为：． 故答案为：． 11．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为 【答案】/ 【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可． 【解析】解：如图，取点，连接， ，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求余切，掌握直角三角形三角函数的定义是解题的关键． 12．已知点，与轴正半轴的夹角为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点的坐标、勾股定理、锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作轴于点，则， ∵点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数．由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，再根据勾股定理求出的长即可，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【解析】解：设，则，    垂直平分， ， 在中，， ， 解得：，即， ， 故答案为：． 14．如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和． 【解析】解：如图，连接,则，过点作于 螺帽是正六边形 ， , ． 故答案为：． 15．如图，在中，点在上，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理的应用，过点作交于点，在和在中利用勾股定理表示出，即可求得，然后在中求出和，从而求出结论． 【解析】解：过点作交于点，如图， 设，则， 在中，， 则①， 在中，， 则②， 由①②得，， 解得：，则， 在中，③， 将代入①式，得， 则， 解得， ． 故答案为：． 16．如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可． 【解析】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得，，， ∵， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系． 17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【解析】解：如图，过点A作于，过点作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 18．如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转，得到（点，的对应点分别为点，，延长分别交、于点、，如果，那么的长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，设参数表示各线段的长是解题问题的关键． 过点作于点，连接，设，，利用证明，得，利用三角函数表示出的长度，再根据，从而解决问题． 【解析】解：过点作于点，连接， ， 设，， 将绕点A逆时针旋转，得到， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：14． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算．分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解析】解：原式 ． 20．已知，在中，，，．求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画图，再利用，求解，再利用勾股定理求解即可； （2）直接利用锐角的正切的定义求解即可． 【解析】（1）解：如图，    在中，，，， ∴， ∴． 由勾股定理，得； （2）． 【点睛】本题考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段． 21．如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【解析】（1）解：， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． （2）过点作的垂线，垂足为，     ， ， ． 在中，， ． 22．如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 【答案】(1)路灯A离地面的高度为 (2)灯杆的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，设，则：，在中，表示出的长，在，利用，列出方程求解即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，进而求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【解析】（1）解：过点作，则：，    设，则：， 在中，，则：， 在中，，则：， ∴，解得：， ∴； 答：路灯A离地面的高度为； （2）过点作，    ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：灯杆的长度为． 23．如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求的正弦值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查解直角三角形 （1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题． （2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【解析】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． ， ， ， 又， ，， ． （2）解：在中， ． 过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为， 在中， ． ， ． 在中， ． 24．如图，在直角坐标平面内，已知点、点轴正半轴有一点，且    (1)求直线的解析式； (2)求的正切值； (3)线段上有一点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）设直线的解析式为，根据三角函数求出点的坐标，再根据待定系数法即可； （2）过点作于点，利用面积法求出的长，再根据勾股定理求出CD的长即可； （3）设，再分当时，和当时两种情况讨论即可． 【解析】（1）解：如图，点、点，，设直线的解析式为，    ， ， 把点，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作于点，    点、点，， ，，， ， ， ，， ， 故的正切值为2 （3）解：设， 当时，，如图，    ， 解得（舍）即， 当时，，如图    ， 解得（舍）即， 故点的坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，锐角的三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，本题的关键是运用分类讨论的思想方法． 25．在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【解析】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$